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第八節(jié)函數與方程 1．函數零點的概念 對于函數y＝f(x)，x∈D，我們把使f(x)＝0的實數x叫做函數y＝f(x)，x∈D的零點?. 2．函數的零點與方程根的聯系 函數y＝f(x)的零點就是方程f(x)＝0的實數根也就是函數y＝f(x)的圖象與x軸的橫坐標，所以方程f(x)＝0有實根?函數y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數f(x)有零點． 3．零點存在性定理 4．二次函數圖象與零點的關系 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函數y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象 與x軸的交點 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 無 零點個數? 2 1 0 (1)函數的零點是實數，而不是點，是方程f(x)＝0的實根． (2)零點一定在定義域內. 由函數y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有零點不一定能推出f(a)f(b)＜0，如下圖所示．所以f(a)f(b)＜0是y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有零點的充分不必要條件．事實上，只有當函數圖象通過零點(不是偶次零點)時，函數值才變號，即相鄰兩個零點之間的函數值同號． 零點存在性定理只能判斷零點存在，不能確定零點的個數．若函數在某區(qū)間上是單調函數，則該函數在該區(qū)間上至多有一個零點． 判斷二次函數f(x)的零點個數就是判斷一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的實根個數，一般由判別式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0完成． [熟記常用結論] 1．若函數f(x)在[a，b]上單調，且f(x)的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，則f(a)f(b)＜0?函數f(x)在[a，b]上只有一個零點． 2．連續(xù)不斷的函數圖象通過零點時，函數值可能變號，也可能不變號． 3．周期函數如果存在零點，則必有無窮個零點． [小題查驗基礎] 一、判斷題(對的打“√”，錯的打“”) (1)函數的零點就是函數的圖象與x軸的交點．(　　) (2)函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內有零點(函數圖象連續(xù)不斷)，則f(a)f(b)＜0.(　　) (3)二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac＜0時沒有零點．(　　) 答案：(1)　(2)　(3)√ 二、選填題 1．已知函數y＝f(x)的圖象是連續(xù)曲線，且有如下的對應值表： x 1 2 3 4 5 6 y 124.4 35 －74 14.5 －56.7 －123.6 則函數y＝f(x)在區(qū)間[1,6]上的零點至少有(　　) A．2個　　　　　　　　 B．3個 C．4個 D．5個 解析：選B　由零點存在性定理及題中的對應值表可知，函數f(x)在區(qū)間(2,3)，(3,4)，(4,5)內均有零點，所以y＝f(x)在[1,6]上至少有3個零點．故選B. 2．函數f(x)＝ln x－的零點所在的大致范圍是(　　) A．(1,2) B．(2,3) C.和(3,4) D．(4，＋∞) 解析：選B　易知f(x)為增函數，由f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－＞0，得f(2)f(3)＜0.故選B. 3．函數f(x)＝ex＋3x的零點個數為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：選B　函數f(x)＝ex＋3x在R上是增函數， ∵f(－1)＝－3＜0，f(0)＝1＞0， ∴f(－1)f(0)＜0， ∴函數f(x)有唯一零點，且在(－1,0)內，故選B. 4．函數f(x)＝(x2－2)(x2－3x＋2)的零點為________． 答案：－， ，1,2 考點一函數零點所在區(qū)間的判斷[基礎自學過關] [題組練透] 1．(2019鄭州名校聯考)已知實數a，b滿足2a＝3,3b＝2，則函數f(x)＝ax＋x－b的零點所在的區(qū)間是(　　) A．(－2，－1)　　　　　　 B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2) 解析：選B　∵2a＝3,3b＝2，∴a＞1,0＜b＜1，又f(x)＝ax＋x－b是單調遞增函數，∴f(－1)＝－1－b＜0，f(0)＝1－b＞0，∴f(x)在區(qū)間(－1,0)上存在零點．故選B. 2．若x0是方程x＝x的解，則x0屬于區(qū)間(　　) A. B. C. D. 解析：選C　令g(x)＝x，f(x)＝x， 則g(0)＝1＞f(0)＝0，g＝＜f＝，g＝＞f＝， 結合圖象可得＜x0＜. 3．(2019河北武邑中學調研)函數f(x)＝3x－7＋ln x的零點位于區(qū)間(n，n＋1)(n∈N)內，則n＝________. 解析：因為f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，且f(2)＝－1＋ln 2＜0，f(3)＝2＋ln 3＞0，所以函數f(x)的零點位于區(qū)間(2,3)內，故n＝2. 答案：2 [名師微點] 確定函數f(x)的零點所在區(qū)間的常用方法 (1)利用函數零點的存在性定理：首先看函數y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)f(b)＜0.若有，則函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內必有零點． (2)數形結合法：通過畫函數圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷． 考點二判斷函數零點個數[師生共研過關] [典例精析] 已知函數f(x)＝函數g(x)＝3－f(2－x)，則函數y＝f(x)－g(x)的零點個數為(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 [解析]　由已知條件可得g(x)＝3－f(2－x)＝函數y＝f(x)－g(x)的零點 個數即為函數y＝f(x)與y＝g(x)圖象的交點個數，在平面直角坐標系內作出函數y＝f(x)與y＝g(x)的圖象如圖所示． 由圖可知函數y＝f(x)與y＝g(x)的圖象有2個交點，所以函數y＝f(x)－g(x)的零點個數為2，選A. [答案]　A [解題技法] 函數零點個數的判斷方法 (1)直接求零點，令f(x)＝0，有幾個解就有幾個零點； (2)零點存在性定理，要求函數f(x)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)＜0，再結合函數的圖象與性質確定函數零點個數； (3)利用圖象交點個數，作出兩函數圖象，觀察其交點個數即得零點個數． [過關訓練] 1．(2019鄭州質檢)已知函數f(x)＝x－cos x，則f(x)在[0,2π]上的零點個數為________． 解析：如圖，作出g(x)＝x與h(x)＝cos x的圖象，可知其在[0,2π]上的交點個數為3，所以函數f(x)在[0,2π]上的零點個數為3. 答案：3 2．函數f(x)＝的零點個數是________． 解析：當x＜0時，令f(x)＝0，即x2＋2x＝0，解得x＝－2或x＝0(舍去)，所以當x＜0時，只有一個零點；當x≥0時，f(x)＝ex－x－2，而f′(x)＝ex－1，顯然f′(x)≥0，所以f(x)在[0，＋∞)上單調遞增，又f(0)＝e0－0－2＝－1＜0，f(2)＝e2－4＞0，所以當x≥0時，函數f(x)有且只有一個零點．綜上，函數f(x)只有2個零點． 答案：2 3．(2018全國卷Ⅲ)函數f(x)＝cos在[0，π]的零點個數為________． 解析：由題意可知，當3x＋＝kπ＋(k∈Z)時，f(x)＝0.∵x∈[0，π]，∴3x＋∈， ∴當3x＋取值為，，時，f(x)＝0， 即函數f(x)＝cos在[0，π]的零點個數為3. 答案：3 考點三函數零點的應用[全析考法過關] [考法全析] 考法(一)　根據函數零點個數或存在情況求參數范圍 [例1]　(1)(2019鄭州模擬)已知函數f(x)＝(a∈R)，若函數f(x)在R上有兩個零點，則實數a的取值范圍是(　　) A．(0,1]　　　　　　 B．[1，＋∞) C．(0,1) D．(－∞，1] (2)(2018全國卷Ⅰ)已知函數f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2個零點，則a的取值范圍是(　　) A．[－1,0) B．[0，＋∞) C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) [解析]　(1)畫出函數f(x)的大致圖象如圖所示．因為函數f(x)在R上有兩個零點，所以f(x)在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一個零點．當x≤0時，f(x)有一個零點，需0＜a≤1；當x＞0時，f(x)有一個零點，需－a＜0，即a＞0.綜上，0＜a≤1，故選A. (2)令h(x)＝－x－a，則g(x)＝f(x)－h(huán)(x)．在同一坐標系中畫出y＝f(x)，y＝h(x)的示意圖，如圖所示．若g(x)存在2個零點，則y＝f(x)的圖象與y＝h(x)的圖象有2個交點，平移y＝h(x)的圖象，可知當直線y＝－x－a過點(0,1)時，有2個交點，此時1＝－0－a，a＝－1.當y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a＜－1時，僅有1個交點，不符合題意．當y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a＞－1時，有2個交點，符合題意．綜上，a的取值范圍為[－1，＋∞)．故選C. [答案]　(1)A　(2)C 考法(二)　根據函數零點的范圍求參數范圍 [例2]　若函數f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的兩個零點分別在區(qū)間(－1,0)和區(qū)間(1,2)內，則m的取值范圍是____________． [解析]　依題意，結合函數f(x)的圖象分析可知m需滿足 即 解得＜m＜. [答案]　 考法(三)　求函數多個零點(方程根)的和 [例3]　(2019石家莊質量檢測)已知M是函數f(x)＝|2x－3|－8sin πx(x∈R)的所有零點之和，則M的值為________． [解析]　將函數f(x)＝|2x－3|－8sin πx的零點轉化為函數h(x)＝|2x－3|與g(x)＝8sin πx圖象交點的橫坐標．在同一平面直角坐標系中，畫出函數h(x)與g(x)的圖象，如圖，因為函數h(x)與g(x)的圖象都關于直線x＝對稱，兩個函數的圖象共有8個交點，所以函數f(x)的所有零點之和M＝8＝12. [答案]　12 [規(guī)律探求] 看個性 考法(一)是根據函數零點的個數及零點存在情況求參數范圍，解決此類問題通常先對解析式變形，然后在同一坐標系內畫出函數的圖象，數形結合求解． 考法(二)是根據函數零點所在區(qū)間求參數，解決此類問題應先判斷函數的單調性，再利用零點存在性定理，建立參數所滿足的不等式，解不等式，即得參數的取值范圍． 考法(三)是求函數零點的和，求函數的多個零點(或方程的根以及直線y＝m與函數圖象的多個交點橫坐標)的和時，應考慮函數的性質，尤其是對稱性特征(這里的對稱性主要包括函數本身關于點的對稱，直線的對稱等) 找共性 根據函數零點求參數范圍的一般步驟為： (1)轉化：把已知函數零點的存在情況轉化為方程的解或兩函數圖象的交點的情況． (2)列式：根據零點存在性定理或結合函數圖象列式． (3)結論：求出參數的取值范圍或根據圖象得出參數的取值范圍. [過關訓練] 1．函數f(x)＝x2－ax＋1在區(qū)間上有零點，則實數a的取值范圍是(　　) A．(2，＋∞)　　　　　　 B．[2，＋∞) C. D. 解析：選D　由題意知方程ax＝x2＋1在上有解，即a＝x＋在上有解，設t＝x＋，x∈，則t的取值范圍是，∴實數a的取值范圍是. 2．設函數f(x)＝g(x)＝f(x)－4mx－m，其中m≠0.若函數g(x)在區(qū)間(－1,1)上有且僅有一個零點，則實數m的取值范圍是(　　) A．{－1}∪ B. C．{－1}∪ D. 解析：選C　作出函數y＝f(x)的大致圖象，如圖所示．函數g(x)的零點個數?函數y＝f(x)的圖象與直線y＝4mx＋m的交點個數．直線y＝4mx＋m過點，當直線y＝4mx＋m過點(1,1)時，m＝；當直線y＝4mx＋m與曲線y＝－1(－1＜x＜0)相切時，設切點為，由y′＝－得切線的斜率為－，則－＝，解得x0＝－，所以4m＝－＝－4，得m＝－1.結合圖象可知當m≥或m＝－1時，函數g(x)在區(qū)間(－1,1)上有且僅有一個零點． 一、題點全面練 1．設f(x)是區(qū)間[－1,1]上的增函數，且f f ＜0，則方程f(x)＝0在區(qū)間[－1,1]內(　　) A．可能有3個實數根　　　 B．可能有2個實數根 C．有唯一的實數根 D．沒有實數根 解析：選C　∵f(x)在區(qū)間[－1,1]上是增函數，且f f ＜0， ∴f(x)在區(qū)間上有唯一的零點． ∴方程f(x)＝0在區(qū)間[－1,1]內有唯一的實數根． 2．(2018濮陽一模)函數f(x)＝ln(2x)－1的零點位于區(qū)間(　　) A．(2,3) B．(3,4) C．(0,1) D．(1,2) 解析：選D　∵f(x)＝ln(2x)－1是增函數，且是連續(xù)函數， f(1)＝ln 2－1＜0，f(2)＝ln 4－1＞0， ∴根據函數零點的存在性定理可得，函數f(x)的零點位于區(qū)間(1,2)上． 3．(2019南寧模擬)設函數f(x)＝ln x－2x＋6，則f(x)零點的個數為(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 解析：選B　令f(x)＝0，則ln x＝2x－6，令g(x)＝ln x(x＞0)，h(x)＝2x－6(x＞0)，在同一平面直角坐標系中畫出這兩個函數的圖象，如圖所示，兩個函數圖象的交點個數就等于函數f(x)零點的個數，容易看出函數f(x)零點的個數為2，故選B. 4．已知函數f(x)＝x－log3x，若x0是函數y＝f(x)的零點，且0＜x1＜x0，則f(x1)的值(　　) A．恒為正值 B．等于0 C．恒為負值 D．不大于0 解析：選A　因為函數f(x)＝x－log3x在(0，＋∞)上是減函數，所以當0＜x1＜x0時，有f(x1)＞f(x0)．又x0是函數f(x)的零點，因此f(x0)＝0，所以f(x1)＞0，即f(x1)的值恒為正值，故選A. 5．(2018黃山一模)已知函數f(x)＝e|x|＋|x|.若關于x的方程f(x)＝k有兩個不同的實根，則實數k的取值范圍是(　　) A．(0,1) B．(1，＋∞) C．(－1,0) D．(－∞，－1) 解析：選B　方程f(x)＝k化為方程e|x|＝k－|x|.令y＝e|x|，y＝k－|x|，y＝k－|x|表示過點(0，k)，斜率為1或－1的平行折線系，折線與曲線y＝e|x|恰好有一個公共點時，有k＝1，如圖．若關于x的方程f(x)＝k有兩個不同的實根，則實數k的取值范圍是(1，＋∞)． 6．若方程ln x＋x－4＝0在區(qū)間(a，b)(a，b∈Z，且b－a＝1)上有一根，則a的值為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選B　方程ln x＋x－4＝0的根為函數f(x)＝ln x＋x－4的零點．f(x)的定義域為(0，＋∞)，f(x)在定義域上單調遞增．因為f(2)＝ln 2－2＜0，f(3)＝ln 3－1＞0，所以f(x)在區(qū)間(2,3)有一個零點，則方程ln x＋x－4＝0在區(qū)間(2,3)有一根，所以a＝2，b＝3.故選B. 7．(2019哈爾濱檢測)若函數f(x)＝x2＋ax＋b的兩個零點是－1和2，則不等式af(－2x)＞0的解集是________． 解析：函數f(x)＝x2＋ax＋b的兩個零點是－1和2，即－1,2是方程x2＋ax＋b＝0的兩根，可得－1＋2＝－a，－12＝b，解得a＝－1，b＝－2.f(x)＝x2－x－2，af(－2x)＞0，即4x2＋2x－2＜0，解得－1＜x＜. 答案： 8．已知函數f(x)＝g(x)＝則函數f(g(x))的所有零點之和是________． 解析：由f(x)＝0，得x＝2或x＝－2，由g(x)＝2，得x＝1＋，由g(x)＝－2，得x＝－，所以函數f(g(x))的所有零點之和是－＋1＋＝＋. 答案：＋ 9．已知y＝f(x)是定義域為R的奇函數，當x∈[0，＋∞)時，f(x)＝x2－2x. (1)寫出函數y＝f(x)的解析式； (2)若方程f(x)＝a恰有3個不同的解，求實數a的取值范圍． 解：(1)設x＜0，則－x＞0， 所以f(－x)＝x2＋2x.又因為f(x)是奇函數， 所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x. 所以f(x)＝ (2)方程f(x)＝a恰有3個不同的解， 即y＝f(x)與y＝a的圖象有3個不同的交點． 作出y＝f(x)與y＝a的圖象如圖所示，故若方程f(x)＝a恰有3個不同的解，只需－1＜a＜1， 故實數a的取值范圍為(－1,1)． 10．(2019濟南月考)已知二次函數f(x)的最小值為－4，且關于x的不等式f(x)≤0的解集為{x|－1≤x≤3，x∈R}． (1)求函數f(x)的解析式； (2)求函數g(x)＝－4ln x的零點個數． 解：(1)因為f(x)是二次函數，且關于x的不等式f(x)≤0的解集為{x|－1≤x≤3，x∈R}， 所以f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a＞0. 所以f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a＝1. 故函數f(x)的解析式為f(x)＝x2－2x－3. (2)因為g(x)＝－4ln x＝x－－4ln x－2(x＞0)， 所以g′(x)＝1＋－＝. 令g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3. 當x變化時，g′(x)，g(x)的取值變化情況如下. x (0,1) 1 (1,3) 3 (3，＋∞) g′(x) ＋ 0 － 0 ＋ g(x)  極大值  極小值  當0＜x≤3時，g(x)≤g(1)＝－4＜0. 又因為g(x)在(3，＋∞)上單調遞增，因而g(x)在(3，＋∞)上只有1個零點．故g(x)在(0，＋∞)上只有1個零點． 二、專項培優(yōu)練 (一)易錯專練——不丟怨枉分 1．(2018德州期末)設函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x＞0時，f(x)＝ex＋x－3，則f(x)的零點個數為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選C　因為函數f(x)是定義域為R的奇函數，所以f(0)＝0，即0是函數f(x)的一個零點，當x＞0時，f(x)＝ex＋x－3為增函數．因為f(1)＝e1＋1－3＝e－2＞0，f＝e＋－3＝e－＜0，所以當x＞0時，f(x)有一個零點．根據對稱性知，當x＜0時，函數f(x)也有一個零點．綜上所述，f(x)的零點的個數為3. 2．(2019六安模擬)已知函數f(x)＝2mx2－x－1在區(qū)間(－2,2)上恰有一個零點，則實數m的取值范圍是(　　) A.∪ B. C. D. 解析：選D　當m＝0時，函數f(x)＝－x－1有一個零點x＝－1，滿足條件．當m≠0時，函數f(x)＝2mx2－x－1在區(qū)間(－2,2)上恰有一個零點，需滿足①f(－2)f(2)＜0或②或③解①得－＜m＜0或0＜m＜；②無解；解③得m＝.綜上可知－＜m≤，故選D. 3．(2019滄州質檢)已知定義在R上的函數f(x)滿足：①f(x)＋f(2－x)＝0；②f(x－2)＝f(－x)；③當x∈[－1,1]時，f(x)＝則函數y＝f(x)－|x|在區(qū)間[－3,3]上的零點個數為(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：選A　由①f(x)＋f(2－x)＝0可得f(x)的圖象關于點(1,0)對稱；由②f(x－2)＝f(－x)可得f(x)的圖象關于直線x＝－1對稱．如圖，作出f(x)在[－1,1]上的圖象，再由對稱性，作出f(x)在[－3,3]上的圖象，作出函數y＝|x|在[－3,3]上的圖象，由圖象觀察可得它們共有5個交點，即函數y＝f(x)－|x|在區(qū)間[－3,3]上的零點個數為5.故選A. 4．函數f(x)＝|x－1|＋2cos πx(－4≤x≤6)的所有零點之和為________． 解析：可轉化為兩個函數y＝|x－1|與y＝－2cos πx在[－4,6]上的交點的橫坐標的和，因為兩個函數均關于x＝1對稱，所以兩個函數在x＝1兩側的交點對稱，則每對對稱點的橫坐標的和為2，分別畫出兩個函數的圖象易知兩個函數在x＝1兩側分別有5個交點，所以52＝10. 答案：10 (二)難點專練——適情自主選 5．已知函數f(x)＝若關于x的方程f(x)＝kx－恰有4個不相等的實數根，則實數k的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：選D　若關于x的方程f(x)＝kx－恰有4個不相等的實數根，則y＝f(x)的圖象和直線y＝kx－有4個交點．作出函數y＝f(x)的圖象，如圖，故點(1,0)在直線y＝kx－的下方． ∴k1－＞0，解得k＞. 當直線y＝kx－和y＝ln x相切時，設切點橫坐標為m，則k＝＝，∴m＝.此時，k＝＝，f(x)的圖象和直線y＝kx－有3個交點，不滿足條件，故所求k的取值范圍是，故選D. 6．(2018蘭州一模)已知定義在R上的函數y＝f(x)對任意的x都滿足f(x＋2)＝f(x)，當－1≤x＜1時，f(x)＝sinx，若函數g(x)＝f(x)－loga|x|至少有6個零點，則a的取值范圍是(　　) A.∪(5，＋∞) B.∪[5，＋∞) C.∪(5,7) D.∪[5,7) 解析：選A　當a＞1時，作出函數y＝f(x)與函數y＝loga|x|的圖象，如圖所示． 結合圖象可知故a＞5； 當0＜a＜1時，作出函數f(x)與函數y＝loga|x|的圖象，如圖所示． 結合圖象可知故0＜a≤.故選A.