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1、 1

2、 1 第六節(jié)　雙 曲 線 [全盤鞏固] 1．已知雙曲線C：－＝1的焦距為10，點(diǎn)P(2,1)在C的漸近線上，則C的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：選A　因?yàn)殡p曲線的焦距為10，所以c＝5. 又因?yàn)镻(2,1)在漸近線上，且漸近線方程為y＝x， 所以1＝，即a＝2b.

3、又因?yàn)閏2＝a2＋b2＝5b2＝25，所以b2＝5，a2＝20. 即雙曲線方程為－＝1. 2．(20xx·福建高考)雙曲線x2－y2＝1的頂點(diǎn)到其漸近線的距離等于(　　) A. B. C．1 D. 解析：選B　雙曲線x2－y2＝1的頂點(diǎn)為(－1,0)，(1,0)，漸近線方程為x＋y＝0和x－y＝0，由對稱性不妨求點(diǎn)(1,0)到直線x－y＝0的距離，其距離為＝. 3．已知雙曲線－＝1的右焦點(diǎn)為(3,0)，則該雙曲線的離心率等于(　　) A. B. C. D. 解析：選C　因?yàn)殡p曲線－＝1的右焦點(diǎn)為(3,0)， 所以c＝3，

4、又b2＝5，所以a2＝c2－b2＝9－5＝4.即a＝2.所以雙曲線的離心率e＝＝. 4．(20xx·惠州模擬)已知雙曲線－＝1與直線y＝2x有交點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍為(　　) A．(1，) B．(1，] C．(，＋∞) D．[，＋∞) 解析：選C　∵雙曲線的一條漸近線方程為y＝x， 則由題意得>2.∴e＝＝ >＝. 5．已知雙曲線－＝1(b>0)的左，右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，其一條漸近線方程為y＝x，點(diǎn)P(，y0)在雙曲線上．則·＝(　　) A．－12 B．－2 C．0 D．4 解析：選C　由漸近線方程為y

5、＝x知雙曲線是等軸雙曲線，不妨設(shè)雙曲線方程是x2－y2＝2，于是F1，F(xiàn)2坐標(biāo)分別是(－2,0)和(2,0)，且P(，1)或P(，－1)．由雙曲線的對稱性，不妨取P(，1)，則＝(－2－，－1)，＝(2－，－1)．所以·＝(－2－，－1)·(2－，－1)＝－(2＋)·(2－)＋1＝0. 6．(20xx·杭州模擬)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，以F1F2為直徑的圓與雙曲線C在第二象限的交點(diǎn)為P，若雙曲線C的離心率為5，則cos∠PF2F1＝(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析：選C　據(jù)題意可知PF1⊥PF2，設(shè)|PF1|＝n，|PF2

6、|＝m，又由雙曲線定義知m－n＝2a?、伲挥晒垂啥ɡ淼胢2＋n2＝4c2?、?；又由離心率e＝＝5　③，三式聯(lián)立解得m＝8a，故cos∠PF2F1＝＝＝＝. 7．(20xx·江蘇高考)雙曲線－＝1的兩條漸近線的方程為________________． 解析：因?yàn)殡p曲線－＝1的兩條漸近線方程為－＝0，化簡得y＝±x. 答案：y＝±x 8．(20xx·陜西高考)雙曲線－＝1的離心率為，則m等于________． 解析：依題意知m>0，則e2＝＝1＋＝1＋＝，解得m＝9. 答案：9 9．(20xx·麗水模擬)已知雙曲線x2－y2＝1，點(diǎn)F1，F(xiàn)2為其兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn)，若PF1

7、⊥PF2，則|PF1|＋|PF2|的值為________． 解析：不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上且F1，F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn)， 因?yàn)镻F1⊥PF2，所以(2)2＝|PF1|2＋|PF2|2，又因?yàn)閨PF1|－|PF2|＝2， 所以(|PF1|－|PF2|)2＝4，可得2|PF1|·|PF2|＝4， 則(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝12，所以|PF1|＋|PF2|＝2. 答案：2 10．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上，離心率為，且過點(diǎn)(4，－)． (1)求雙曲線的方程； (2)若點(diǎn)M(3，m)在雙曲線上，求證：·

8、＝0； (3)求△F1MF2的面積． 解：(1)∵e＝，∴可設(shè)雙曲線方程為x2－y2＝λ(λ≠0)． ∵過點(diǎn)P(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴雙曲線方程為x2－y2＝6. (2)證明：由(1)可知，雙曲線中a＝b＝， ∴c＝2，∴F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，∴kMF1＝，kMF2＝， kMF1·kMF2＝＝－.∵點(diǎn)M(3，m)在雙曲線上，∴9－m2＝6，m2＝3. 故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.∴·＝0. (3)△F1MF2的底|F1F2|＝4，△F1MF2的邊F1F2上的高h(yuǎn)＝|m|＝， ∴S△F1MF2＝·|F1F2|·|m|＝6. 11

9、．(20xx·湛江模擬)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F(c,0)． (1)若雙曲線的一條漸近線方程為y＝x且c＝2，求雙曲線的方程； (2)以原點(diǎn)O為圓心，c為半徑作圓，該圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為A，過A作圓的切線，斜率為－，求雙曲線的離心率． 解：(1)∵雙曲線的漸近線為y＝±x，∴a＝b，∴c2＝a2＋b2＝2a2＝4， ∴a2＝b2＝2，∴雙曲線方程為－＝1. (2)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0，y0)，∴直線AO的斜率滿足·(－)＝－1， ∴x0＝y(tǒng)0，① 依題意，圓的方程為x2＋y2＝c2，將①代入圓的方程得3y＋y＝c2，即y0＝c， ∴x0＝c，∴點(diǎn)A

10、的坐標(biāo)為， 代入雙曲線方程得－＝1，即b2c2－a2c2＝a2b2，② 又∵a2＋b2＝c2，∴將b2＝c2－a2代入②式，整理得 c4－2a2c2＋a4＝0，∴34－82＋4＝0， ∴(3e2－2)(e2－2)＝0，∵e>1，∴e＝，∴雙曲線的離心率為. 12．設(shè)雙曲線－＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為2. (1)求此雙曲線的漸近線l1，l2的方程； (2)若A，B分別為l1，l2上的點(diǎn)，且2|AB|＝5|F1F2|，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線． 解：(1)∵e＝2，∴c2＝4a2.∵c2＝a2＋3，∴a＝1，c＝2. ∴雙曲線方程為y2－＝

11、1，漸近線方程為y＝±x. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)M(x，y)． ∵2|AB|＝5|F1F2|，∴|AB|＝|F1F2|＝×2c＝10. ∴＝10.又y1＝x1，y2＝－x2,2x＝x1＋x2,2y＝y(tǒng)1＋y2， ∴y1＋y2＝(x1－x2)，y1－y2＝(x1＋x2)，∴ ＝10， ∴3(2y)2＋(2x)2＝100，即＋＝1. 則M的軌跡是中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長軸長為10，短軸長為的橢圓． [沖擊名校] 1．已知P是雙曲線－＝1(a>0，b>0)上的點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是其焦點(diǎn)，雙曲線的離心率是，且·＝0，若△PF1F2的面積為9，則a＋b的

12、值為(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：選C　由·＝0，得⊥，設(shè)||＝m，||＝n，不妨設(shè)m>n，則m2＋n2＝4c2，m－n＝2a，mn＝9，＝，解得∴b＝3，∴a＋b＝7. 2．過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右頂點(diǎn)A作斜率為－1的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為B，C，若A，B，C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列，則雙曲線的離心率為(　　) A. B. C. D. 解析：選C　由題知A點(diǎn)坐標(biāo)為(a,0)，∴過A且斜率為－1的直線方程為y＝－x＋a， 由得C，由得B. ∵A，B，C三點(diǎn)橫坐標(biāo)成等比數(shù)列，∴＝，即b＝3a， ∴e

13、＝ ＝. [高頻滾動] 已知直線x＋ky－3＝0所經(jīng)過的定點(diǎn)F恰好是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)F的最大距離為8. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)已知圓O：x2＋y2＝1，直線l：mx＋ny＝1，試證：當(dāng)點(diǎn)P(m，n)在橢圓C上運(yùn)動時(shí)，直線l與圓O恒相交，并求直線l被圓O所截得的弦長L的取值范圍． 解：(1)直線x＋ky－3＝0經(jīng)過定點(diǎn)F(3,0)，即點(diǎn)F(3,0)是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)． 設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)， 因?yàn)闄E圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)F的最大距離為8，所以a＋3＝8，即a＝5. 所以b2＝52－32＝16.所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)因?yàn)辄c(diǎn)P(m，n)在橢圓C上，所以＋＝1， 即n2＝16－(0≤m2≤25)． 所以原點(diǎn)到直線l：mx＋ny＝1的距離d＝＝<1. 所以直線l：mx＋ny＝1與圓O：x2＋y2＝1恒相交．L2＝4(r2－d2)＝4. 因?yàn)?≤m2≤25，所以≤L≤. 即直線l被圓O所截得的弦長L的取值范圍為.