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2、 1 第五節(jié)　橢　圓 【考綱下載】 1．掌握橢圓的定義、幾何圖形、標準方程及簡單性質． 2．了解圓錐曲線的簡單應用． 3．理解數形結合的思想． 1．橢圓的定義 (1)滿足以下條件的點的軌跡是橢圓 ①在平面內； ②與兩個定點F1，F2的距離的和等于常數； ③常數大于|F1F2|. (2)焦點：兩定點． (3)焦距：兩焦點間的距離． 2．

3、橢圓的標準方程和幾何性質 標準方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 圖 形 性 質 范圍 －a≤x≤a， －b≤y≤b －b≤x≤b， －a≤y≤a 對稱性 對稱軸：坐標軸， 對稱中心：(0,0) 頂點 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 軸 長軸A1A2的長為2a， 短軸B1B2的長為2b 焦距 |F1F2|＝2c 離心率 e＝，e∈(0,1) a，b，c 的關系 c2＝a2－b2

4、 1．在橢圓的定義中，若2a＝|F1F2|或2a<|F1F2|，則動點的軌跡如何？ 提示：當2a＝|F1F2|時動點的軌跡是線段F1F2；當2a<|F1F2|時，動點的軌跡是不存在的． 2．橢圓離心率的大小與橢圓的扁平程度有怎樣的關系？ 提示：離心率e＝越接近1，a與c就越接近，從而b＝就越小，橢圓就越扁平；同理離心率越接近0，橢圓就越接近于圓． 1．已知F1，F2是橢圓＋＝1的兩焦點，過點F2的直線交橢圓于A，B兩點，在△AF1B中，若有兩邊之和是10，則第三邊的長度為(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 解析：選A　根據橢圓定義，知△

5、AF1B的周長為4a＝16，故所求的第三邊的長度為16－10＝6. 2．橢圓＋＝1的離心率為(　　) A. B. C. D. 解析：選D　在橢圓＋＝1中，a2＝16，b2＝8，所以c2＝a2－b2＝8，即c＝2，因此，橢圓的離心率e＝＝＝. 3．橢圓＋＝1的右焦點到直線y＝x的距離是(　　) A. B. C．1 D. 解析：選B　在橢圓＋＝1中，a2＝4，b2＝3，所以c2＝a2－b2＝4－3＝1，因此，其右焦點為(1,0)．該點到直線y＝x的距離d＝＝. 4．已知橢圓的方程為2x2＋3y2＝m(m>0)，則此

6、橢圓的離心率為________． 解析：橢圓2x2＋3y2＝m(m>0)可化為＋＝1，所以c2＝－＝，因此e2＝＝＝，即e＝. 答案： 5．橢圓x2＋my2＝1的焦點在y軸上，長軸長是短軸長的2倍，則m＝________. 解析：橢圓x2＋my2＝1可化為x2＋＝1，因為其焦點在y軸上，∴a2＝，b2＝1， 依題意知 ＝2，解得m＝. 答案： 壓軸大題巧突破(一) 與橢圓有關的綜合問題求解 [典例]　(20xx·天津高考)(13分)設橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點為F，離心率為， 過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為. (1) 求橢圓的方程； (2

7、)設A, B分別為橢圓的左、右頂點， 過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C，D兩點．若·＋·＝8，求k的值． [化整為零破難題]　 (1)基礎問題1：如何得到a與c的關系？ 利用橢圓的離心率． 基礎問題2：如何求過F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長？ 直線x＝－c與橢圓相交，兩交點的縱坐標之差的絕對值就是線段的長． (2)基礎問題1：如何求A，B兩點的坐標？ A，B分別為左右頂點即為(－a,0)，(a,0)． 基礎問題2：設C(x1，y1)，D(x2，y2)，如何尋找x1＋x2，x1x2呢？ 將直線方程與橢圓方程聯立，消去y得到關于x的一元二次方程．利用根與系數關系即可得

8、到． 基礎問題3：如何表示·＋·？ 利用向量的坐標運算即可． [規(guī)范解答不失分]　 (1)設F(－c,0)，由＝，知a＝c， 過點F且與x軸垂直的直線為x＝－c，代入橢圓方程有＋＝1， 解得① 于是＝，解得b＝，則b2＝2. 2分 又因為a2－c2＝b2，從而a2＝3，c2＝1， 所以所求橢圓的方程為＋＝1. 4分 (2)② 由F(－1,0)得直線CD的方程為y＝k(x＋1)，由方程組 消去y得③

9、 6分 根據根與系數的關系知x1＋x2＝－，x1x2＝. 8分 因為A(－，0)，B(，0)， 所以·＋· =④ ＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1) ＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2＝6＋. 11分 由已知得6＋＝8，解得k＝±. 13分 [易錯警示要牢記] 易錯點一 ①處易用a，b，c三個量來表示y，造成運算大而出現錯誤，原因是忽略a，b，c三者的關系 易錯點二 ②處易忽略設點，而后面直接用根與系數的關系，造成不嚴謹，出現錯誤 易錯點三 ③方程整理錯誤 易錯點四 ④處公式記憶不準，向量坐標運算錯誤