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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 第7講 立體幾何中的向量方法（一） 一、選擇題 1．直線(xiàn)l1，l2相互垂直，則下列向量可能是這兩條直線(xiàn)的方向向量的是(　　) A．s1＝(1,1,2)，s2＝(2，－1,0) B．s1＝(0,1，－1)，s2＝(2,0,0) C．s1＝(1,1,1)，s2＝(2,2，－2) D．s1＝(1，－1,1)，s2＝(－2,2，－2) 解析 兩直線(xiàn)垂直，其方向向量垂直，只有選項(xiàng)B中的兩個(gè)向量垂直． 答案　B 2．已知a＝，b＝滿(mǎn)足a∥b，則λ等于(　　)． A. B. C．－ D．

2、－ 解析　由＝＝，可知λ＝. 答案　B 3．平面α經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A(－1,0,1)，B(1,1,2)，C(2，－1,0)，則下列向量中與平面α的法向量不垂直的是 (　　)． A. B．(6，－2，－2) C．(4,2,2) D．(－1,1,4) 解析　設(shè)平面α的法向量為n，則n⊥，n⊥，n⊥，所有與(或、)平行的向量或可用與線(xiàn)性表示的向量都與n垂直，故選D. 答案　D 4．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝2，E為CC1的中點(diǎn)，則直線(xiàn)AC1與平面BED的距離為 (　　)． A．2 B

3、. C. D．1 解析　連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接EO，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AC1于點(diǎn)H，因?yàn)锳B＝2，所以AC＝2，又CC1＝2，所以O(shè)H＝sin 45°＝1. 答案　D 5．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5， λ)，若a，b，c三向量共面，則實(shí)數(shù)λ等于(　　)． A. B. C. D. 解析　由題意得c＝ta＋μb ＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)， ∴∴. 答案　D 6．正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，點(diǎn)M在AC1上且＝，N為B

4、1B的中點(diǎn)，則||為 (　　)． A.a B.a C.a D.a 解析　以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N. 設(shè)M(x，y，z)， ∵點(diǎn)M在AC1上且＝， ∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z) ∴x＝a，y＝，z＝. 得M， ∴||＝ ＝a. 答案　A 二、填空題 7．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)且a與b的夾角的余弦值為，則λ＝________. 解析　由已知得＝＝， ∴8＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝. 答案?。?或 8

5、．在四面體PABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，設(shè)PA＝PB＝PC＝a，則點(diǎn)P到平面ABC的距離為_(kāi)_______． 解析　根據(jù)題意，可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系P－xyz，則P(0,0,0)，A(a，0,0)，B(0，a,0)，C(0,0，a)．過(guò)點(diǎn)P作PH⊥平面ABC，交平面ABC于點(diǎn)H，則PH的長(zhǎng)即為點(diǎn)P到平面ABC的距離． ∵PA＝PB＝PC， ∴H為△ABC的外心． 又∵△ABC為正三角形， ∴H為△ABC的重心，可得H點(diǎn)的坐標(biāo)為. ∴PH＝ ＝a. ∴點(diǎn)P到平面ABC的距離為a. 答案　a 9．平面α的一個(gè)法向量n＝(0,1，－1)，如果直線(xiàn)l⊥平面α，則直線(xiàn)l

6、的單位方向向量是s＝________. 解析 直線(xiàn)l的方向向量平行于平面α的法向量，故直線(xiàn)l的單位方向向量是s＝±. 答案 ± 10．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為正方形A1B1C1D1四邊上的動(dòng)點(diǎn)，O為底面正方形ABCD的中心，M，N分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為平面ABCD內(nèi)一點(diǎn)，線(xiàn)段D1Q與OP互相平分，則滿(mǎn)足＝λ的實(shí)數(shù)λ的有____________個(gè)． 解析　建立如圖的坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2，則P(x，y,2)，O(1,1,0)，∴OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為，又知D1(0,0,2)，∴Q(x＋1，y＋1,0)，而Q在MN上，∴xQ＋yQ＝3， ∴x＋y＝1，即點(diǎn)P坐標(biāo)

7、滿(mǎn)足x＋y＝1.∴有2個(gè)符合題意的點(diǎn)P，即對(duì)應(yīng)有2個(gè)λ. 答案　2 三、解答題 11．已知：a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求： a，b，c. 解　因?yàn)閍∥b，所以＝＝， 解得x＝2，y＝－4， 這時(shí)a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)． 又因?yàn)閎⊥c， 所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0， 解得z＝2，于是c＝(3，－2,2)． 12．如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是線(xiàn)段EF的中點(diǎn)． 求證：(1)AM∥平面BDE； (2)AM⊥平面BDF. 證明　(1)

8、建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)AC∩BD＝N，連接NE. 則N，E(0,0,1)， A(，，0)，M ∴＝. ＝. ∴＝且NE與AM不共線(xiàn)．∴NE∥AM. 又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE， ∴AM∥平面BDE. (2)由(1)知＝， ∵D(，0,0)，F(xiàn)(，，1)， ∴＝(0，，1) ∴·＝0，∴AM⊥DF. 同理AM⊥BF. 又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF. 13．在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD＝DC，E、F分別是AB、PB的中點(diǎn)． (1)求證：EF⊥CD； (2)在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)G，使GF⊥平面

9、PCB，并證明你的結(jié)論． (1)證明　如圖，以DA、DC、DP所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AD＝a，則D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a，a,0)、C(0，a,0)、E、P(0,0，a)、F. ＝，＝(0，a,0)． ∵·＝0，∴⊥，即EF⊥CD. (2)解　設(shè)G(x,0，z)，則＝， 若使GF⊥平面PCB，則由 ·＝·(a,0,0)＝a＝0，得x＝； 由·＝·(0，－a，a) ＝2＋a＝0， 得z＝0. ∴G點(diǎn)坐標(biāo)為，即G點(diǎn)為AD的中點(diǎn)． 14．如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠A

10、BC＝90°，E是CD的中點(diǎn)． (1)證明：CD⊥平面PAE； (2)若直線(xiàn)PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P－ABCD的體積． 解　如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)PA＝h，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為：A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4，3,0)，D(0,5,0)，E(2,4,0)， P(0,0，h)． (1)易知＝(－4,2,0)，＝(2,4,0)，＝(0,0，h)． 因?yàn)椤ぃ剑?＋8＋0＝0，·＝0，所以CD⊥AE，CD⊥AP.而AP，AE是平面PAE內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)，所以CD⊥平面PAE. (2)由題設(shè)和(1)知，·分別是平面PAE，平面ABCD的法向量．而PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，所以|cos〈，〉|＝|cos〈，〉|， 即＝. 由(1)知，＝(－4,2,0)，＝(0,0，－h(huán))， 又＝(4,0，－h(huán))， 故＝. 解得h＝. 又梯形ABCD的面積為S＝×(5＋3)×4＝16， 所以四棱錐P－ABCD的體積為V＝×S×PA＝×16×＝.