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課時跟蹤檢測（十七） “解析幾何”專題提能課 A組——易錯清零練 1．(2018嘉興模擬)已知直線l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0，其中a∈R，則“a＝－3”是“l(fā)1⊥l2”的(　　) A．充分不必要條件　　　 　B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A　若l1⊥l2，則a＋a(a＋2)＝0，即a(a＋3)＝0，解得a＝0或a＝－3，所以“a＝－3”是“l(fā)1⊥l2”的充分不必要條件．故選A. 2．已知雙曲線Γ：－＝1(a>0，b>0)，過雙曲線Γ的右焦點F，且傾斜角為的直線l與雙曲線Γ交于A，B兩點，O是坐標原點，若∠AOB＝∠OAB，則雙曲線Γ的離心率為(　　) A. B. C. D. 解析：選C　由題意可知AB是通徑，根據(jù)雙曲線的對稱性和∠AOB＝∠OAB，可知 △AOB為等邊三角形，所以tan∠AOF＝＝，整理得b2＝ac，由c2＝a2＋b2，得c2＝a2＋ac，兩邊同時除以a2，得e2－e－1＝0，解得e＝.故選C. 3．過點P(2,1)作直線l，使l與雙曲線－y2＝1有且僅有一個公共點，這樣的直線l共有(　　) A．1條 B．2條 C．3條 D．4條 解析：選B　依題意，雙曲線的漸近線方程是y＝x，點P在直線y＝x上． ①當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝2，此時直線l與雙曲線有且僅有一個公共點(2,0)，滿足題意． ②當直線l的斜率存在時， 設直線l的方程為y－1＝k(x－2)， 即y＝kx＋1－2k， 由消去y得x2－4(kx＋1－2k)2＝4， 即(1－4k2)x2－8(1－2k)kx－4(1－2k)2－4＝0，(*) 若1－4k2＝0，則k＝， 當k＝時，方程(*)無實數(shù)解，因此k＝不滿足題意； 當k＝－時，方程(*)有唯一實數(shù)解，因此k＝－滿足題意． 若1－4k2≠0，即k≠，此時Δ＝64k2(1－2k)2＋16(1－4k2)[(1－2k)2＋1]＝0不成立，因此滿足題意的實數(shù)k不存在． 綜上所述，滿足題意的直線l共有2條． 4．已知橢圓＋＝1的離心率等于，則m＝________. 解析：①當橢圓的焦點在x軸上時， 則a2＝4，即a＝2.又e＝＝， 所以c＝，m＝b2＝a2－c2＝4－()2＝1. ②當橢圓的焦點在y軸上時， 橢圓的方程為＋＝1，則b2＝4，即b＝2. 又e＝＝，故 ＝，解得＝，即a＝2b， 所以a＝4，m＝a2＝16.綜上，m＝1或16. 答案：1或16 5．已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1及圓C2外切，則動圓圓心M的軌跡方程為________． 解析：如圖所示，設動圓M與圓C1及圓C2分別外切于A和B兩點．連接MC1，MC2. 根據(jù)兩圓外切的條件，得 |MC1|－|AC1|＝|MA|， |MC2|－|BC2|＝|MB|. 因為|MA|＝|MB|， 所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|， 即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2<6＝|C1C2|.　 所以點M到兩定點C1，C2的距離的差是常數(shù)． 又根據(jù)雙曲線的定義，得動點M的軌跡為雙曲線的左支(點M與C2的距離比與C1的距離大)， 可設軌跡方程為－＝1(a>0，b>0，x<0)， 其中a＝1，c＝3，則b2＝8. 故動圓圓心M的軌跡方程為x2－＝1(x<0)． 答案：x2－＝1(x<0) B組——方法技巧練 1．已知點M(－3,2)是坐標平面內(nèi)一定點，若拋物線y2＝2x的焦點為F，點Q是該拋物線上的一動點，則|MQ|－|QF|的最小值是(　　) A. B．3 C. D．2 解析：選C　拋物線的準線方程為x＝－，過Q作準線的垂線，垂足為Q′，如圖．依據(jù)拋物線的定義，得|QM|－|QF|＝|QM|－|QQ′|，則當QM和QQ′共線時，|QM|－|QQ′|的值最小，最小值為＝. 2．已知圓C：(x－)2＋(y－1)2＝1和兩點A(－t,0)，B(t，0)(t＞0)，若圓C上存在點P，使得∠APB＝90，則t的取值范圍是(　　) A．(0,2] B．[1,2] C．[2,3] D．[1,3] 解析：選D　依題意，設點P(＋cos θ，1＋sin θ)， ∵∠APB＝90，∴＝0， ∴(＋cos θ＋t)(＋cos θ－t)＋(1＋sin θ)2＝0， 得t2＝5＋2cos θ＋2sin θ＝5＋4sin， ∵sin∈[－1,1]，∴t2∈[1,9]， ∵t＞0，∴t∈[1,3]． 3．(2018金華、臺州、溫州三市聯(lián)考)已知雙曲線C：－y2＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F2的直線與雙曲線C的右支相交于P，Q兩點，且點P的橫坐標為2，則 △PF1Q的周長為(　　) A. B．5 C. D．4 解析：選A　易知雙曲線C：－y2＝1中，a＝，b＝1，所以c＝＝2，則F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)．因為點P的橫坐標為2，所以PQ⊥x軸．令x＝2，則y2＝－1＝，則y＝，即|PF2|＝，則|PF1|＝＝，故△PF1Q的周長為|PF1|＋|QF1|＋|PQ|＝，故選A. 4．已知圓O：x2＋y2＝1，圓M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1.若圓M上存在點P，過點P作圓O的兩條切線，切點分別為A，B，使得∠APB＝60，則實數(shù)a的取值范圍為(　　) A. B. C．[2－，2＋] D. 解析：選A　圓O的半徑為1，圓M上存在點P，過點P作圓O的兩條切線，切點分別為A，B，使得∠APB＝60，則∠APO＝30. 在Rt△PAO中，|PO|＝＝2， 又圓M的半徑為1，圓心坐標為M(a，a－4)， ∴|MO|－1≤|PO|≤|MO|＋1， ∵|MO|＝， ∴ －1≤2≤ ＋1， 解得2－≤a≤2＋. ∴實數(shù)a的取值范圍為. 5．(2018寧波模擬)如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C1與雙曲線C2的公共焦點，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的交點，若AF1⊥BF1，且∠AF1O＝，則C1與C2的離心率之和為(　　) A．2 B．4 C．2 D．2 解析：選A　設橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，由雙曲線和橢圓的對稱性可知，A，B關于原點對稱， 又AF1⊥BF1，且∠AF1O＝， 故|AF1|＝|OF1|＝|OA|＝|OB|＝c， ∴A，代入橢圓方程＋＝1，結合b2＝a2－c2及e＝，整理可得，e4－8e2＋4＝0， ∵00，b>0)的右支與焦點為F的拋物線x2＝2py(p>0)交于A，B兩點．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，則該雙曲線的漸近線方程為________． 解析：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線的定義可知|AF|＝y(tǒng)1＋，|BF|＝y(tǒng)2＋，|OF|＝， 由|AF|＋|BF|＝y(tǒng)1＋＋y2＋＝y(tǒng)1＋y2＋p＝4|OF|＝2p，得y1＋y2＝p. kAB＝＝＝. 由得kAB＝＝＝，則＝， ∴＝，故＝， ∴雙曲線的漸近線方程為y＝x. 答案：y＝x C組——創(chuàng)新應用練 1．在平面直角坐標系xOy中，設直線y＝－x＋2與圓x2＋y2＝r2(r＞0)交于A，B兩點，O為坐標原點，若圓上一點C滿足＝＋，則r＝(　　) A．2 B. C．2 D. 解析：選B　已知＝＋， 兩邊平方化簡得＝－r2， 所以cos∠AOB＝－， 所以cos＝， 又圓心O(0,0)到直線的距離為＝， 所以＝，解得r＝. 2．雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線將平面劃分為“上、下、左、右”四個區(qū)域(不含邊界)，若點(2,1)在“右”區(qū)域內(nèi)，則雙曲線離心率e的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：選B　依題意，注意到題中的雙曲線－＝1的漸近線方程為y＝x，且“右”區(qū)域是由不等式組所確定，又點(2,1)在“右”區(qū)域內(nèi)，于是有1＜，即＞，因此題中的雙曲線的離心率e＝∈. 3．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線分別為l1，l2，經(jīng)過右焦點F垂直于l1的直線分別交l1，l2于A，B兩點．若|OA|，|AB|，|OB|成等差數(shù)列，且與反向，則該雙曲線的離心率為(　　) A. B. C. D. 解析：選C　設實軸長為2a，虛軸長為2b，令∠AOF＝α，則由題意知tan α＝，在△AOB中，∠AOB＝180－2α，tan∠AOB＝－tan 2α＝，∵|OA|，|AB|，|OB|成等差數(shù)列，∴設|OA|＝m－d，|AB|＝m，|OB|＝m＋d，∵OA⊥BF，∴(m－d)2＋m2＝(m＋d)2，整理得d＝m，∴－tan 2α＝－＝＝＝，解得＝2或＝－(舍去)，∴b＝2a，c＝＝a，∴e＝＝. 4．已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，P為橢圓上的一點．△F1PF2中，∠F1PF2的外角平分線為l，點F2關于l的對稱點為Q，F(xiàn)2Q交l于點R.當點P在橢圓上運動時，求點R的軌跡方程． 解：如圖，直線l為∠F1PF2的外角平分線且點F2與點Q關于直線l對稱，由橢圓的光學性質(zhì)知，F(xiàn)1，P，Q三點共線．根據(jù)對稱性，|PQ|＝|PF2|，所以|F1Q|＝|PF1|＋|PF2|＝2a.連接OR，因為O為F1F2的中點，R為F2Q的中點，所以|OR|＝|F1Q|＝a.設R(x，y)，則x2＋y2＝a2(y≠0)，故點R的軌跡方程為x2＋y2＝a2(y≠0)． 5．(2018諸暨高三適應性考試)已知F是拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點，過F的直線交拋物線C于不同兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2＝－1. (1)求拋物線C的方程； (2)過點B作x軸的垂線交直線AO(O是原點)于D，過點A作直線DF的垂線與拋物線C的另一交點為E，AE中點為G. ①求點D的縱坐標； ②求的取值范圍． 解：(1)設直線AB的方程為y＝kx＋， 聯(lián)立 消去y，化簡得x2－2pkx－p2＝0， ∴x1x2＝－p2＝－1，∴p＝1， ∴拋物線C的方程為x2＝2y. (2)①∵直線OA的方程為y＝x＝x， ∴D，即D. 即點D的縱坐標為－. ②∵kDF＝－，∴kAE＝x2， ∴直線AE的方程為y－y1＝x2(x－x1)． 聯(lián)立 消去y，得－x2x－y1－1＝0， ∴xE＝2x2－x1，∴G(x2,2y2＋y1＋1)， ∴G，B，D三點共線． ∴＝. ∵y1y2＝， ∴＝2－＝2－＝2－∈(1,2)． ∴∈.