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在學(xué)習(xí)中要把握好三投影面體系的轉(zhuǎn)換規(guī)律 并逐步具備分析和解決空間問題的能力 點(diǎn)是最基本的幾何元素 雖然簡單但點(diǎn)的投影作圖方法和點(diǎn)的投影規(guī)律是后面學(xué)習(xí)直線 平面以及立體投影的基礎(chǔ) 一 點(diǎn)的三面投影設(shè)第一分角內(nèi)有一A點(diǎn) 過A點(diǎn)分別向三投影面投射即得A點(diǎn)的三面投影 點(diǎn)及其投影的表示方法 空間的點(diǎn)用大寫字母表示點(diǎn)的投影用小寫字母 加上 或 為表示點(diǎn)的各投影的對應(yīng)關(guān)系用細(xì)線相連接 點(diǎn)的投影連線與投影軸的交點(diǎn)分別記做ax ay az 3 2點(diǎn)的投影 如A 水平投影a 正面投影a 側(cè)面投影a 一 點(diǎn)的三面投影設(shè)第一分角內(nèi)有一A點(diǎn) 過A點(diǎn)分別向三投影面投射即得A點(diǎn)的三面投影 將三投影面展開便得到點(diǎn)的三面投影圖點(diǎn)的三面投影圖如下圖所示 二 點(diǎn)的三面投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系為了研究問題方便 可將三投影面體系視為一空間直角坐標(biāo)系 這樣就可將H V W三投影面視為坐標(biāo)平面 X Y Z三投影軸視為坐標(biāo)軸 投影原點(diǎn)O視為坐標(biāo)原點(diǎn) 引入坐標(biāo)系的概念后 就可用坐標(biāo)說明點(diǎn)的位置 三個(gè)有序的坐標(biāo)即X Y Z可確定惟一一個(gè)點(diǎn)的位置點(diǎn)的坐標(biāo)表示方法 A X Y Z 例如 A 15 20 8 B 5 30 25 二 點(diǎn)的三面投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系對照下圖試分析點(diǎn)的每一個(gè)投影能反映該點(diǎn)三個(gè)坐標(biāo)中的幾個(gè)坐標(biāo) 點(diǎn)的每個(gè)投影能反映該點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)的正面投影a 反映出x z坐標(biāo)點(diǎn)的水平投影a反映出x y坐標(biāo)點(diǎn)的側(cè)面投影a 反映出y z坐標(biāo) 結(jié)論 任給點(diǎn)的兩個(gè)投影 該兩投影均能反映點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo) 二 點(diǎn)的三面投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系點(diǎn)的坐標(biāo)還表示了點(diǎn)到投影面的距離 XA aayh a az A點(diǎn)到W面的距離YA aax a az A點(diǎn)到V面的距離ZA a ax a ayw A點(diǎn)到H面的距離 三 點(diǎn)的三面投影規(guī)律點(diǎn)的三面投影規(guī)律為 1 點(diǎn)的正面投影與水平投影的連線垂直于OX軸 即a a ox2 點(diǎn)的正面投影與側(cè)面投影的連線垂直于OZ軸 即a a oz3 點(diǎn)的水平投影與側(cè)面投影具有相同的Y坐標(biāo) 即aax a az根據(jù)上述規(guī)律就可準(zhǔn)確作出點(diǎn)的三面投影圖 三 點(diǎn)的三面投影規(guī)律例1 已知點(diǎn)A 30 15 25 求作A點(diǎn)的三面投影 1 分別在X Y Z軸上量取A點(diǎn)的坐標(biāo)30 15和25 得ax ayh ayw和az點(diǎn) 2 過ax ayh ayw和az點(diǎn)作A點(diǎn)投影的連線 3 各連線的交點(diǎn)即為所求 作圖步驟 三 點(diǎn)的三面投影規(guī)律例2 已知B 40 30 0 作出B點(diǎn)的三面投影 問題 根據(jù)B點(diǎn)的坐標(biāo)分析B點(diǎn)的位置 因B點(diǎn)的坐標(biāo) 40 30 0 中Z坐標(biāo)為0 故B點(diǎn)位于H面上 點(diǎn)的位置有如下說法 1 空間的點(diǎn) 如圖中的A點(diǎn)2 投影面上的點(diǎn) 即位于V H或W投影面上 如B點(diǎn) 當(dāng)點(diǎn)位于H面 W面以及Y軸上時(shí) 要注意分析點(diǎn)的各個(gè)投影的位置 投影面上的點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)中有一個(gè)為0點(diǎn)在V面上 Y坐標(biāo)為0在H面上 Z坐標(biāo)為0在W面上 X坐標(biāo)為0 三 點(diǎn)的三面投影規(guī)律例2 已知B 40 30 0 作出B點(diǎn)的三面投影 作圖步驟 1 在X Y軸上量取B點(diǎn)坐標(biāo) 2 作點(diǎn)的投影的連線 各連線的交點(diǎn)為所求 要注意的是 B點(diǎn)的側(cè)面投影b 應(yīng)在Yw軸上 而不應(yīng)畫在Yh軸上 三 點(diǎn)的三面投影規(guī)律例3 已知B點(diǎn)的兩面投影 補(bǔ)出B點(diǎn)的第三投影 作圖分析 由于點(diǎn)的任兩投影都能反映該點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo) 因此便可按點(diǎn)的投影規(guī)律作出點(diǎn)的第三投影 作圖步驟 1 按點(diǎn)的投影規(guī)律作點(diǎn)的投影連線 2 投影連線的交點(diǎn)即為B點(diǎn)的水平投影 四 兩點(diǎn)的相對位置 兩點(diǎn)間的相對位置是指空間兩點(diǎn)之間的上下 左右和前后的位置關(guān)系 判斷方法 試判別圖中A B兩點(diǎn)的相對位置 根據(jù)給出的兩點(diǎn)的坐標(biāo)判斷相對位置 兩點(diǎn)中 X坐標(biāo)大的點(diǎn)在左 Y坐標(biāo)大的點(diǎn)在前 Z坐標(biāo)大的點(diǎn)在上 A點(diǎn)在B點(diǎn)之上方 后方 右方 點(diǎn)的坐標(biāo)是作點(diǎn)的投影圖和判斷兩點(diǎn)間位置關(guān)系的基礎(chǔ) 也是分析和解決空間問題的關(guān)鍵 應(yīng)充分理解點(diǎn)的投影與其坐標(biāo)的關(guān)系 尤其要熟悉三投影面的轉(zhuǎn)換規(guī)律 五 重影點(diǎn)及其可見性 重影點(diǎn) 若兩個(gè)點(diǎn)在某一投影面上的投影重合成一點(diǎn)則稱為重影點(diǎn) 如圖所示 從圖中可看出 A B兩點(diǎn)的X Y坐標(biāo)相等 C D兩點(diǎn)的X Z坐標(biāo)相等 試分析A B兩點(diǎn)哪兩個(gè)坐標(biāo)相等 C D兩點(diǎn)哪兩個(gè)坐標(biāo)相等 問題 重影的兩點(diǎn)其坐標(biāo)有何特點(diǎn) 重影點(diǎn)的坐標(biāo)中有兩個(gè)相等 并由此可分析出當(dāng)兩點(diǎn)在W面重影時(shí) 兩點(diǎn)的Y Z坐標(biāo)相等 當(dāng)兩點(diǎn)的投影重合時(shí)就會有一個(gè)點(diǎn)的投影被擋住 作圖時(shí)要判斷出被擋住的點(diǎn) 即是判別重影點(diǎn)的可見性可通過兩重影點(diǎn)的不相等的坐標(biāo)來判別 一定是坐標(biāo)大的點(diǎn)擋住坐標(biāo)小的點(diǎn) 注意 判別后要將不可見投影用括號括住表示該點(diǎn)投影的字母 五 重影點(diǎn)及其可見性 判別圖中各點(diǎn)的可見性 2 C D兩點(diǎn)在V面重影 因D點(diǎn)的Y坐標(biāo)小故D點(diǎn)的正面投影不可見 1 從圖中可看出A B在H面上的投影重合 為水平重影點(diǎn) 由于A點(diǎn)的Z坐標(biāo)比B點(diǎn)的Z坐標(biāo)大故B點(diǎn)的水平投影不可見 例 已知點(diǎn)A 40 15 30 求作A點(diǎn)的直觀圖 由于直觀圖具有一定的空間效果 因此在分析問題時(shí)常需要繪制這樣的圖形 1 在三坐標(biāo)軸上分別量取該點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo) 得ax ay和az點(diǎn) 三投影面體系直觀圖 2 過ax ay和az點(diǎn)作相應(yīng)坐標(biāo)軸的平行線 各線的交點(diǎn)為點(diǎn)的投影 3 分別過a a a 作三坐標(biāo)軸的平行線 三條線的交點(diǎn)為空間A點(diǎn) 作圖步驟