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1、新編高考數(shù)學復習資料 第7章　不等式、推理與證明 學案32　不等關系及一元二次不等式 導學目標： 1.會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系.3.會解一元二次不等式并能應用一元二次不等式解決某些實際問題． 自主梳理 1．一元二次不等式的定義 只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是____的不等式叫做一元二次不等式． 2．二次函數(shù)的圖象、一元二次方程的根與一元二次不等式的解集之間的關系 判別式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函數(shù) y＝ax2＋bx ＋c(a>0)的圖

2、象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有兩相異實根 x1,2＝ (x10 的解集 a>0 (－∞，x1) ∪(x2，＋∞) (－∞，－) ∪(－，＋∞) a<0 (x1，x2) 自我檢測 1．(2010·廣州一模)已知p：關于x的不等式x2＋2ax－a>0的解集是R，q：－1f(1)的解集是________． 3

3、．(2011·上海改編)若a，b∈R，且ab>0，則下列不等式中，恒成立的是________．(填序號) ①a2＋b2>2ab；②a＋b≥2； ③＋>；④＋≥2. 4．已知f(x)＝ax2－x－c>0的解集為(－3,2)，則a＝________，c＝________. 5．當x∈(1,2)時，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，則m的取值范圍為________________． 探究點一　一元二次不等式的解法 例1　解下列不等式： (1)－x2＋2x－>0； (2)9x2－6x＋1≥0. 變式遷移1　解下列不等式： (1)2x2＋4x＋3<0；

4、 (2)－3x2－2x＋8≤0； (3)8x－1≥16x2. 探究點二　含參數(shù)的一元二次不等式的解法 例2　已知常數(shù)a∈R，解關于x的不等式ax2－2x＋a<0. 變式遷移2　解關于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0. 探究點三　一元二次不等式恒成立問題 例3　已知f(x)＝x2－2ax＋2 (a∈R)，當x∈[－1，＋∞)時，f(x)≥a恒成立，求a的取值范圍． 變式遷移3　(1)關于x的不等式<2對任意實數(shù)x恒成立，求實數(shù)m的取值范圍． (2)若不等式x2＋px>4x

5、＋p－3對一切0≤p≤4均成立，試求實數(shù)x的取值范圍． 轉化與化歸思想與三個“二次”的關系 例　(14分)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集為(α，β)，且0<α<β，求不等式cx2＋bx＋a<0的解集． 【答題模板】 解　由已知不等式的解集為(α，β)可得a<0，∵α，β為方程ax2＋bx＋c＝0的兩根， ∴由根與系數(shù)的關系可得[4分] ∵a<0，∴由②得c<0，[6分] 則cx2＋bx＋a<0可化為x2＋x＋>0.[8分] ①÷②，得＝＝－<0，由②得＝＝·>0， ∴、為方程x2＋x＋＝0的兩根．[12分] ∵0<α<β，∴不等式cx2＋b

6、x＋a<0的解集為{x|x<或x>}．[14分] 【突破思維障礙】 由ax2＋bx＋c>0的解集是一個開區(qū)間，結合不等式對應的函數(shù)圖象知a<0，要求cx2＋bx＋a<0的解集首先需要判斷二次項系數(shù)c的正負，由方程根與系數(shù)關系知＝α·β>0，因a<0，∴c<0，從而知道cx2＋bx＋a<0的解集是x大于大根及小于小根對應的兩個集合．要想求出解集，需用已知量α，β代替參數(shù)c、b、a，需對不等式cx2＋bx＋a<0兩邊同除c或a，用α、β代替后，就不難找到要求不等式對應方程的兩根，從而求出不等式的解集．本題較好地體現(xiàn)了三個“二次”之間的相互轉化． 1．三個“二次”的關系：二次函數(shù)是主體

7、，一元二次方程和一元二次不等式分別為二次函數(shù)的函數(shù)值為零和不為零的兩種情況，一般討論二次函數(shù)常將問題轉化為一元二次方程和一元二次不等式來研究，而討論一元二次方程和一元二次不等式又常與相應的二次函數(shù)相聯(lián)系，通過二次函數(shù)的圖象及性質來解決．一元二次不等式解集的端點值就是相應的一元二次方程的根，也是相應的二次函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標，即二次函數(shù)的零點． 2．解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟：解含參數(shù)的一元二次不等式可按如下步驟進行：1°二次項若含有參數(shù)應討論參數(shù)是等于0、小于0、還是大于0.然后將不等式轉化為二次項系數(shù)為正的形式.2°判斷方程的根的個數(shù)，討論判別式Δ與0的關系.3°確定無根時可直

8、接寫出解集，確定方程有兩個根時，要討論兩根的大小關系，從而確定解集的形式． 3．不等式恒成立問題：不等式恒成立，即不等式的解集為R，一元二次不等式ax2＋bx＋c>0 (a≠0)恒成立的條件是ax2＋bx＋c<0 (a≠0)恒成立的條件是 (滿分：90分) 一、填空題(每小題6分，共48分) 1．(2011·宿遷模擬)函數(shù)y＝的定義域是____________． 2．(原創(chuàng)題)若不等式3kx2＋k＋8>()－6kx的解集為空集，則實數(shù)k的取值范圍是________． 3．(2010·寧夏銀川一中一模)已知集合M＝{x|x2－2 008x－2 009>0}，N＝{x|x2＋a

9、x＋b≤0}，若M∪N＝R，M∩N＝(2 009,2 010]，則a＝__________，b＝__________. 4．若(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0對任何實數(shù)x恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是________． 5．(創(chuàng)新題)已知a1>a2>a3>0，則使得(1－aix)2<1 (i＝1,2,3)都成立的x的取值范圍是________． 6．(2011·揚州模擬)在R上定義運算?：x?y＝x(1－y)，若不等式(x－a)?(x＋a)<1對任意實數(shù)x恒成立，則a的取值范圍為______________． 7．已知函數(shù)f(x)＝則滿足f(x)>1的x的取值范圍為____

10、____． 8. 已知函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，＋∞)，f′(x)為f(x)的導函數(shù)，函數(shù)y＝f′(x)的圖象如右圖所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，則不等式f(x2－6)>1的解集為__________________． 二、解答題(共42分) 9．(14分)解關于x的不等式<0 (a∈R)． 10．(14分)若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是，求不等式cx2＋bx＋a<0的解集． 11．(14分)已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋3. (1)當x∈R時，f(x)≥a恒成立，求a的取值范圍； (2)當x∈

11、[－2,2]時，f(x)≥a恒成立，求a的取值范圍． 學案32　不等關系及一元二次不等式 答案 自主梳理 1．2　2.－　R　?　? 自我檢測 1．充要 解析　不等式x2＋2ax－a>0的解集是R等價于4a2＋4a<0，即－13，解得x>3或0≤x<1；當x<0時，x＋6>3，解得－3f(1)的解集為(－3，1)∪(3，＋∞)． 3．④ 解析　∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴①錯誤．

12、 對于②③，當a<0，b<0時，明顯錯誤． 對于④，∵ab>0，∴＋≥2＝2. 4．－1?。? 解析　因為f(x)＝ax2－x－c>0的解集為(－3,2)，所以－3＋2＝－，a＝－1，－3×2＝，c＝－6. 5．(－∞，－5] 解析　記f(x)＝x2＋mx＋4，根據(jù)題意得 　解得m≤－5. 課堂活動區(qū) 例1　解題導引　解一元二次不等式的一般步驟： (1)對不等式變形，使一端為0且二次項系數(shù)大于0，即ax2＋bx＋c>0(a>0)，ax2＋bx＋c<0(a>0)； (2)計算相應的判別式； (3)當Δ≥0時，求出相應的一元二次方程的根； (4)根據(jù)對應二次函數(shù)的圖象，寫

13、出不等式的解集． 解　(1)兩邊都乘以－3，得3x2－6x＋2<0， 因為3>0，且方程3x2－6x＋2＝0的解是 x1＝1－，x2＝1＋， 所以原不等式的解集是{x|1－0， ∴2x2＋4x＋3<0的解集為?. (2)兩邊都乘以－1，得3x2＋2x－8≥0，

14、 因為3>0，且方程3x2＋2x－8＝0的解是 x1＝－2，x2＝， 所以原不等式的解集是(－∞，－2]∪[，＋∞)． (3)原不等式可轉化為16x2－8x＋1≤0， 即(4x－1)2≤0， ∴原不等式的解集為{}． 例2　解題導引　(1)含參數(shù)的一元二次不等式，若二次項系數(shù)為常數(shù)，可先考慮分解因式，再對參數(shù)進行討論；若不易因式分解，則可對判別式進行分類討論，分類要不重不漏． (2)若二次項系數(shù)為參數(shù)，則應先考慮二次項是否為零，然后再討論二次項系數(shù)不為零時的情形，以便確定解集的形式． (3)其次對方程的根進行討論，比較大小，以便寫出解集． 解　(1)a＝0時，解為x>0.

15、 (2)a>0時，Δ＝4－4a2. ①當Δ>0，即01時，x∈?. (3)當a<0時， ①Δ>0，即－1}． ②Δ＝0，即a＝－1時，不等式化為(x＋1)2>0， ∴解為x∈R且x≠－1. ③Δ<0，即a<－1時，x∈R. 綜上所述，當a≥1時， 原不等式的解集為?； 當00}； 當－1

16、或x>}； 當a＝－1時，解集為{x|x∈R且x≠－1}； 當a<－1時，解集為R. 變式遷移2　解?、佼攁＝0時，解得x>1. ②當a>0時，原不等式變形為(x－)(x－1)<0， ∴a>1時，解得0， ∵<1，∴解不等式可得x<或x>1. 綜上所述，當a<0時，不等式解集為(－∞，)∪(1，＋∞)； 當a＝0時，不等式解集為(1，＋∞)； 當01時，不等式解集為(，1)． 例3

17、　解題導引　注意等價轉化思想的運用，二次不等式在區(qū)間上恒成立的問題可轉化為二次函數(shù)區(qū)間最值問題． 解　方法一　f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函數(shù)圖象的對稱軸為x＝a. ①當a∈(－∞，－1)時，f(x)在[－1，＋∞)上單調遞增，f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a， 即2a＋3≥a，解得－3≤a<－1； ②當a∈[－1，＋∞)時，f(x)min＝f(a)＝2－a2， 由2－a2≥a，解得－1≤a≤1. 綜上所述，所求a的取值范圍為－3≤a≤1. 方法二　令g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知， 得x2－2ax＋2－a

18、≥0在[－1，＋∞)上恒成立， 即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或 解得－3≤a≤1. 變式遷移3　解　(1)∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0， ∴不等式<2同解于4x＋m<2x2－4x＋6， 即2x2－8x＋6－m>0. 要使原不等式對任意實數(shù)x恒成立，只要2x2－8x＋6－m>0對任意實數(shù)x恒成立． ∴Δ<0，即64－8(6－m)<0，整理并解得m<－2. ∴實數(shù)m的取值范圍為(－∞，－2)． (2)∵x2＋px>4x＋p－3，∴(x－1)p＋x2－4x＋3>0. 令g(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3， 則要使它對0≤p≤4均有g(p)>0， 只要有.∴x>

19、3或x<－1. ∴實數(shù)x的取值范圍為(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 課后練習區(qū) 1．[－，－1)∪(1，]　2.[0,1] 3．－2 009?。? 010 解析　化簡得M＝{x|x<－1或x>2 009}， 由M∪N＝R，M∩N＝(2 009,2 010]可知N＝{x|－1≤x≤2 010}，即－1,2 010是方程x2＋ax＋b＝0的兩個根． 所以b＝－1×2 010＝－2 010，－a＝－1＋2 010， 即a＝－2 009. 4．m<－ 解析　當m＝－1時，不等式變?yōu)?x－6<0，即x<3，不符合題意．當m≠－1時，由題意知 化簡，得解得m<－. 5. 解析

20、　(1－aix)2<1，即ax2－2aix<0， 即aix(aix－2)<0，由于ai>0，這個不等式可以化為 x<0，即00. 因上式對x∈R都成立，所以Δ＝1＋4(a2－a－1)<0， 即4a2－4a－3<0.所以－0時，由log2x>1，得x>2； 當x≤0時，由x2>1，得x<－1. 綜上可知，x的取值范圍為(－∞，－1)∪

21、(2，＋∞)． 8．(2,3)∪(－3，－2) 解析　由導函數(shù)圖象知當x<0時，f′(x)>0， 即f(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)； 當x>0時，f′(x)<0，即f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)， 故不等式f(x2－6)>1等價于f(x2－6)>f(－2)或f(x2－6)>f(3)，即－21時，aa2，此時a2

22、13分) 綜上，當a<0或a>1時，原不等式的解集為{x|a0. 又－，2為方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根，(7分) ∴－＝，即＝－. 又∵＝－，∴b＝－a，c＝－a.(10分) ∴不等式cx2＋bx＋a<0變?yōu)閤2＋x＋a<0，即2ax2＋5ax－3a>0. 又∵a<0，∴2x2＋5x－3<0， ∴所求不等式的解集為.(14分) 11．解　(1)∵x∈R時，有x

23、2＋ax＋3－a≥0恒成立， 需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0， ∴－6≤a≤2.(4分) (2)當x∈[－2,2]時，設g(x)＝x2＋ax＋3－a≥0，分如下三種情況討論(如圖所示)： ①如圖a，當g(x)的圖象恒在x軸上方，滿足條件時， 有Δ＝a2－4(3－a)≤0，即－6≤a≤2.(7分) ②如圖b，g(x)的圖象與x軸有交點， 但在x∈[－2，＋∞)時，g(x)≥0， 即 即? 解之，得a∈?.(10分) ③如圖c，g(x)的圖象與x軸有交點， 但在x∈(－∞，2]時，g(x)≥0，即 即? ?－7≤a≤－6.(13分) 綜合①②③，得a∈[－7,2]．(14分)