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1、21.2.6 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系 一、教學(xué)目標(biāo) （一）知識與技能 掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系并會初步應(yīng)用． （二）過程與方法 培養(yǎng)學(xué)生分析、觀察、歸納的能力和推理論證的能力． （三）情感、態(tài)度與價值觀 1．滲透由特殊到一般，再由一般到特殊的認識事物的規(guī)律； 2．培養(yǎng)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)規(guī)律的積極性及勇于探索的精神． 二、教學(xué)重點、難點、疑點及解決方法 1．教學(xué)重點：根與系數(shù)的關(guān)系及其推導(dǎo)． 2．教學(xué)難點：正確理解根與系數(shù)的關(guān)系． 3．教學(xué)疑點：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是指一元二次方程兩根的和，兩根的積與系數(shù)的關(guān)系． 三、教學(xué)過程 （一）明確目標(biāo) 一元二次

2、方程x2-5x+6=0的兩個根是x1=2，x2=3，可以發(fā)現(xiàn)x1＋x2=5恰是方程一次項系數(shù)-5的相反數(shù)，x1x2＝6恰是方程的常數(shù)項．其它的一元二次方程的兩根也有這樣的規(guī)律嗎？這就是本節(jié)課所研究的問題，利用一元二次方程的一般式和求根公式去推導(dǎo)兩根和及兩根積與方程系數(shù)的關(guān)系——一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系． （二）整體感知 一元二次方程的求根公式是由系數(shù)表達的，研究一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是指一元二次方程的兩根的和，兩根的積與系數(shù)的關(guān)系．它是以一元二次方程的求根公式為基礎(chǔ)．學(xué)了這部分內(nèi)容，在處理有關(guān)一元二次方程的問題時，就會多一些思想和方法，同時，也為今后進一步學(xué)習(xí)方程理論打下基礎(chǔ)． 本

3、節(jié)先由發(fā)現(xiàn)數(shù)字系數(shù)的一元二次方程的兩根和與兩根積與方程系數(shù)的關(guān)系，到引導(dǎo)學(xué)生去推導(dǎo)論證一元二次方程兩根和與兩根積與系數(shù)的關(guān)系及其應(yīng)用．向?qū)W生滲透認識事物的規(guī)律是由特殊到一般，再由一般到特殊，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、積極思維的精神． （三）重點、難點的學(xué)習(xí)及目標(biāo)完成過程 1．復(fù)習(xí)提問 （1）寫出一元二次方程的一般式和求根公式． （2）解方程①x2-5x＋6＝0，②2x2＋x-3＝0． 觀察、思考兩根和、兩根積與系數(shù)的關(guān)系． 在教師的引導(dǎo)和點撥下，由學(xué)生得出結(jié)論，教師提問：所有的一元二次方程的兩個根都有這樣的規(guī)律嗎？ 2．推導(dǎo)一元二次方程兩根和與兩根積和系數(shù)的關(guān)系． 設(shè)x1、x2是方程a

4、x2+bx+c=0（a≠0）的兩個根． 以上一名學(xué)生在板書，其它學(xué)生在練習(xí)本上推導(dǎo)． 由此得出，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系．（一元二次方程兩根和與兩根積與系數(shù)的關(guān)系） 結(jié)論1．如果ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個根是x1，x2，那么x1 我們就可把它寫成 x2+px+q=0． 結(jié)論2．如果方程x2+px+q＝0的兩個根是x1，x2，那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q． 結(jié)論1具有一般形式，結(jié)論2有時給研究問題帶來方便． 練習(xí)1．（口答）下列方程中，兩根的和與兩根的積各是多少？ （1）x2-2x＋1＝0；（2）x2-9x＋10＝0； （3）2x2-

5、9x＋5＝0；（4）4x2-7x＋1＝0； （5）2x2-5x＝0；（6）x2-1＝0 此組練習(xí)的目的是更加熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系． 3．一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用． （1）驗根．（口答）判定下列各方程后面的兩個數(shù)是不是它的兩個根． 驗根是一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的簡單應(yīng)用，應(yīng)用時要注意三個問題：（1）要先把一元二次方程化成標(biāo)準型，（2）不要漏除二次項系數(shù)，（3）還要注意-b/a的負號。 （2）已知方程一根，求另一根． 例：已知方程2x2＋kx-4＝0的根是-4，求它的另一根及k的值． 答：方程的另一根是-1/2,k的值7 此題的解法是依據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)

6、系，設(shè)未知數(shù)列方程達到目的，還可以向?qū)W生展現(xiàn)下列方法，并且作比較． 方法（二）∵? -4是方程2x2+kx-4=0的根， ∴? 2×（-4）2＋k×（-4）-4＝0，∴? k＝7． ∴? 原方程可變?yōu)?x2+7x-4=0 解此方程x=-4或x=1/2 答：方程的另一個跟為1/2,k的值為7. 學(xué)生進行比較，方法（二）不如方法（一）簡單，從而認識到根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用價值． 練習(xí)：教材P．34中2． 學(xué)習(xí)筆答、板書，評價，體會． （四）總結(jié)、擴展 1．一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的推導(dǎo)是在求根公式的基礎(chǔ)上進行．它深化了兩根的和與積和系數(shù)之間的關(guān)系，是我們今后繼續(xù)研究一元二次方程根

7、的情況的主要工具，必須熟記，為進一步使用打下基礎(chǔ)． 2．以一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的探索與推導(dǎo)，向?qū)W生展示認識事物的一般規(guī)律，提倡積極思維，勇于探索的精神，借此鍛煉學(xué)生分析、觀察、歸納的能力及推理論證的能力． 四、布置作業(yè) 1．教材P．33中A1．2．推導(dǎo)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系． 五、板書設(shè)計 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（一） 一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系 關(guān)系的推導(dǎo) 應(yīng)用（1）驗根 （1）…… …… （2）已知一根， 求另一根 （2）…… …… 六、教學(xué)反思 觀察、歸納、證明是研究事物的科學(xué)方法此節(jié)課在研究方程的根與系數(shù)關(guān)系時，先從具體例子觀察、歸納其規(guī)律，并

8、且先從二次項系數(shù)是1的方程入手，然后提出二次項系數(shù)不是1的，由此，猜想一般的一元二次方程 a11的根與系數(shù)關(guān)系，最后對此猜想的正確性作出證明.這個全過程對培養(yǎng)學(xué)生正確的思考方法很有價值. 優(yōu)點：教學(xué)設(shè)計中補充了“簡化的一元二次方程”的定義，對根與系數(shù)關(guān)系的敘述可以方便些.教學(xué)設(shè)計中還把根與系數(shù)關(guān)系作為兩個互逆的定理提出，可加深理解兩個性質(zhì)的不同功能.韋達定理的原定理的功能是：若已知一元二次方程，則可寫出些方程的兩根之和的值及兩極之積的值.而其逆定理的功能是：若已知一元二次方程的兩個根，可寫出這個方程. 缺點：本節(jié)課教學(xué)設(shè)計注重開發(fā)學(xué)生的思維能力,但是學(xué)生理解很好，掌握起來卻很困難。教師在今后的教學(xué)中應(yīng)注意加強化繁為簡的教學(xué)方法，也就是在課堂45分鐘內(nèi)的內(nèi)容準備一定要充分、簡單，使學(xué)生有成功感。還應(yīng)注意鍛煉學(xué)生們的動手能力，課堂內(nèi)有充足的練習(xí)時間。 4 學(xué)習(xí)是一件快樂的事情，大家下載后可以自行修改