4、則an＝
1．?dāng)?shù)列{an}是遞增數(shù)列?an＋1＞an恒成立．
2．?dāng)?shù)列{an}是遞減數(shù)列?an＋1＜an恒成立．
一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)所有數(shù)列的第n項(xiàng)都能使用公式表達(dá)． ( )
(2)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出的數(shù)列的通項(xiàng)公式可能不止一個(gè)．
( )
(3)如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則對任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn. ( )
(4)若已知數(shù)列{an}的遞推公式為an＋1＝，且a2＝1，則可以寫出數(shù)列{an}的任何一項(xiàng)． ( )
[答案](1)× (2)√ (3)√ (4)√
二、教材改編
1．?dāng)?shù)列
5、－1，，－，，－，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為( )
A．a(chǎn)n＝± B．a(chǎn)n＝(－1)n·
C．a(chǎn)n＝(－1)n＋1 D．a(chǎn)n＝
B [由a1＝－1，代入檢驗(yàn)可知選B.]
2．在數(shù)列{an}中，已知a1＝－，an＋1＝1－，則a3＝( )
A．－3 B. C．5 D.
D [a2＝1－＝5，a3＝1－＝1－＝.]
3．把3,6,10,15,21，…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因?yàn)橐赃@些數(shù)目的點(diǎn)可以排成一個(gè)正三角形(如圖所示)．
則第6個(gè)三角形數(shù)是( )
A．27 B．28
C．29 D．30
B [由題圖可知，第6個(gè)三角形數(shù)是1
6、＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.]
4．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各項(xiàng)由an＝an－1＋an－2(n＞2)給出，則a5＝________.
8 [a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝5，a5＝a4＋a3＝8.]
(對應(yīng)學(xué)生用書第94頁)
⊙考點(diǎn)1 由數(shù)列的前n項(xiàng)歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式
解答具體策略：①相鄰項(xiàng)的變化規(guī)律；②各項(xiàng)的符號規(guī)律和其絕對值的變化規(guī)律；③分式中分子、分母的變化規(guī)律，分子與分母之間的關(guān)系；④合理拆項(xiàng)；⑤結(jié)構(gòu)不同的項(xiàng)，化異為同．
根據(jù)下面各數(shù)列前n項(xiàng)的值，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．
(1)，－，，－，，…；
(2)，2，，8，，…；
(
7、3)5,55,555,5555，…；
(4)1,3,1,3，…；
(5)，，，，，…；
(6)－1,1，－2,2，－3,3，….
[解](1)數(shù)列中各項(xiàng)的符號可通過(－1)n＋1表示．每一項(xiàng)絕對值的分子比分母少1，而分母組成數(shù)列21,22,23,24，…，
所以an＝(－1)n＋1.
(2)數(shù)列的各項(xiàng)，有的是分?jǐn)?shù)，有的是整數(shù)，可將數(shù)列的各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察．即，，，，，…，分子為項(xiàng)數(shù)的平方，從而可得數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝.
(3)將原數(shù)列改寫為×9，×99，×999，…，易知數(shù)列9,99,999，…的通項(xiàng)為10n－1，故所求的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(10n－1)．
(
8、4)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)擺動(dòng)數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)是1，偶數(shù)項(xiàng)是3，所以數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝2＋(－1)n.
(5)這是一個(gè)分?jǐn)?shù)數(shù)列，其分子構(gòu)成偶數(shù)數(shù)列，而分母可分解為1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一項(xiàng)都是兩個(gè)相鄰奇數(shù)的乘積，分子依次為2,4,6，…，相鄰的偶數(shù)．故所求數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝.
(6)數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為－1，－2，－3，…可用－表示，
數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)為1,2,3，…可用表示．
因此an＝
(1)記住常見數(shù)列的通項(xiàng)公式，有些數(shù)列可用常見數(shù)列表示，如T(3)．
(2)對于奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)不能用同一表達(dá)式表示的數(shù)列，可用分段函數(shù)表示，如T(6)．
⊙考點(diǎn)2
9、 由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式
已知Sn求an的三個(gè)步驟
(1)先利用a1＝S1，求出a1；
(2)用n－1替換Sn中的n得到一個(gè)新的關(guān)系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當(dāng)n≥2時(shí)an的表達(dá)式；
(3)注意檢驗(yàn)n＝1時(shí)的表達(dá)式是否可以與n≥2的表達(dá)式合并．
(1)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n2－2n＋1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.
(2)(2018·全國卷Ⅰ)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若Sn＝2an＋1，則S6＝________.
(3)已知數(shù)列{an}滿足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，則an＝________.
(1)
10、 (2)－63 (3) [(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，顯然當(dāng)n＝1時(shí)，不滿足上式．
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝
(2)由Sn＝2an＋1得S1＝2a1＋1，即a1＝2a1＋1，解得a1＝－1.
又Sn－1＝2an－1＋1(n≥2)，所以an＝2an－2an－1，即an＝2an－1.
所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為－1，公比為2的等比數(shù)列，所以S6＝＝1－26＝－63.
(3)當(dāng)n＝1時(shí)，由已知，
可得a1＝21＝2，
∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n
11、， ①
故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n－1(n≥2)， ②
由①－②得nan＝2n－2n－1＝2n－1，
∴an＝(n≥2)．
顯然當(dāng)n＝1時(shí)不滿足上式，
∴an＝]
an＝Sn－Sn－1只適用于n≥2的情形，易忽略求a1，造成錯(cuò)解，如T(1)，T(3)．
1.(2019·鄭州模擬)已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________．
an＝ [由log2(Sn＋1)＝n＋1得Sn＋1＝2n＋1，即Sn＝2n＋1－1.
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝21＋1－1＝3.
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－S
12、n－1＝(2n＋1－1)－(2n－1)＝2n，
顯然a1＝3不滿足上式，
所以an＝]
2．已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，Sn為其前n項(xiàng)和，且對任意n∈N*，均有2Sn＝a＋an，則an＝________.
n [由2Sn＝a＋an得
2Sn－1＝a＋an－1，
∴2an＝a－a＋an－an－1，
即a－a＝an＋an－1，又an＞0，
∴an－an－1＝1，
又2S1＝a＋a1，解得a1＝1，
∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．
∴an＝1＋(n－1)×1＝n.]
⊙考點(diǎn)3 由遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式
由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式的常用方法
(1)形
13、如an＋1＝an＋f(n)，可用累加法求an.
(2)形如an＋1＝anf(n)，可用累乘法求an.
(3)形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，可構(gòu)造等比數(shù)列求an.
(4)形如an＋1＝，可通過兩邊同時(shí)取倒數(shù)，構(gòu)造新數(shù)列求解．
形如an＋1＝an＋f(n)，求an
在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2(n∈N*)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
[解] ∵an＋1－an＝3n＋2，
∴an－an－1＝3n－1(n≥2)，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝(3n－1)＋(3n－4)＋…＋8＋5＋2
＝，
14、
∴an＝n2＋.
求解時(shí)，易錯(cuò)誤地認(rèn)為an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)造成錯(cuò)解．
形如an＋1＝anf(n)，求an
已知數(shù)列{an}滿足a1＝4，an＋1＝an，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
[解] 由an＋1＝an得＝，
∴＝(n≥2)，
∴an＝···…···a1＝···…···4
＝××2×1×4＝，
即an＝.
求解時(shí)易錯(cuò)誤地認(rèn)為an＝···…··，造成錯(cuò)解．
形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an
已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
[解] ∵an＋1＝
15、3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，
又a1＝1，∴a1＋1＝2，
故數(shù)列{an＋1}是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，
∴an＋1＝2·3n－1，因此an＝2·3n－1－1.
an＋1＝Aan＋B可轉(zhuǎn)化為an＋1＋k＝A(an＋k)的形式，其中k可用待定系數(shù)法求出．
1.(2019·泰安模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝an＋2n－1＋1，則an＝________.
2n－1＋n [由an＋1＝an＋2n－1＋1得an＋1－an＝2n－1＋1，
∴an－an－1＝2n－2＋1(n≥2)，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a
16、2)＋(a2－a1)＋a1
＝2n－2＋2n－3＋…＋2＋1＋(n－1)＋2
＝＋n＋1＝2n－1＋n，
即an＝2n－1＋n.]
2．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2nan，則an＝________.
2 [∵an＋1＝2nan，∴＝2n，∴＝2n－1(n≥2)，
∴an＝··…··a1
＝2n－1·2n－2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n－1)＝2，
即an＝2.]
3．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋3，則an＝________.
2n＋1－3 [由an＋1＝2an＋3得an＋1＋3＝2(an＋3)．
又a1＝1，∴a1＋3＝4.
故
17、數(shù)列{an＋3}是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，
∴an＋3＝4·2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3.]
⊙考點(diǎn)4 數(shù)列的周期性
先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期求值．
(1)數(shù)列{an}滿足an＋1＝a1＝，則數(shù)列的第2 020項(xiàng)為________．
(2)在數(shù)列{an}中，a1＝0，an＋1＝，則S2 020＝________.
(1) (2)0 [(1)因?yàn)閍1＝，故a2＝2a1－1＝，a3＝2a2＝，a4＝2a3＝，a5＝2a4－1＝，a6＝2a5－1＝，a7＝2a6＝，…，故數(shù)列{an}是周期數(shù)列且周期為4，故a2 020＝a505×4＝
18、a4＝.
(2)∵a1＝0，an＋1＝，
∴a2＝＝，a3＝＝＝－，
a4＝＝0，
即數(shù)列{an}是周期為3的周期數(shù)列，
且a1＋a2＋a3＝0，
則S2 020＝S3×673＋1＝a1＝0.]
求解時(shí)，易算錯(cuò)數(shù)列的周期，可計(jì)算數(shù)列的前幾項(xiàng)，直至找到和a1相同的項(xiàng)ak，則數(shù)列的周期為k－1.
[教師備選例題]
已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝，若a1＝，則a2 020＝( )
A．－1 B. C．1 D．2
B [由a1＝，an＋1＝，得a2＝＝2，a3＝＝－1，a4＝＝，a5＝＝2，…，于是可知數(shù)列{an}是以3為周期的周期數(shù)列，因此a2 020＝a
19、3×673＋1＝a1＝.]
1.已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝a－2an＋1(n∈N*)，則a2 020＝________.
0 [∵a1＝1，an＋1＝a－2an＋1＝(an－1)2，
∴a2＝(a1－1)2＝0，a3＝(a2－1)2＝1，a4＝(a3－1)2＝0，…，可知數(shù)列{an}是以2為周期的周期數(shù)列，∴a2 020＝a2＝0.]
2．(2019·青島模擬)已知數(shù)列2 008,2 009,1，－2 008，…，若這個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它的前后兩項(xiàng)之和，則這個(gè)數(shù)列的前2 020項(xiàng)之和S2 020＝________.
2 010 [由題意知a1＝2 008，a2＝2 009，a3＝1，a4＝－2 008，a5＝－2 009，a6＝－1，a7＝2 008，a8＝2 009，…，因此數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，且a1＋a2＋…＋a6＝0，∴S2 020＝S6×336＋4＝336×0＋a1＋a2＋a3＋a4＝2 010.]
高三數(shù)學(xué)北師大版文一輪教師用書：第6章 第1節(jié) 數(shù)列的概念與簡單表示法 Word版含解析
