《高三數(shù)學(xué)北師大版文一輪教師用書：第6章 第2節(jié)　等差數(shù)列及其前n項和 Word版含解析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高三數(shù)學(xué)北師大版文一輪教師用書：第6章 第2節(jié)　等差數(shù)列及其前n項和 Word版含解析（13頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第二節(jié)　等差數(shù)列及其前n項和 [最新考綱]　1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式.3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系． (對應(yīng)學(xué)生用書第96頁) 1．等差數(shù)列的有關(guān)概念 (1)定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列．用符號表示為an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù))． (2)等差中項：數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是A＝，其中A叫做a，b的等差中項． 2．等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式 (1

2、)通項公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)前n項和公式：Sn＝na1＋＝. 3．等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式與函數(shù)的關(guān)系 (1)an＝a1＋(n－1)d可化為an＝dn＋a1－d的形式．當(dāng)d≠0時，an是關(guān)于n的一次函數(shù)；當(dāng)d＞0時，數(shù)列為遞增數(shù)列；當(dāng)d＜0時，數(shù)列為遞減數(shù)列．?dāng)?shù)列{an}是等差數(shù)列?an＝pn＋q(p，q為常數(shù))． (2)Sn＝na1＋d＝n2＋n， 當(dāng)d≠0時，Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)(缺少常數(shù)項)， 數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))． 4．等差數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．

3、 (2)已知{an}是等差數(shù)列，若k＋l＝m＋n，則ak＋al＝am＋an；若2k＝p＋q，則ap＋aq＝2ak，其中k，l，m，n，p，q∈N*. (3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則{a2n}和{a2n＋1}也是等差數(shù)列，公差為2d. (4)若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}也是等差數(shù)列． (5)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列． (6)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列． 1．等差數(shù)列前n項和的最值 在等差數(shù)列{an}中，若a1＞0，d＜0，則Sn有最大值，即所

4、有正項之和最大，若a1＜0，d＞0，則Sn有最小值，即所有負(fù)項之和最?。? 2．兩個等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，則有＝. 3．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則數(shù)列也是等差數(shù)列． 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)若一個數(shù)列從第二項起每一項與它的前一項的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列． (　　) (2)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的． (　　) (3)已知等差數(shù)列{an}的通項公式為an＝3－2n，則它的公差為－2. (　　) (4)等差數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項為0的二次函數(shù)． (　　) [答案](1)×　(2)

5、√　(3)√　(4)× 二、教材改編 1．等差數(shù)列11,8,5，…中，－49是它的(　　) A．第19項　　　　 B．第20項 C．第21項 D．第22項 C　[由題意知an＝11＋(n－1)×(－3)＝－3n＋14，令－3n＋14＝－49得n＝21，故選C.] 2．在等差數(shù)列{an}中a1＝14.5，d＝0.7，an＝32，則Sn＝(　　) A．600 B．603.5 C．604.5 D．602.5 C　[由an＝a1＋(n－1)d得32＝14.5＋0.7(n－1)， 解得n＝26，所以S26＝＝13(14.5＋32)＝604.5.] 3．小于20的所有正奇數(shù)的和為__

6、______． 100　[小于20的正奇數(shù)組成首項為1，末項為19的等差數(shù)列，共有10項，因此它們的和S10＝＝100.] 4．在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，則a2＋a8＝________. 180　[由a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450得 a5＝90. 所以a2＋a8＝2a5＝180.] (對應(yīng)學(xué)生用書第96頁) ⊙考點1　等差數(shù)列的基本運算 (1)等差數(shù)列運算問題的一般求法是設(shè)出首項a1和公差d，然后由通項公式或前n項和公式轉(zhuǎn)化為方程(組)求解． (2)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知

7、其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題． (1)(2019·全國卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．已知S4＝0，a5＝5，則(　　) A．a(chǎn)n＝2n－5　　　 B．a(chǎn)n＝3n－10 C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n (2)(2019·全國卷Ⅲ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1≠0，a2＝3a1，則＝________. (1)A　(2)4　[(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，由題意得 解得 所以an＝－3＋2(n－1)＝2n－5， Sn＝n×(－3)＋×2＝n2－4n，故選A. (2)由a1≠0，a2＝3a1，可得d＝2a1. 所以S5

8、＝5a1＋d＝25a1， S10＝10a1＋d＝100a1， 所以＝4.] (3)(2019·全國卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．已知S9＝－a5. ①若a3＝4，求{an}的通項公式； ②若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范圍． [解]?、僭O(shè){an}的公差為d. 由S9＝－a5得a1＋4d＝0. 由a3＝4得a1＋2d＝4. 于是a1＝8，d＝－2. 因此{(lán)an}的通項公式為an＝10－2n. ②由①得a1＝－4d，故an＝(n－5)d，Sn＝. 由a1＞0知d＜0，故Sn≥an等價于n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10. 所以n的取值范圍是{n|

9、1≤n≤10，n∈N*}． 　a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量，求出a1和d進(jìn)而解決問題，是常用的方法之一． 　1.(2018·全國卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，則a5＝(　　) A．－12　　　B．－10 C．10　　　D．12 B　[法一：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵3S3＝S2＋S4，∴3＝2a1＋d＋4a1＋d，解得d＝－a1，∵a1＝2，∴d＝－3， ∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.故選B. 法二：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵3S3＝S2＋S4，∴3S3＝S3－a3＋S3＋a4，∴S3＝a4－a3，∴3a1

10、＋d＝d.……∵a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.故選B.] 2．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2＝4，S4＝22，an＝28，則n＝(　　) A．3　　　　B．7 C．9　　　　D．10 D　[因為S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝4a2＋2d＝22，d＝＝3，a1＝a2－d＝4－3＝1，an＝a1＋(n－1)d＝1＋3(n－1)＝3n－2，由3n－2＝28，解得n＝10.] ⊙考點2　等差數(shù)列的判定與證明 　等差數(shù)列的判定與證明的方法 方法 解讀 適合題型 定義法 對于任意自然數(shù)n(n≥2)，an－an－1(n≥2，n∈

11、N*)為同一常數(shù)?{an}是等差數(shù)列 解答題中證明問題 等差中項法 2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立?{an}是等差數(shù)列 通項公式法 an＝pn＋q(p，q為常數(shù))對任意的正整數(shù)n都成立?{an}是等差數(shù)列 選擇、填空題中的判定問題 前n項和公式法 驗證Sn＝An2＋Bn(A，B是常數(shù))對任意的正整數(shù)n都成立?{an}是等差數(shù)列 　已知數(shù)列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，數(shù)列{bn}滿足bn＝(n∈N*)． (1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}中的最大項和最小項，并說明理由． [解](1)證明：因為an＝2－(

12、n≥2，n∈N*)，bn＝(n∈N*)， 所以bn＋1－bn＝－ ＝－ ＝－＝1. 又b1＝＝－. 所以數(shù)列{bn}是以－為首項，1為公差的等差數(shù)列． (2)由(1)知bn＝n－， 則an＝1＋＝1＋. 設(shè)f(x)＝1＋， 則f(x)在區(qū)間和上為減函數(shù)． 所以當(dāng)n＝3時，an取得最小值－1， 當(dāng)n＝4時，an取得最大值3. [母題探究] 本例中，若將條件變?yōu)閍1＝，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，試求數(shù)列{an}的通項公式． [解]　由已知可得 ＝＋1， 即－＝1，又a1＝， ∴是以＝為首項，1為公差的等差數(shù)列， ∴＝＋(n－1)·1＝n－， ∴

13、an＝n2－n. 　求數(shù)列的最大項和最小項，實際就是求函數(shù)的最值問題，可借助函數(shù)的圖像及函數(shù)的單調(diào)性求解． [教師備選例題] 已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，S2＝2，S3＝－6. (1)求數(shù)列{an}的通項公式和前n項和Sn； (2)是否存在正整數(shù)n，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差數(shù)列？若存在，求出n；若不存在，請說明理由． [解](1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d， 則 ∴∴an＝4－6(n－1)＝10－6n， Sn＝na1＋d＝7n－3n2. (2)由(1)知Sn＋Sn＋3＝7n－3n2＋7(n＋3)－3(n＋3)2 ＝－6n2－4n－6， 2(Sn＋2

14、＋2n)＝2(－3n2－5n＋2＋2n)＝－6n2－6n＋4， 若存在正整數(shù)n使得Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差數(shù)列， 則－6n2－4n－6＝－6n2－6n＋4，解得n＝5， ∴存在n＝5，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差數(shù)列． 　1.數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝，則數(shù)列的通項公式an＝________. 　[由an＋1＝得＝， 即－＝2. 又＝1，因此數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，所以＝1＋2(n－1)＝2n－1， 所以an＝.] 2．在數(shù)列{an}中，a1＝2，an是1與anan＋1的等差中項． 求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求{an}的通項公式．

15、 [證明]　由題意知2an＝1＋anan＋1， ∴－ ＝＝ ＝＝1. 又a1＝2，＝1， ∴數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列． ⊙考點3　等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 　利用等差數(shù)列的性質(zhì)解題的兩個關(guān)注點 (1)兩項和的轉(zhuǎn)換是最常用的性質(zhì)，利用2am＝am－n＋am＋n可實現(xiàn)項的合并與拆分，在Sn＝中，Sn與a1＋an可相互轉(zhuǎn)化． (2)利用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差數(shù)列，可求S2m或S3m. 　等差數(shù)列項的性質(zhì) (1)已知在等差數(shù)列{an}中，a5＋a6＝4，則log2(2a1·2a2·…·2a10)＝(　　) A．10　　　　B．20　　　　C．40　　　　D

16、．2＋log25 (2)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a9＝4，a5＋a6＋a7＝6，則S14＝(　　) A．84 B．70 C．49 D．42 (1)B　(2)D　[(1)log2(2a1·2a2·…·2a10)＝log22a1＋log22a2＋…＋log22a10 ＝a1＋a2＋…＋a10＝5(a5＋a6)＝5×4＝20. 故選B. (2)因為a5＋a6＋a7＝3a6＝6，所以a6＝2，又a9＝4，所以S14＝＝7(a6＋a9)＝42. 故選D.] 　一般地am＋an≠am＋n，等號左右兩邊必須是兩項相加，當(dāng)然也可以是am－n＋am＋n＝2am. 　等差數(shù)列前n項和

17、的性質(zhì) (1)(2019·莆田模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S5＝7，S10＝21，則S15等于(　　) A．35 B．42 C．49 D．63 (2)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝－2 018，－＝6，則S2 020＝________. (1)B　(2)2 020　[(1)由題意知，S5，S10－S5，S15－S10成等差數(shù)列， 即7,14，S15－21成等差數(shù)列， ∴S15－21＋7＝28， ∴S15＝42，故選B. (2)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得也為等差數(shù)列， 設(shè)其公差為d，則－＝6d＝6， ∴d＝1， ∴＝＋2 019d＝－2 0

18、18＋2 019＝1， ∴S2 020＝2 020.] 　本例T(2)，也可以根據(jù)條件先求出a1，d，再求結(jié)果，但運算量大，易出錯． 　1.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＝9，S6＝36，則a7＋a8＋a9等于(　　) A．63 B．45 C．36 D．27 B　[由題意知，S3，S6－S3，S9－S6成等差數(shù)列， 即9,27，S9－S6成等差數(shù)列． ∴S9－S6＝45，即a7＋a8＋a9＝45.] 2．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若am＝10，S2m－1＝110，則m＝________. 6　[S2m－1＝＝＝110，解得m＝6.] 3．等差數(shù)列{

19、an}與{bn}的前n項和分別為Sn和Tn，若＝，則＝________. 　[＝＝＝ ＝＝＝.] ⊙考點4　等差數(shù)列的前n項和及其最值 　求等差數(shù)列前n項和Sn最值的兩種方法 (1)二次函數(shù)法 利用等差數(shù)列前n項和的函數(shù)表達(dá)式Sn＝an2＋bn，通過配方或借助圖像求二次函數(shù)最值的方法求解． (2)通項變號法 ①a1＞0，d＜0時，滿足的項數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm； ②當(dāng)a1＜0，d＞0時，滿足的項數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm. (1)[一題多解]已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝13，S3＝S11，當(dāng)Sn最大時，n的值是(　　) A．5 B．6 C．7

20、 D．8 C　[法一(通項變號法)：由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得a7＋a8＝0.根據(jù)首項等于13可推知這個數(shù)列遞減，從而得到a7＞0，a8＜0，故n＝7時，Sn最大． 法二(二次函數(shù)法)：由S3＝S11，可得3a1＋3d＝11a1＋55d，把a1＝13代入，得d＝－2，故Sn＝13n－n(n－1)＝－n2＋14n.根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，知當(dāng)n＝7時Sn最大． 法三(圖像法)：根據(jù)a1＝13，S3＝S11，知這個數(shù)列的公差不等于零，且這個數(shù)列的和是先遞增后遞減．根據(jù)公差不為零的等差數(shù)列的前n項和是關(guān)于n的二次函數(shù)，以及二次函數(shù)圖像的對稱性，可得只有當(dāng)

21、n＝＝7時，Sn取得最大值．] (2)已知等差數(shù)列{an}的前三項和為－3，前三項的積為8. ①求等差數(shù)列{an}的通項公式； ②若a2，a3，a1成等比數(shù)列，求數(shù)列{|an|}的前n項和Tn. [解]?、僭O(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 則a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d. 由題意得 解得或 所以由等差數(shù)列通項公式可得 an＝2－3(n－1)＝－3n＋5或an＝－4＋3(n－1)＝3n－7. 故an＝－3n＋5或an＝3n－7. ②當(dāng)an＝－3n＋5時，a2，a3，a1分別為－1，－4,2，不成等比數(shù)列； 當(dāng)an＝3n－7時，a2，a3，a1分別為－1,2，－4，成等比

22、數(shù)列，滿足條件． 故|an|＝|3n－7|＝ 記數(shù)列{3n－7}的前n項和為Sn， 則Sn＝＝n2－n. 當(dāng)n≤2時，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝－(a1＋a2＋…＋an)＝－n2＋n， 當(dāng)n≥3時，Tn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－(a1＋a2)＋(a3＋a4＋…＋an)＝Sn－2S2＝n2－n＋10， 綜上知：Tn＝n∈N*. 　當(dāng)公差d≠0時，等差數(shù)列{an}的前n項和Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，故在對稱軸處Sn有最值，當(dāng)對稱軸不是正整數(shù)時，離對稱軸最近的n值使Sn取得最值． [教師備選例題] 在等差數(shù)列{an}中，a1＋a3＋a5＝105，a

23、2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n項和，則使Sn達(dá)到最大值的n是(　　) A．21　　　B．20　　　C．19　　　D．18 B　[因為a1＋a3＋a5＝3a3＝105，a2＋a4＋a6＝3a4＝99，所以a3＝35，a4＝33，所以d＝－2，a1＝39.由an＝a1＋(n－1)d＝39－2(n－1)＝41－2n≥0，解得n≤，所以當(dāng)n＝20時Sn達(dá)到最大值，故選B.] 　1.設(shè)數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n－10(n∈N*)，則|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________. 130　[由an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8為首項，2為公差的等差數(shù)列，

24、又由an＝2n－10≥0得n≥5，所以n≤5時，an≤0，當(dāng)n＞5時，an＞0，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＋(a6＋…＋a15)＝S15－2S5＝130.] 2．(2019·北京高考)設(shè){an}是等差數(shù)列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比數(shù)列． (1)求{an}的通項公式； (2)記{an}的前n項和為Sn，求Sn的最小值． [解](1)設(shè){an}的公差為d. 因為a1＝－10， 所以a2＝－10＋d，a3＝－10＋2d，a4＝－10＋3d. 因為a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比數(shù)列， 所以(a3＋8)2＝(a2＋10)(a4＋6)． 所以(－2＋2d)2＝d(－4＋3d)． 解得d＝2. 所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－12. (2)由(1)知，an＝2n－12. 則當(dāng)n≥7時，an＞0；當(dāng)n≤6時，an≤0. 所以Sn的最小值為S5＝S6＝－30.