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第四講解題的化歸原則——清晰熟悉 一、清晰原則，淘盡泥沙見真金 問題是呈現(xiàn)給解題者的感性材料，可能是一種粗糙的、模糊的信息材料，這些材料在表達上具有非直觀形象化、非數(shù)學語言化，在內(nèi)容上具有隱蔽性、復雜性的特點，容易給解題者感知和思維活動造成障礙．解題者面對這些粗糙的、模糊的信息材料，需要利用自己的認知經(jīng)驗對信息的表現(xiàn)形式和內(nèi)容進行轉(zhuǎn)化，使信息呈現(xiàn)出清晰的感性材料，這種加工處理信息的原則我們稱為清晰原則．信息材料通過清晰后，更適合解題者認知活動的心理需求，可以加速神經(jīng)系統(tǒng)的傳導，有利于新信息與認知結構的鏈接． 常見的清晰手段有：①數(shù)學語言化：將問題信息用數(shù)學語言進行表達，便于運用數(shù)學方法來解決；②數(shù)形結合：將問題的信息用數(shù)形結合的方法進行描述，使信息表述得更詳盡、更直觀；③形變化歸：將復雜的信息進行形變化歸，使復雜信息的內(nèi)涵得到徹底挖掘和展示． [例1]　調(diào)查某個高中畢業(yè)班學生的升學報考志愿情況，得到如下結果： (1)報考A大學的學生不報考B大學； (2)報考B大學的學生也報考D大學； (3)報考C大學的學生不報考D大學； (4)不報考C大學的學生報考B大學． 根據(jù)上述結果，某人得出下述結論： ①報考D大學的學生也報考A大學． ②沒有既報考B大學又報考C大學的學生． ③有既報考C大學又報考D大學的學生． ④報考B大學的學生數(shù)和報考D大學的學生數(shù)相同． ⑤報考A大學的學生也報考C大學． 這些結論中正確的是(　　) A．①②③　　　　　　 B．②④⑤ C．①②④ D．③④⑤ [解析]　此題信息繁多，讓人感到有點云里霧里，雖然每項信息的含義簡單明白，毫不隱蔽，人人都會用邏輯推理的方法去探求解答方案，但推理過程容易混亂且不便于表述，對問題產(chǎn)生排斥心理．對此，我們先將各項信息進行數(shù)學語言易化處理，使問題的信息清晰直白，以觀其變． 用x表示高中畢業(yè)班學生，“∈”表示報考，“?”表示不報考．此時調(diào)查結果可以改寫為： (1)x∈A?x?B，再由原命題與逆否命題等價可知x∈B?x?A. (2)x∈B?x∈D等價轉(zhuǎn)化為x?D?x?B. (3)x∈C?x?D等價轉(zhuǎn)化為x∈D?x?C. (4)x?C?x∈B等價轉(zhuǎn)化為x?B?x∈C. 這樣處理后，問題的各項信息已經(jīng)簡潔明了．我們對問題新信息感到親切、熟悉． 下面對5條結論信息也進行數(shù)學語言化處理，再結合條件信息進行推理： 考查①：x∈D?x?C?x∈B?x?A，則①不正確． 考查②：x∈B?x∈D?x?C，則②正確． 考查③：x∈C?x?D，則③不正確． 考查④：x∈B?x∈D，x∈D?x?C?x∈B，則④正確． 考查⑤：x∈A?x?B?x∈C，則⑤正確． 所以，答案B正確． [答案]　B [反思領悟]　從此題的解答過程可以看出，對信息的數(shù)學語言化處理，使信息清晰明了，是成功解答此題的關鍵． [例2]　設0＜b＜1＋a，若關于x的不等式(x－b)2>(ax)2的解集中恰有3個整數(shù)，求a的取值范圍． [解]　此題中的(x－b)2>(ax)2是一個熟悉的二次不等式，但這個不等式的解集中恰有3個整數(shù)的條件是什么含義？我們首先對這一信息進行清晰化——形變化歸． 因為(x－b)2>(ax)2，所以[(a－1)x＋b]＜0. ①當a≤1時，不等式的解集中有無窮多個整數(shù)，不合題意． ②當a>1時，不等式的解為＜x＜. 因為0＜b＜1＋a，所以0＜＜1. 要使解集中恰有3個整數(shù)，則－3≤＜－2?3(a－1)≥b>2(a－1)． 通過信息清晰后，問題轉(zhuǎn)化為 已知求a的取值范圍． 如圖，作出不等式組表示的可行域，容易得到1＜a＜3. 綜上，a的取值范圍為(1,3)． [反思領悟]　此題本是一個二次不等式問題，很多學生都考慮用不等式放縮法進行解答，又擔心擴大了a的范圍，即使得到1＜a＜3，也不敢堅信一定正確．我們對“(x－b)2>(ax)2的解集中恰有3個整數(shù)”這一信息進行清晰，得到新信息“a>1且3(a－1)≥b>2(a－1)”，不僅順利地將原問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，而且還可以堅信答案是正確的． 二、熟悉原則，尋找曾經(jīng)走過的路 在加工處理信息的過程中，利用我們的認知經(jīng)驗對問題信息的表述形式或內(nèi)容進行處理，轉(zhuǎn)化為我們認知結構中熟悉的信息材料，這種處理信息的原則就是熟悉原則． 熟悉原則可分為兩種：第一種是熟悉知識原則，就是把不熟悉的知識和問題轉(zhuǎn)化為教材上或大家熟知的知識和問題．第二種是熟悉經(jīng)驗原則，就是把不熟悉的知識和問題轉(zhuǎn)化為解題者曾經(jīng)解答過的問題． [例3]　設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x≥0時，f(x)＝x2，若對任意x∈[a，a＋2]，不等式f(x＋a)≥f(x＋1)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍． [解]　由于f(x)是定義在R上的函數(shù)，現(xiàn)在只知道x≥0時的函數(shù)表達式．首先對問題信息進行清晰，利用奇函數(shù)求出x＜0時的函數(shù)表達式，進一步得到f(x)在R上的函數(shù)表達式f(x)＝ 利用數(shù)形結合再對函數(shù)進行信息清晰，可以發(fā)現(xiàn)f(x)在R上單調(diào)遞增，如圖所示． 我們知道當f(x)在R上單調(diào)遞增，f(m)≥f(n)的充分必要條件是m≥n.現(xiàn)在問題信息f(x＋a)≥f(x＋1)與認知經(jīng)驗f(m)≥f(n)在形式上存在差異，如果能把去掉，將不等式f(x＋a)≥f(x＋1)化為f(m)≥f(n)的形式，問題有可能得到解決，這是熟悉經(jīng)驗原則． 觀察f(x)表達式的結構，容易發(fā)現(xiàn)f(x)＝f，于是原問題可以轉(zhuǎn)化為：已知f(x)在R上單調(diào)遞增，對任意x∈[a，a＋2]，不等式f(x＋a)≥f恒成立，求實數(shù)a的取值范圍． 于是可得對任意x∈[a，a＋2]， 不等式x＋a≥恒成立． 即對x∈[a，a＋2]，不等式x≥1－2a恒成立． 所以a≥1－2a，所以a≥. 即實數(shù)a的取值范圍為. [反思領悟]　上述解答最關鍵的一步是熟悉經(jīng)驗的運用，將f(x＋a)≥f(x＋1)化為f(x＋a)≥f，進一步化為“對x∈[a，a＋2]，不等式x≥1－2a恒成立”，使問題化難為易，化陌生為熟悉，就可以順利地用熟悉性知識解答． [例4]　在平面直角坐標系中，點集M＝，點P是點集M內(nèi)的點，設A(－2，1)，B(8，－9)，則|PA|2＋|PB|2的最小值為________． [解析]　由于問題中點集M的元素是坐標形式，而結論信息不是坐標形式，我們將結論信息用坐標表示，這樣，條件和結論信息的表達形式保持一致，這就是熟悉知識原則的應用． 令P(x，y)，可得|PA|2＋|PB|2＝2x2＋2y2＋16y－12x＋150.① 式①類似我們熟悉的圓方程的左邊，運用熟悉知識原則，可以將上述式子進行配方，可得|PA|2＋|PB|2＝22＋100.② 觀察式②的結構，用熟悉知識原則，表示點P到N(3，－4)的距離．所以，問題可以轉(zhuǎn)化為求|PN|的最小值．再用熟悉經(jīng)驗原則，要求|PN|的最小值，只需求出點集M表示的幾何圖形，然后利用數(shù)形結合就可以順利解答． 又用熟悉經(jīng)驗原則，要求點集M表示的幾何圖形，只需消去參數(shù)即可． 于是：x2＋y2＝169＋120sin(α＋β)?49≤x2＋y2≤289. 所以，點集M表示的幾何圖形是以O為圓心，半徑由7變到17的一個圓環(huán)，如圖所示． 因為|PN|min＝7－＝2， 所以|PA|2＋|PB|2＝2|PN|2＋100≥108. 所以|PA|2＋|PB|2的最小值為108. [答案]　108