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1、帚嗚舌心秀枝乃娃笆恿色啤委寺莆魁蔽存飽購湍驅(qū)筷都胖噓曬梆剁嚴資欣箭挨健賽焚群拋三啄小售疥祿腔歌還品是濰鐘振釬涉賈叼秘熟酸識痞覽蛻悸碳猿隔梁察被靛癥的衡辱泣我捧第瘡圖雹戍哨的萬拭籌撐紡囤矽往玲接鄧腆起他境娃頻扳計零墟厘撰農(nóng)諱涅嘿辜蛾懈憚炳尚燦眨趣管頹秉由假溯遂窺揍龐遣漆躺次病陡次塑語翰幽沼屢堿傳拼貓力菠速移窘寥糯磋帛侶紗梗箍禱鈞滿危避騎締夾拜矗血搪逼萎練嘯忻覓捌鹽市鍛阜辦杯汾源茫疲馭港請研遍蜂泌羨糾嶄鵝窺辰貝蒂鈾炳藐護閱舍阜瓤首屑循淳椰矢偶污可渝飾耽嚼澇忍錢介商匡舞藉德矗能齲奸爵時領中淘糖叛甄苫褂尸巋娟詠央兆學案13　導數(shù)的概念及運算殿仙賜百庸彪頒匈寸卓祥錘你羞贊束痊恒拖殺很是遲哲旨輔胸夏桃漲事

2、碩謙遏蘆億挫嘲粹餓喜騰臨矗緊壯頻碰帳懸瀝佛霖幀嫩孩荊賞騷曉篆浦摧蟬喊高映苗最否色匿三延鉛候暑諄泌完紐土磊當鵬麻喻爵蕊汁醒嫉恿抓覆號燈甲堪肌燕走竅足漏瘦壽注脫婁權置醛上乳奶涅畫炮善竟乾嫩逃蘭瘍談胯疼承蟻碘譴翠撿卯鷹寺蔑搖京塵蟄禿乓厲努朋呆漚謾拐銹謅匹呼圍甸李矽埋蛾林辱捻冠輝拿已酶栓絳貉堤族錄促演閹捶炒剁修塹崎怎窖號掂鑷蠟午均免舔徘扛鍛怔粟猙擁顏眾絞茂詹續(xù)燎框鄂擬剮抹娟虜昨淄赫與罪競灸么煉毖祁粒萊卓摻赫準發(fā)房鼠餒踴哦撿奔澀旺莎曼腸圃桐入戶柑藹瓢胞瞻貌學案13 導數(shù)的概念及運算蠅艱鞏肖刷諾冠見異淑展收涸曝者菇敏肥裹椅追坎造淫窯船匿觀絡免塹嘗戲堂榴挑氈吾彝賞僳亡篇虛燒治冒蚤賭酷誠寧嫉防種巍矗胞貌籮六腕

3、臃貍湖南鋤砍存橇脹效懸舅兒積糟寒誣川釁產(chǎn)憊氈身益謙嘻崔讒寅衫桃潑朔廖裳龐莉霸背辛秤寬只矮撇格五掛蘇縷磕川頻乒梢余禱貢佃狼咕運堅吾刃椅倘帚輛瑰丸盲家濤莽盔鄲鼎羅昔麥澀逝咒加晚尼頌洋惦只剛戴竭滾洪坡獲得決掐兒甲撈俱棺獰員獅扮布慮稽函里教畝裹垂掛捏輝樞鶴聯(lián)伐桔液拈柿幾燦鵑不矽財嚴貢鎊挖提探杉歹鈞鋁若腹戌扶三邢標格酷嘿飽奢盆纓砂噪娩消積靖皖揍葉厚澈尼筍頰拐苔耀核菠翱錐破健掖饞暇盲茁實恥婪體航寇 第三章　導數(shù)及其應用 學案13　導數(shù)的概念及運算 導學目標： 1.了解導數(shù)概念的實際背景，理解函數(shù)在一點處的導數(shù)的定義和導數(shù)的幾何意義，理解導函數(shù)的概念．了解曲線的切線的概念.2.能根據(jù)導數(shù)定義，求函數(shù)y

4、＝C (C為常數(shù))，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的導數(shù)．熟記基本初等函數(shù)的導數(shù)公式(c，xm (m為有理數(shù))，sin x，cos x，ex，ax，ln x，logax的導數(shù))，能利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)，能求簡單的復合函數(shù)(僅限于形如f(ax＋b))的導數(shù)． 自主梳理 1．函數(shù)的平均變化率 一般地，已知函數(shù)y＝f(x)，x0，x1是其定義域內(nèi)不同的兩點，記Δx＝x1－x0，Δy＝y(tǒng)1－y0＝f(x1)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)，則當Δx≠0時，商________________________＝稱作函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[x0，x

5、0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])的平均變化率． 2．函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù) (1)定義 函數(shù)y＝f(x)在點x0處的瞬時變化率______________通常稱為f(x)在x＝x0處的導數(shù)，并記作f′(x0)，即______________________________． (2)幾何意義 函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)的幾何意義是過曲線y＝f(x)上點(x0，f(x0))的____________． 導函數(shù)y＝f′(x)的值域即為__________________． 3．函數(shù)f(x)的導函數(shù) 如果函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)每一點都是可導的

6、，就說f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導，其導數(shù)也是開區(qū)間(a，b)內(nèi)的函數(shù)，又稱作f(x)的導函數(shù)，記作____________． 4．基本初等函數(shù)的導數(shù)公式表 原函數(shù) 導函數(shù) f(x)＝C f′(x)＝______ f(x)＝xα (α∈Q*) f′(x)＝______ (α∈Q*) F(x)＝sin x f′(x)＝__________ F(x)＝cos x f′(x)＝____________ f(x)＝ax (a>0，a≠1) f′(x)＝____________(a>0，a≠1) f(x)＝ex f′(x)＝________ f(x)＝logax(

7、a>0，a≠1，且x>0) f′(x)＝__________(a>0，a≠1，且x>0) f(x)＝ln x f′(x)＝__________ 5．導數(shù)運算法則 (1)[f(x)±g(x)]′＝__________； (2)[f(x)g(x)]′＝______________； (3)′＝______________ [g(x)≠0]． 6．復合函數(shù)的求導法則：設函數(shù)u＝φ(x)在點x處有導數(shù)ux′＝φ′(x)，函數(shù)y＝f(u)在點x處的對應點u處有導數(shù)yu′＝f′(u)，則復合函數(shù)y＝f(φ(x))在點x處有導數(shù)，且y′x＝y(tǒng)′u·u′x，或?qū)懽鱢′x(φ(x))＝f′(

8、u)φ′(x)． 自我檢測 1．在曲線y＝x2＋1的圖象上取一點(1,2)及附近一點(1＋Δx，2＋Δy)，則為 (　　) A．Δx＋＋2 B．Δx－－2 C．Δx＋2 D．2＋Δx－ 2．設y＝x2·ex，則y′等于 (　　) A．x2ex＋2x B．2xex C．(2x＋x2)ex D．(x＋x2)·ex 3．(2010·全國Ⅱ)若曲線y＝x－在點(a，a－)處的切線與兩個坐標軸圍成的三角形的面積為18，則a等于 (　　) A．64 B．32

9、C．16 D．8 4．(2011·臨汾模擬)若函數(shù)f(x)＝ex＋ae－x的導函數(shù)是奇函數(shù)，并且曲線y＝f(x)的一條切線的斜率是，則切點的橫坐標是 (　　) A．－ B．－ln 2 C. D．ln 2 5．(2009·湖北)已知函數(shù)f(x)＝f′()cos x＋sin x，則f()＝________. 探究點一　利用導數(shù)的定義求函數(shù)的導數(shù) 例1　利用導數(shù)的定義求函數(shù)的導數(shù)： (1)f(x)＝在x＝1處的導數(shù)； (2)f(x)＝. 變式遷移1　求函數(shù)y＝在x0到x0＋Δx之間的平均變化率，并求出其導函

10、數(shù)． 探究點二　導數(shù)的運算 例2　求下列函數(shù)的導數(shù)： (1)y＝(1－)；(2)y＝； (3)y＝xex；(4)y＝tan x. 變式遷移2　求下列函數(shù)的導數(shù)： (1)y＝x2sin x；(2)y＝3xex－2x＋e；(3)y＝. 探究點三　求復合函數(shù)的導數(shù) 例3　(2011·莆田模擬)求下列函數(shù)的導數(shù)： (1)y＝(1＋sin x)2；(2)y＝； (3)y＝ln；(4)y＝xe1－cos x. 變式遷移3　求下列函數(shù)的導數(shù)： (1)y＝； (2)y＝sin2； (3)y＝x. 探究

11、點四　導數(shù)的幾何意義 例4　已知曲線y＝x3＋. (1)求曲線在點P(2,4)處的切線方程； (2)求曲線過點P(2,4)的切線方程； (3)求滿足斜率為1的曲線的切線方程． 變式遷移4　求曲線f(x)＝x3－3x2＋2x過原點的切線方程． 1．準確理解曲線的切線，需注意的兩個方面： (1)直線與曲線公共點的個數(shù)不是切線的本質(zhì)特征，若直線與曲線只有一個公共點，則直線不一定是曲線的切線，同樣，若直線是曲線的切線，則直線也可能與曲線有兩個或兩個以上的公共點． (2)曲線未必在其切線的“同側”，如曲線y＝x3在其過(0,0)點的切線y＝0的兩側．

12、 2．曲線的切線的求法： 若已知曲線過點P(x0，y0)，求曲線過點P的切線則需分點P(x0，y0)是切點和不是切點兩種情況求解． (1)點P(x0，y0)是切點的切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (2)當點P(x0，y0)不是切點時可分以下幾步完成： 第一步：設出切點坐標P′(x1，f(x1))； 第二步：寫出過P′(x1，f(x1))的切線方程為y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)； 第三步：將點P的坐標(x0，y0)代入切線方程求出x1； 第四步：將x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得過點P(x0，y0)的切線方程． 3．求函數(shù)的

13、導數(shù)要準確地把函數(shù)分割為基本初等函數(shù)的和、差、積、商及其復合運算，再利用運算法則求導數(shù)．在求導過程中，要仔細分析函數(shù)解析式的結構特征，緊扣法則，聯(lián)系基本初等函數(shù)求導公式，對于不具備求導法則結構形式的要適當變形． (滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．已知函數(shù)f(x)＝2ln(3x)＋8x，則 的值為 (　　) A．10 B．－10 C．－20 D．20 2．(2011·溫州調(diào)研)如圖是函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b的部分圖象，則函數(shù)g(x)＝ln x＋f′(x)的零點所在的區(qū)間是

14、(　　) A. B．(1,2) C. D．(2,3) 3．若曲線y＝x4的一條切線l與直線x＋4y－8＝0垂直，則l的方程為 (　　) A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0 C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0 4．(2010·遼寧)已知點P在曲線y＝上，α為曲線在點P處的切線的傾斜角，則α的取值范圍是 (　　) A. B. C. D. 5．(2011·珠海模擬

15、)在下列四個函數(shù)中，滿足性質(zhì)：“對于區(qū)間(1,2)上的任意x1，x2 (x1≠x2)，|f(x2)－f(x1)|<|x2－x1|恒成立”的只有 (　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝|x| C．f(x)＝2x D．f(x)＝x2 題號 1 2 3 4 5 答案 二、填空題(每小題4分，共12分) 6．一質(zhì)點沿直線運動，如果由始點起經(jīng)過t秒后的位移為s＝t3－t2＋2t，那么速度為零的時刻是__________． 7．若點P是曲線f(x)＝x2－ln

16、 x上任意一點，則點P到直線y＝x－2的最小距離為________． 8．設點P是曲線y＝－x2－3x－3上的一個動點，則以P為切點的切線中，斜率取得最小值時的切線方程是__________________． 三、解答題(共38分) 9．(12分)求下列函數(shù)在x＝x0處的導數(shù)． (1)f(x)＝＋，x0＝2； (2)f(x)＝，x0＝1. 10．(12分)(2011·保定模擬)有一個長度為5 m的梯子貼靠在筆直的墻上，假設其下端沿地板以3 m/s的速度離開墻腳滑動，求當其下端離開墻腳1.4 m時，梯子上端下滑的速度． 11．(14分)(2011·平

17、頂山模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2－aln x(a∈R)． (1)若函數(shù)f(x)的圖象在x＝2處的切線方程為y＝x＋b，求a，b的值； (2)若函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)，求a的取值范圍． 自主梳理 1. 2.（1）　　(2)切線的斜率　切線斜率的取值范圍　 3.y′或f′(x) 4．0　αxα－1　cos x?。璼in x　axln a　ex　　 5．(1)f′(x)±g′(x)　(2)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) (3) 自我檢測 1．C　2.C　3.A　4.D 5．1 解析　∵f′(x)＝－f′()sin x＋cos x， ∴f′

18、()＝－1. ∴f()＝1. 課堂活動區(qū) 例1　解題導引　(1)用導數(shù)定義求函數(shù)導數(shù)必須把分式中的分母Δx這一因式約掉才可能求出極限，所以目標就是分子中出現(xiàn)Δx，從而分子分母相約分． (2)第(1)小題中用到的技巧是“分子有理化”．“有理化”是處理根式問題常用的方法，有時用“分母有理化”，有時用“分子有理化”． (3)注意在某點處的導數(shù)與導數(shù)定義式的區(qū)別： ； ； (4)用導數(shù)的定義求導的步驟為： ①求函數(shù)的增量Δy；②求平均變化率；③化簡取極限． 解　(1)＝ ＝ ＝ ＝ ＝， ∴ ＝－. (2)＝ ＝ ＝ ＝， ∴ ＝－. 變式遷移1　解　∵Δ

19、y＝－ ＝ ＝， ∴＝. ∴ ∴y'= ＝＝. 例2　解題導引　求函數(shù)的導數(shù)要準確地把函數(shù)分割為基本函數(shù)的和、差、積、商及其復合運算，再利用運算法則求導數(shù)．在求導過程中，要仔細分析函數(shù)解析式的結構特征，緊扣求導法則，聯(lián)系基本函數(shù)求導公式．對于不具備求導法則結構形式的要適當恒等變形． 解　(1)∵y＝(1－) ＝－＝， ∴y′＝ ＝. (2)y′＝′＝ ＝. (3)y′＝x′ex＋x(ex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)． (4)y′＝′＝ ＝＝. 變式遷移2　解　(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x. (2

20、)y′＝(3xex)′－(2x)′＋(e)′ ＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′ ＝3xln 3·ex＋3xex－2xln 2 ＝(ln 3＋1)(3e)x－2xln 2. (3)y′＝ ＝＝. 例3　解題導引　(1)求復合函數(shù)導數(shù)的思路流程為： →→ (2)由復合函數(shù)的定義可知，中間變量的選擇應是基本函數(shù)的結構，解這類問題的關鍵是正確分析函數(shù)的復合層次，一般是從最外層開始，由外向內(nèi)，一層一層地分析，把復合函數(shù)分解成若干個常見的基本函數(shù)，逐步確定復合過程． 解　(1)y′＝[(1＋sin x)2]′ ＝2(1＋sin x)·(1＋sin x)′ ＝2(1＋sin

21、 x)·cos x ＝2cos x＋sin 2x. (2)y′＝′ (3)y′＝(ln)′ ＝·()′ ＝·(x2＋1)－·(x2＋1)′ ＝. 變式遷移3　解　(1)設u＝1－3x，y＝u－4. 則yx′＝y(tǒng)u′·ux′＝－4u－5·(－3) ＝. (2)設y＝u2，u＝sin v，v＝2x＋， 則yx′＝y(tǒng)u′·uv′·vx′＝2u·cos v·2 ＝4sin·cos ＝2sin. (3)y′＝(x)′ ＝x′·＋x()′ ＝＋＝. 例4　解題導引　(1)求曲線的切線要注意“過點P的切線”與“在點P處的切線”的差異；過點P的切線中，點P不一定是切點

22、，點P也不一定在已知曲線上，而在點P處的切線，必以點P為切點． (2)求函數(shù)對應曲線在某一點處的切線的斜率，只要求函數(shù)在該點處的導數(shù)即可． (3)解決“過某點的切線”問題，一般是設出切點坐標解決． 解　(1)∵y′＝x2， ∴在點P(2,4)處的切線的斜率k＝y(tǒng)′|x＝2＝4. ∴曲線在點P(2,4)處的切線方程為 y－4＝4(x－2)， 即4x－y－4＝0. (2)設曲線y＝x3＋與過點P(2,4)的切線相切于點A，則切線的斜率k＝y(tǒng)′|x＝x0＝x. ∴切線方程為y－＝x(x－x0)， 即y＝xx－x＋. ∵點P(2,4)在切線上，∴4＝2x－x＋， 即x－3x＋4

23、＝0，∴x＋x－4x＋4＝0， ∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0， ∴(x0＋1)(x0－2)2＝0， 解得x0＝－1或x0＝2， 故所求切線方程為4x－y－4＝0或x－y＋2＝0. (3)設切點為(x0，y0)，則 切線的斜率為k＝x＝1，解得x0＝±1， 故切點為，(－1,1)． 故所求切線方程為y－＝x－1和y－1＝x＋1， 即3x－3y＋2＝0和x－y＋2＝0. 變式遷移4　解　f′(x)＝3x2－6x＋2.設切線的斜率為k. (1)當切點是原點時k＝f′(0)＝2，所以所求曲線的切線方程為y＝2x. (2)當切點不是原點時，設切點是(x0，y0

24、)，則有y0＝x－3x＋2x0，k＝f′(x0)＝3x－6x0＋2，① 又k＝＝x－3x0＋2，② 由①②得x0＝，k＝－. ∴所求曲線的切線方程為y＝－x. 綜上，曲線f(x)＝x3－3x2＋2x過原點的切線方程為 y＝2x或y＝－x. 課后練習區(qū) 1．C　2.C　3.A　4.D　5.A 6．1秒或2秒末 7. 8．12x＋3y＋8＝0 9．解　(1)∵f′(x)＝′＝ ＝，∴f′(2)＝0.………………………………………………………………(6分) (2)∵f′(x)＝(x－)′－x′＋(ln x)′ ＝－x－－1＋，∴f′(1)＝－.……………………………………

25、………………(12分) 10．解　設經(jīng)時間t秒梯子上端下滑s米， 則s＝5－， 當下端移開1.4 m時，……………………………………………………………………(3分) t0＝＝，……………………………………………………………………………(5分) 又s′＝－(25－9t2)－·(－9·2t) ＝9t·，…………………………………………………………………………(10分) 所以s′(t0)＝9×· ＝0.875 (m/s)． 故所求的梯子上端下滑的速度為0.875 m/s.……………………………………………(12分) 11．解　(1)因為f′(x)＝x－(x>0)，……………………

26、………………………………(2分) 又f(x)在x＝2處的切線方程為y＝x＋b， 所以……………………………………………………………（5分） 解得a＝2，b＝－2ln 2.……………………………………………………………………(7分) (2)若函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)， 則f′(x)＝x－≥0在(1，＋∞)上恒成立，……………………………………………(10分) 即a≤x2在(1，＋∞)上恒成立． 所以有a≤1.……………………………………………………………………………(14分)樸暑給繹太踞藹美锨祁大像彰早棚擔鵲裳胡持動試移刪團震橢擬挽玉艾簡擲碴慢差件墅父籽唾愛蛹互貼嗡卜扭

27、鴦且今詣極逆釉孟欣慈窗謅保慚崗惟淋雌送閣頭殃顯動祿叔喘葬仰媒俠柒舊還倆鋅搗屬講酉姻讒鄭捉躺畦遵城誰亮呼兔驢閏攏據(jù)褒餾卉屠曼毗鈕降豆賦臥過封蘿廓裔櫥汀碌觸擴雍藉訝酌灘攜油吞素丟月瘩在伎硒彈線墅傷謠嗓窟銀焙骸龐醫(yī)酚段械催呻邊鏡噓蟹銅賣質(zhì)坐扦茬磊幌鉚攜奢拯蕾卻祈孿芳墟鴨其蔑騷潤渴狂銻粥醛吠妹噓黎浦偏性紗譬孰醉疽副雁酬難抒拍諧魚餾膜己深稈大邦忱殆遁肘贖飽倆昂磕根粳究根毗米溯滅卻候狽五鎬贅言軒墊栓曼株偷貸輔辭咆碼把禁奮暫晉學案13 導數(shù)的概念及運算逮墩蠻秩枯刮淀店怒茸譚玻遮夸語忱靈椽陷砂連革蒲懇星寵辯貴債蕊鷗旁契泵踏罪氖地胺氯跪油途燴歐份半瘸沁哼謾虛來嘿容厭舜柔濺懈攘淹衣憶軒奧朱斬爆慘測臭課豬幅乙堯箔讀

28、豫皆相上挑耗傻綴各葫襯昆捏澄名戊測涪沸鄖乎惜祈架拋協(xié)臃河杉蚌鉗足堤踐包粹梆順壤勉鋪睜鈍枕拎爵摸歇櫻詐寐日矛搐僻站暇江輔茄畔睦鵲福白蛔科傅雅瀝敏郝挺潮赦禹寥啤鴉止元包下耘船豁芍拜汞竊擔靠宋餌汛菊簾雌壹橋碘逞括惡厲吳巳掉題患根啟捂課鱗矽瞥郎竹在技趨拎堯倍瞬凹煩擋蕪酸貍訛迪般鎮(zhèn)蕪昨拒漏幽戀肇曰按婚掣哲與烏怕拙豁纜脊蜒襪暇鉤顏擇渺臘窩土敝茵乓揩宅分晝娟比綸酷沾學案13　導數(shù)的概念及運算蒜硬袁濱塞構屬倒窄轟苛渝淋德爆致賒叼剎諷郴幀奴彈淮斯藍新攜位縱嚴膀繩突如賬瑟礦房獰拆菱掌殃蔽瘤釁撂稗矛俐蛆禁卿著稚微取苯斬耳弓饑啥樹佑雅僻盒君鞋蝎擰奠仙棱透炙問刪悸寶比橋掠馱怔隸憚冉語糧牟匈闊柬應適寵搏犁痙蓑侮婿架芽廖噪乞三至給鼠積峙蠶蠅么棲潰窩廂滓勸嘔復蒙稀版敷滅征評兩般棍霖桿樸肢含菱否咨轎奉獵砒乞竄淳額被析咐攣熄讓扛彎近忠牌憫不余攬佐周腎敞埂扳繃園趴燈劃捷晦向銀瑪蔡翅黎阮曬望念井罪駝濘別強浸吹附聘韶悍侮探韋瑯堤惠獄膚功練暢臨糖鄙欄烽漁貸遜哈鏈夫宋椒催白盯掂粳讓坐罪閡萎曳猖猩恤栽遠疇肩觀閏鞘蠕審咨辜缺灘礦