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2019屆高三數(shù)學(xué)12月月考試題 理 (VIII) 注意事項(xiàng)： 1．答題前，考生務(wù)必將姓名、考號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。 2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷無(wú)效。 3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 一、選擇題：本題共12個(gè)小題,每小題5分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1．設(shè)集合，，則 A．　　　　　 B． C． D． 2．若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足（為虛數(shù)單位），為的共軛復(fù)數(shù)，則 A． B．2 C． D．3 3. 某學(xué)校的兩個(gè)班共有100名學(xué)生，一次考試后數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，已知，估計(jì)該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?10分以上的人數(shù)為 A.20 B.10 C.7 D.5 4．古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下的問(wèn)題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問(wèn)日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問(wèn)這女子每天分別織布多少？”根據(jù)上述已知條件，若要使織布的總尺數(shù)不少于50尺，則至少需要 A．7天 B．8天 C．9天 D．10天 5．在矩形中，，若向該矩形內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)，那么使得與的面積都不小于3的概率為 A． B． C． D． 6. 執(zhí)行如圖所示的算法，則輸出的結(jié)果是 A． B． C． D． 7. 有6名選手參加演講比賽，觀眾甲猜測(cè)：4號(hào)或5號(hào)選手得第一名；觀眾乙猜測(cè)：3號(hào)選手不可能得第一名；觀眾丙猜測(cè)：1，2，6號(hào)選手中的一位獲得第一名；觀眾丁猜測(cè)：4，5，6號(hào)選手都不可能獲得第一名，比賽后發(fā)現(xiàn)沒(méi)有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜對(duì)比賽結(jié)果，此人是 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 8．一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示，該幾何體外接球的表面積為 A. B. C. D. 9. 設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線：上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)，則的值為 A． B． C． D． 10. 設(shè)函數(shù)為定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間上的所有零點(diǎn)的和為 A．10 B．8 C．16 D．20 11. 已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，且在上單調(diào)，同時(shí)的圖象向左平移個(gè)單位之后與原來(lái)的圖象重合，當(dāng)，且時(shí)，，則 A. B. C. D. 12. 在棱長(zhǎng)為4的正方體中，是中點(diǎn)，點(diǎn)是正方形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)(含邊界)，且滿(mǎn)足，則三棱錐的體積最大值是 A. B. C. D. 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分. 13.已知向量,的夾角為，，，則_______ ． 14.已知滿(mǎn)足則最大值為_(kāi)________． 15.在中，是邊上一點(diǎn)，的 面積為，為銳角，則 ． 16.已知實(shí)數(shù)，，滿(mǎn)足，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，那么的 最小值為_(kāi)_______． 三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17題～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22題和第23題為選考題，考生根據(jù)要求作答. 17. (本小題滿(mǎn)分12分)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且. (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)，求數(shù)列的前100項(xiàng)和. 18. (本小題滿(mǎn)分12分)如圖，在四棱錐中，平面， 平面，， （1）證明：平面平面； （2）若直線與平面所成角為，求的值. 19．(本小題滿(mǎn)分12分)已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，且橢圓與圓 的公共弦長(zhǎng)為． （1）求橢圓的方程； （2）過(guò)點(diǎn)P（0，1）作斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，，試判斷在軸上是否存在點(diǎn)，使得為以為底邊的等腰三角形，若存在，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 20. (本小題滿(mǎn)分12分)隨著生活節(jié)奏的加快以及智能手機(jī)的普及，外賣(mài)點(diǎn)餐逐漸成為越來(lái)越多用戶(hù)的 餐飲消費(fèi)習(xí)慣，由此催生了一批外賣(mài)點(diǎn)餐平臺(tái)。已知某外賣(mài)平臺(tái)的送餐費(fèi)用與送餐距離有關(guān)（該平臺(tái)只給5千米范圍內(nèi)配送），為調(diào)査送餐員的送餐收入，現(xiàn)從該平臺(tái)隨機(jī)抽取80名點(diǎn)外賣(mài)的用戶(hù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按送餐距離分類(lèi)統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表： 以這80名用戶(hù)送餐距離位于各區(qū)間的頻率代替送餐距離位于該區(qū)間的概率。 （1）若某送餐員一天送餐的總距離為120千米，試估計(jì)該送餐員一天的送餐份數(shù)；（四舍五入精確到整數(shù)） （2）若該外賣(mài)平臺(tái)給送餐員的送餐費(fèi)用與送餐距離有關(guān)，規(guī)定2千米內(nèi)為短距離，每份3元，2千米到4千米為中距離，每份5元，超過(guò)4千米為遠(yuǎn)距離，每份10元。 (i)記X為送餐員送一份外賣(mài)的收入（單位：元），求X的分布列和數(shù)學(xué)期望； (ii)若送餐員一天的目標(biāo)收入不低于180元，試估計(jì)一天至少要送多少份外賣(mài)？ 21. (本小題滿(mǎn)分12分)已知函數(shù). (1)討論函數(shù)的單調(diào)性； (2)若函數(shù)存在極大值，且極大值為1，證明：. 22.（本小題滿(mǎn)分10分）選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線（為參數(shù)），在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非 負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為. （1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程； （2）過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線交于，兩點(diǎn)，求點(diǎn)到，兩點(diǎn)的距離之積. 23．（本小題滿(mǎn)分10分）選修4—5：不等式選講 已知函數(shù) （1）解不等式； （2）若方程在區(qū)間有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 數(shù)學(xué)（理科）參考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D A B C C D D A C B C D 13． 14．4 15． 16． 17.解：（1)中令得， 由可得，，整理得， 所以是首項(xiàng)為－1，公比為－1的等比數(shù)列，故 . ……………5分 (2)由題意，.………7分 . ……………12分 18.解：（1）∵平面，平面，平面平面，∴，分別取中點(diǎn)，連接 則，，所以四邊形為平行四邊形. ∴，∵， ∴平面，∴平面 ∵平面，∴平面平面……………6分 （2）由（1）可得兩兩垂直， 以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則由已知條件有： 平面的一個(gè)法向量記為，則 ∴ 從而……………12分 19．（1）由題意可得，所以． 由橢圓與圓：的公共弦長(zhǎng)為，恰為圓的直徑， 可得橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得． 所以橢圓的方程為．………5分 （2）直線的解析式為，設(shè)，，的中點(diǎn)為．假設(shè)存在點(diǎn) ，使得為以為底邊的等腰三角形，則．由得， 故，所以，．………7分 因?yàn)?，所以，即? 所以．………9分 當(dāng)時(shí)，，所以．………11分 綜上所述，在軸上存在滿(mǎn)足題目條件的點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為．12分 20.(1)估計(jì)每名外賣(mài)用戶(hù)的平均送餐距離為： =2.35千米……3分 所以送餐距離為120千米，送餐份數(shù)為：份；………5分 （2）（Ⅰ）由題意知X的可能取值為：3，5，10 ，， 所以X的分布列為： X 3 5 10 P ……7分 所以E（X）=……9分 （Ⅱ）180份 所以估計(jì)一天至少要送39份外賣(mài)?！?2分  21．解:（1）由題意，………1分 ① 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；………2分 ② 當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增， ，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增；………4分 ③ 當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減， ，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減．………5分 （2）由（1）可知若函數(shù)存在極大值，則，且，解得，故此 時(shí)，………6分 要證，只須證，及證即可， 設(shè)，． ，令 ，所以函數(shù)單調(diào)遞增， 又，， 故在上存在唯一零點(diǎn)， 即．……9分 所以當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增， 故， 所以只須證即可， 由，得， 所以，又，所以只要即可， 當(dāng)時(shí)， 所以與矛盾， 故，得證．………12分 （另證） 當(dāng)時(shí)， 所以與矛盾； 當(dāng)時(shí)， 所以與矛盾； 當(dāng)時(shí)， 得，故成立， 得，所以，即． 22. 解：（1）曲線化為普通方程為：,………………………2分 由，得，……………………4分 所以直線的直角坐標(biāo)方程為.……………………………………5分 （2）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），……………………7分 代入化簡(jiǎn)得：，…………………9分 設(shè)兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，則， ∴. ………10分 23.解析：（1）可化為10 或或； 2＜x≤或或； 不等式的解集為；…………………5分 （2）由題意： 故方程在區(qū)間有解函數(shù)和函數(shù)圖象在區(qū)間上有交點(diǎn) 當(dāng)時(shí)， …………………10分