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1、
第40練 數(shù)列中的易錯(cuò)題
訓(xùn)練目標(biāo)
(1)數(shù)列知識(shí)的深化應(yīng)用;(2)易錯(cuò)題目矯正練.
訓(xùn)練題型
數(shù)列中的易錯(cuò)題.
解題策略
(1)通過(guò)Sn求an,要對(duì)n=1時(shí)單獨(dú)考慮;(2)等比數(shù)列求和公式應(yīng)用時(shí)要對(duì)q=1,q≠1討論;(3)使用累加、累乘法及相消求和時(shí),要正確辨別剩余項(xiàng),以免出錯(cuò).
一、選擇題
1.等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,當(dāng)首項(xiàng)a1和d變化時(shí),a2+a8+a11是一個(gè)定值,則下列各數(shù)也為定值的是( )
A.S7 B.S8
C.S13 D.S15
2.已知等差數(shù)列:1,a1,a2,9;等比數(shù)列:-9,b1,b2,b3,-1.則b2(
2、a2-a1)的值為( )
A.8 B.-8
C.±8 D.
3.已知函數(shù)y=f(x),x∈R,數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=f(n),n∈N*,那么“函數(shù)y=f(x)在[1,+∞)上遞增”是“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”的( )
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
4.(20xx·撫州月考)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,(n+1)Sn
3、已知實(shí)數(shù)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則下列結(jié)論一定成立的是( )
A.若a3>0,則a2 013<0 B.若a4>0,則a2 014<0
C.若a3>0,則S2 013>0 D.若a4>0,則S2 014>0
6.已知數(shù)列{an}滿足:an=(n∈N*),且{an}是遞增數(shù)列,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(,3) B.[,3)
C.(1,3) D.(2,3)
7.(20xx·江南十校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=log3(n∈N*),則使Sn<-4成立的最小自然數(shù)n為( )
A.83 B.82
C.81 D.80
8.?dāng)?shù)列{an}滿足
4、a1=1,an+1=r·an+r(n∈N*,r∈R且r≠0),則“r=1”是“數(shù)列{an}為等差數(shù)列”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
二、填空題
9.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-2n-1,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________________.
10.(20xx·遼寧五校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足an=,則數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為________.
11.已知數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,且對(duì)于任意的n∈N*,an=n2+λn恒成立,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是________.
12.在數(shù)列{an}中,a1=1,a2=2
5、,數(shù)列{anan+1}是公比為q (q>0)的等比數(shù)列,則數(shù)列{an}的前2n項(xiàng)和S2n=____________.
答案精析
1. C [∵a2+a8+a11=(a1+d)+(a1+7d)+(a1+10d)=3a1+18d=3(a1+6d)為常數(shù).
∴a1+6d為常數(shù).∴S13=13a1+d=13(a1+6d)也為常數(shù).]
2.B [a2-a1=d==,
又b=b1b3=(-9)×(-1)=9,
因?yàn)閎2與-9,-1同號(hào),所以b2=-3.
所以b2(a2-a1)=-8.]
3.A [由題意,函數(shù)y=f(x),x∈R,
數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=f(n),n∈N
6、*.
若“函數(shù)y=f(x)在[1,+∞)上遞增”,
則“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”一定成立;
若“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”,
則“函數(shù)y=f(x)在[1,+∞)上遞增”不一定成立,
現(xiàn)舉例說(shuō)明,如函數(shù)在[1,2]上先減后增,且在1處的函數(shù)值小.綜上,“函數(shù)y=f(x)在[1,+∞)上遞增”是“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”的充分不必要條件,故選A.]
4.D [由(n+1)Sn0,a7<0,
所以數(shù)列{an}的前7項(xiàng)為負(fù)值,
即Sn的最小值是S7.]
5.
7、C [設(shè)an=a1qn-1,
因?yàn)閝2 010>0,
所以A,B不成立.
對(duì)于C,當(dāng)a3>0時(shí),a1>0,
因?yàn)?-q與1-q2 013同號(hào),
所以S2 013>0,選項(xiàng)C正確,
對(duì)于D,取數(shù)列:-1,1,-1,1,…,不滿足結(jié)論,
D不成立,故選C.]
6.D [根據(jù)題意,an=f(n)=n∈N*,要使{an}是遞增數(shù)列,必有解得234-1=80.故最小自然數(shù)n的值為
8、81.]
8.A [當(dāng)r=1時(shí),易知數(shù)列{an}為等差數(shù)列;
由題意易知a2=2r,a3=2r2+r,當(dāng)數(shù)列{an}是等差數(shù)列時(shí),a2-a1=a3-a2,
即2r-1=2r2-r.解得r=或r=1,
故“r=1”是“數(shù)列{an}為等差數(shù)列”的充分不必要條件.]
9.a(chǎn)n=
解析 當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=-2;
當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n-3,
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=
10.
解析 an==,
則==4(-),
所以所求的前n項(xiàng)和為4[(-)+(-)+…+(-)]=4(-)=.
11.(-3,+∞)
解析 因?yàn)閿?shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列,
所
9、以an+1-an>0 (n∈N*)恒成立.
又an=n2+λn (n∈N*),所以(n+1)2+λ(n+1)-(n2+λn)>0恒成立,即2n+1+λ>0.
所以λ>-(2n+1) (n∈N*)恒成立.
而n∈N*時(shí),-(2n+1)的最大值為-3(n=1時(shí)),所以λ的取值范圍為(-3,+∞).
12.
解析 ∵數(shù)列{anan+1}是公比為q (q>0)的等比數(shù)列,
∴=q,即=q,
這表明數(shù)列{an}的所有奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列,
所有偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列,且公比都是q,
又a1=1,a2=2,
∴當(dāng)q≠1時(shí),S2n=a1+a2+a3+a4+…+a2n-1+a2n
=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+a6+…+a2n)
=+=;
當(dāng)q=1時(shí),S2n=a1+a2+a3+a4+…+a2n-1+a2n
=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+a6+…+a2n)
綜上所述:S2n=