《新編高考數(shù)學(xué)廣東專用文科復(fù)習(xí)配套課時(shí)訓(xùn)練：第五篇 數(shù)列 大題沖關(guān)集訓(xùn)(三)含答案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《新編高考數(shù)學(xué)廣東專用文科復(fù)習(xí)配套課時(shí)訓(xùn)練：第五篇 數(shù)列 大題沖關(guān)集訓(xùn)(三)含答案（7頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 大題沖關(guān)集訓(xùn)(三) 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 1.(20xx年高考重慶卷)已知 {an}為等差數(shù)列,且a1+a3=8,a2+a4=12. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)記{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1,ak,Sk+2成等比數(shù)列,求正整數(shù)k的值. 解:(1)設(shè)數(shù)列{an} 的公差為d, 由題意知2a1+2d=8,2a1+4d=12, 解得a1=2,d=2. 所以an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n. (2)由(1)可得Sn=(a1+an)n2=(2+2n)n2=n(1+n), 因a1,ak,Sk+2 成等比數(shù)列, 所以ak2=a

2、1Sk+2. 從而(2k)2=2(k+2)(k+3), 即k2-5k-6=0. 解得k=6 或k=-1(舍去),因此k=6. 2.(20xx年高考福建卷)已知等差數(shù)列{an}的公差d=1,前n項(xiàng)和為Sn. (1)若1,a1,a3成等比數(shù)列,求a1; (2)若S5>a1a9,求a1的取值范圍. 解:(1)因?yàn)閿?shù)列{an}的公差d=1,且1,a1,a3成等比數(shù)列, 所以a12=1×(a1+2), 即a12-a1-2=0, 解得a1=-1或a1=2. (2)因?yàn)閿?shù)列{an}的公差d=1,且S5>a1a9, 所以5a1+10>a12+8a1, 即a12+3a1-10

3、<0, 解得-5

4、+122+132+…+1n2 <1+11×2+12×3+…+1(n-1)n =1+1-12+12-13+…+1n-1-1n =2-1n<2. 4.(20xx泰安二模)已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=3,且公差d≠0,其前n項(xiàng)和為Sn,且a1,a4,a13分別是等比數(shù)列{bn}的b2,b3,b4項(xiàng). (1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式; (2)證明:13≤1S1+1S2+…+1Sn<34. (1)解:設(shè)等比數(shù)列的公比為q, ∵a1,a4,a13分別是等比數(shù)列{bn}的b2,b3,b4, ∴(a1+3d)2=a1(a1+12d). 又a1=3, ∴d2-2d=0, ∴

5、d=2或d=0(舍去). ∴an=3+2(n-1)=2n+1. 等比數(shù)列{bn}的公比為b3b2=a4a1=3,b1=b2q=1.∴bn=3n-1. (2)證明:由(1)知Sn=n2+2n, ∴1Sn=1n(n+2)=12（1n-1n+2）, ∴1S1+1S2+…+1Sn =12(1-13)+(12-14)+…+(1n-1n+2) =12（1+12-1n+1-1n+2） =34-12（1n+1+1n+2）<34. ∵1n+1+1n+2≤12+13=56, ∴34-12（1n+1+1n+2）≥13, ∴13≤1S1+1S2+…+1Sn<34. 5.(20xx深圳二調(diào))各項(xiàng)

6、為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an2=4Sn-2an-1(n∈N*),其中Sn為{an}前n項(xiàng)和. (1)求a1,a2的值; (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (3)是否存在正整數(shù)m,n,使得向量a=(2an+2,m)與向量b=(-an+5,3+an)垂直?請(qǐng)說明理由. 解:(1)當(dāng)n=1時(shí),a12=4S1-2a1-1, 即(a1-1)2=0,解得a1=1. 當(dāng)n=2時(shí),a22=4S2-2a2-1=4a1+2a2-1=3+2a2, 解得a2=3或a2=-1(舍去). (2)由an2=4Sn-2an-1, ① an+12=4Sn+1-2an+1-1. ② ②-①得an

7、+12-an2=4an+1-2an+1+2an=2(an+1+an). 即(an+1-an)(an+1+an)=2(an+1+an), ∵數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù), ∴an+1+an>0,an+1-an=2, ∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列, ∴an=2n-1. (3)∵an=2n-1, ∴a=(2an+2,m)=(2(2n+3),m)≠0, b=(-an+5,3+an)=(-(2n+9),2(n+1))≠0. ∴a⊥b?a·b=0?m(n+1)=(2n+3)(2n+9)=[2(n+1)+1][2(n+1)+7]?m(n+1)=4(n+1)2+16(n+1)+7

8、?m=4(n+1)+16+7n+1. ∵m,n∈N*, ∴n+1=7,m=4×7+16+1,即n=6,m=45. 當(dāng)且僅當(dāng)n=6,m=45時(shí),a⊥b. 6.(20xx佛山質(zhì)檢(二))環(huán)?？滩蝗菥?或許人類最后一滴水將是自己的淚水.某地水資源極為緊張,且受工業(yè)污染嚴(yán)重,預(yù)計(jì)20年后該地將無潔凈的水可用.當(dāng)?shù)貨Q定重新選址建設(shè)新城區(qū),同時(shí)對(duì)舊城區(qū)進(jìn)行拆除,已知舊城區(qū)的住房總面積為64a m2,每年拆除的數(shù)量相同;新城區(qū)計(jì)劃第一年建設(shè)住房面積a m2,前四年每年以100%的增長(zhǎng)率建設(shè)新住房,從第五年開始,每年都比上一年增加a m2.設(shè)第n(n≥1,且n∈N)年新城區(qū)的住房總面積為an m2,該

9、地的住房總面積為bn m2. (1)求{an}的通項(xiàng)公式; (2)若每年拆除4a m2,比較an+1與bn的大小. 解:(1)設(shè)第n年新城區(qū)的住房建設(shè)面積λn m2,則 當(dāng)1≤n≤4時(shí),λn=2n-1a; 當(dāng)n≥5時(shí),λn=(n+4)a. 所以,當(dāng)1≤n≤4時(shí),an=(2n-1)a; 當(dāng)n≥5時(shí),an=a+2a+4a+8a+9a+…+(n+4)a=n2+9n-222a, 故an=(2n-1)a　　(1≤n≤4),n2+9n-222a(n≥5). (2)1≤n≤3時(shí), an+1=(2n+1-1)a,bn=(2n-1)a+64a-4na, 顯然有an+1

10、an+1=a5=24a,bn=b4=63a,此時(shí)an+1bn; n≥17時(shí),顯然an+1>bn, 故當(dāng)1≤n≤11時(shí),an+1bn. 7.(20xx東莞市高三模擬)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=5,前n項(xiàng)和為Sn,且Sn+1=2Sn+n+5. (1)證明:數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列; (2)令f(x)=a1x+a2x2+…+anxn,求函數(shù)

11、f(x)在點(diǎn)x=1處的導(dǎo)數(shù)f'(1),并比較2f'(1)與23n2-13n的大小. (1)證明:由已知Sn+1=2Sn+n+5,可得n≥2,Sn=2Sn-1+n+4兩式相減得 Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1即an+1=2an+1, 從而an+1+1=2(an+1), 當(dāng)n=1時(shí),S2=2S1+1+5, 所以a2+a1=2a1+6,又a1=5, 所以a2=11, 從而a2+1=2(a1+1), 故總有an+1+1=2(an+1), n∈N*,又a1=5,a1+1≠0, 從而an+1+1an+1=2即數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列. (2)解:由(1)知an=3×2n-

12、1, 因?yàn)閒(x)=a1x+a2x2+…+anxn, 所以f'(x)=a1+2a2x+…+nanxn-1, 從而f'(1)=a1+2a2+…+nan=(3×2-1)+2(3×22-1)+…+n(3×2n-1)=3(2+2×22+…+n×2n)-(1+2+…+n), 令Tn=2+2×22+…+n×2n, 2Tn=22+2×23+3×24+…+n×2n+1, 錯(cuò)位相減得,Tn=(n-1)2n+1+2, f'(1)=3(n-1)·2n+1-n(n+1)2+6, ∴2f'(1)-(23n2-13n)=12(n-1)·2n-12(2n2-n-1)=12(n-1)·2n-12(n-1)(2n+1)=12(n-1)[2n-(2n+1)]. 當(dāng)n=1時(shí),2f'(1)=23n2-13n; 當(dāng)n=2時(shí),2f'(1)<23n2-13n, 當(dāng)n≥3時(shí),n-1>0, 又由函數(shù)y=2x與y=2x+1得2n>2n+1, 所以(n-1)[2n-(2n+1)]>0,從而2f'(1)>23n2-13n.