（浙江專用）2020版高考數(shù)學大一輪復習 課時18 4.3 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式夯基提能作業(yè).docx
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4.3 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式 A組 基礎題組 1.若sinα2=33,則cos α=( ) A.-23 B.-13 C.13 D.23 答案 C 由二倍角公式得cos α=1-2sin2α2=1-213=13,選C. 2.(2019衢州質檢)在△ABC中,cos A=35,cos B=45,則sin(A-B)=( ) A.-725 B.725 C.-925 D.925 答案 B ∵在△ABC中,cos A=35,cos B=45,∴sin A=45,sin B=35,∴sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=725,故選B. 3.(2018溫州十校聯(lián)合體期初)若α∈π2,π,且3cos 2α=sinπ4-α,則sin 2α的值為( ) A.-118 B.118 C.-1718 D.1718 答案 C 由3cos 2α=sinπ4-α可得3(cos2α-sin2α)=22(cos α-sin α),又由α∈π2,π可知cos α-sin α≠0,所以3(cos α+sin α)=22,所以1+2sin αcos α=118,故sin 2α=-1718.故選C. 4.已知sinα+π3+sin α=-435,則cosα+2π3=( ) A.-45 B.45 C.-35 D.35 答案 B ∵sinα+π3+sin α=32sin α+32cos α=3sinα+π6=-435,∴sinα+π6=-45, 則cosα+2π3=cosπ2+α+π6=-sinα+π6=45. 5.已知角α,β均為銳角,且cos α=35,tan(α-β)=-13,則tan β=( ) A.913 B.139 C.3 D.13 答案 C ∵cos α=35,α為銳角,∴sin α=45,∴tan α=43,tan β=tan[α-(α-β)]=tanα-tan(α-β)1+tanαtan(α-β)=3. 6.已知sinπ5-α=13,則cos2α+3π5=( ) A.-79 B.-19 C.19 D.79 答案 A ∵sinπ5-α=13,∴cos2π5-2α=1-2sin2π5-α=79,∴cos2α+3π5=cosπ-2π5-2α=-cos2π5-2α=-79,故選A. 7.(2018寧波諾丁漢大學附中高三期中)若sin(π+x)+cos(π+x)=12,則sin 2x= ,1+tanxsinxcosx-π4= . 答案 -34;-823 解析 sin(π+x)+cos(π+x)=-sin x-cos x=12,即sin x+cos x=-12, 兩邊平方得sin2x+2sin xcos x+cos2x=14, 即1+sin 2x=14,則sin 2x=-34, 故1+tanxsinxcosx-π4=1+sinxcosx22sinx(cosx+sinx) =2sinxcosx=22sin2x=22-34=-823. 8.(2016浙江,10,6分)已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),則A= ,b= . 答案 2;1 解析 ∵2cos2x+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x=2sin2x+π4+1,∴A=2,b=1. 9.已知函數(shù)f(x)=3sin xcos x-cos2x-12,x∈R,則函數(shù)f(x)的最小值為 ,函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為 . 答案 -2;-π6+kπ,π3+kπ,k∈Z 解析 f(x)=3sin xcos x-cos2x-12=32sin 2x-1+cos2x2-12=sin2x-π6-1,故最小值是-2;令-π2+2kπ≤2x-π6≤π2+2kπ,k∈Z,得-π6+kπ≤x≤π3+kπ,k∈Z,所以f(x)的遞增區(qū)間是-π6+kπ,π3+kπ,k∈Z. 10.(2019效實中學月考)如圖,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,在平面內將矩形ABCD繞點B按順時針方向旋轉60后得到矩形ABCD,則點D到直線AB的距離是 . 答案 12+3 解析 如圖所示,連接BD,BD,過D作DH⊥AB于點H, 由題意得,cos∠ABD=25,sin∠ABD=15,∴sin∠ABD=sin(∠ABD+∠DBD)=sin∠ABD+π3=1512+2532=5+21510,故點D到直線AB的距離為BDsin∠ABD=55+21510=12+3. 11.(2017浙江杭州二模)設函數(shù)f(x)=2cos x(cos x+3sin x)(x∈R). (1)求函數(shù)y=f(x)的最小正周期和單調遞增區(qū)間; (2)當x∈0,π2時,求函數(shù)f(x)的最大值. 解析 (1)f(x)=2cos x(cos x+3sin x)=2sin2x+π6+1. ∴函數(shù)y=f(x)的最小正周期為π. 令2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z), 得kπ-π3≤x≤kπ+π6(k∈Z), ∴函數(shù)y=f(x)的單調遞增區(qū)間為kπ-π3,kπ+π6(k∈Z). (2)∵x∈0,π2,∴2x+π6∈π6,7π6, ∴sin2x+π6∈-12,1, ∴函數(shù)f(x)的最大值是3. B組 提升題組 1.已知3tanα2+tan2α2=1,sin β=3sin(2α+β),則tan(α+β)=( ) A.43 B.-43 C.-23 D.-3 答案 B 由3tanα2+tan2α2=1得tanα21-tan2α2=13, 所以tan α=23①, 由sin β=3sin(2α+β)得sin[(α+β)-α]=3sin[(α+β)+α], 展開并整理得,2sin(α+β)cos α=-4cos(α+β)sin α, 所以tan(α+β)=-2tan α②,由①②得tan(α+β)=-43. 2.函數(shù)y=sinx-π12sinx+5π12的最大值為( ) A.12 B.14 C.1 D.22 答案 A y=sinx-π12sinx+5π12=sinx-π12sinπ2-π12-x=sinx-π12cosπ12-x=12sin2x-π6≤12,所以該函數(shù)的最大值為12. 3.已知銳角α,β滿足sin α=cos(α+β)sin β,則tan α的最大值為( ) A.1 B.24 C.23 D.34 答案 B sin α=cos(α+β)sin β?sin α=(cos αcos β-sin αsin β)sin β?sin α(1+sin2β)=cos αcos βsin β?tan α=cosβsinβ1+sin2β=sin2β3-cos2β(可以看作單位圓上的點(cos 2β,sin 2β)與點(3,0)連線的斜率的相反數(shù)).根據(jù)幾何意義可得tan α的最大值為24此時tanβ=22. 4.(2017溫州中學月考)已知向量a=(sin α+cos α,1),b=(1,-2cos α),ab=15,α∈0,π2,則sin α= ,cos α= ,設函數(shù)f(x)=5cos(2x-α)+cos 2x(x∈R),則f(x)取得最大值時的x的值是 . 答案 45;35;kπ+π8,k∈Z 解析 由題意知sin α+cos α-2cos α=15,即sin α-cos α=15,故2sin αcos α=2425,所以(sin α+cos α)2=4925,因為α∈0,π2,所以sin α+cos α=75,所以sin α=45,cos α=35.又f(x)=4sin 2x+4cos 2x=42sin2x+π4,故當f(x)取最大值時,2x=2kπ+π4,k∈Z,即x=kπ+π8,k∈Z. 5.已知函數(shù)f(x)=23sin xcos x+2cos2x+3. (1)若A為三角形的一個內角,且f(A)=5,求角A的大小; (2)若f(x)=285,且x∈π6,5π12,求cos 2x的值. 解析 (1) 由已知得f(x)=3sin 2x+cos 2x+4=2sin2x+π6+4,∴sin2A+π6=12, ∵0
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