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1、 把握數(shù)學(xué)概念本質(zhì)，設(shè)計(jì)有價(jià)值的數(shù)學(xué)活動(dòng) ——基于《倍數(shù)與因數(shù)》的課例研究 小學(xué)階段所涉及的數(shù)學(xué)概念都是非?；?、非常重要，但是“越是簡(jiǎn)單的，往往越是本質(zhì)的”，所以對(duì)于小學(xué)階段的基本數(shù)學(xué)概念內(nèi)涵的理解，是如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、掌握數(shù)學(xué)思想方法、形成恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)觀、真正使“情感、態(tài)度、價(jià)值觀”目標(biāo)得以落實(shí)的載體。就要求我們必須在數(shù)學(xué)課堂上設(shè)計(jì)有價(jià)值的數(shù)學(xué)活動(dòng)來凸顯數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，以促動(dòng)數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)。 一、 研究背景 北京教育學(xué)院劉加霞教授提出：“為什么數(shù)學(xué)中火熱的發(fā)明會(huì)變成現(xiàn)實(shí)中冰冷的美麗，教

2、材是‘教學(xué)法的顛倒’教師與學(xué)生都在形式上的理解，造成當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)的難堪境地?！苯滩乃憩F(xiàn)的是形式化的、冰冷的結(jié)果，教學(xué)如果從這些“冰冷”的形式開始，學(xué)生就不可能經(jīng)歷“火熱”的數(shù)學(xué)思考過程。實(shí)際數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，如果從“形式”開始，學(xué)生就容易出現(xiàn)“形式”上的理解。為了避免“形式”上的教，張奠宙先生指出：“一線教師需要將“學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)”轉(zhuǎn)化為“教育形態(tài)的數(shù)學(xué)”?！睘榇宋覀冃枰⒅貙W(xué)生的生活概念、經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)概念之間的本質(zhì)聯(lián)系與區(qū)別，自然地實(shí)現(xiàn)由“生活概念向科學(xué)概念的運(yùn)動(dòng)（杜威）”。 數(shù)學(xué)教師課堂教學(xué)的核心應(yīng)該是對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)本質(zhì)的把握，特別是對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的認(rèn)知和把握。 注重?cái)?shù)學(xué)概念、知識(shí)發(fā)展的歷史

3、本源，注重其形成、發(fā)展的原始動(dòng)力與過程；注重現(xiàn)實(shí)問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化過程，真正讓學(xué)生經(jīng)歷“建模”的過程，體驗(yàn)到數(shù)學(xué)之于解決實(shí)際問題的重要意義；更需要注重學(xué)生的樸素問題與思維過程，真正激發(fā)學(xué)生探究的愿望，發(fā)展理智的好奇。 二、 研究的問題 （一） 挖掘倍數(shù)與因數(shù)的知識(shí)本質(zhì) 《倍數(shù)與因數(shù)》是小學(xué)數(shù)學(xué)中關(guān)于兩個(gè)數(shù)關(guān)系的一節(jié)起始概念課，“倍數(shù)和因數(shù)”的教材編排跟老教材相比有著很多不同之處，最大的不同在于老教材是先讓學(xué)生理解整除，然后在整除的基礎(chǔ)上引出倍數(shù)和因數(shù)的定義。概念的揭示從抽象到抽象，沒有學(xué)生經(jīng)歷的過程，也無學(xué)生借助原有經(jīng)驗(yàn)的自主建構(gòu)。 西師版新教材首先介紹了自然數(shù)，為因數(shù)的數(shù)域做準(zhǔn)備，

4、然后是從韓信點(diǎn)兵的情境圖引入的，讓學(xué)生根據(jù)情境寫出不同的算式，從而導(dǎo)出倍數(shù)和因數(shù)的概念。，從算式中去理解倍數(shù)與因數(shù)的概念。能夠說這其實(shí)就是一種形式上的表現(xiàn)，需要我們做教育性的處理。作為一節(jié)起始概念課，我們有理由對(duì)倍數(shù)與因數(shù)的概念實(shí)行深入的挖掘，協(xié)助學(xué)生去理解概念的本質(zhì)，更好的建立起基本概念。 通過查閱文獻(xiàn)我們發(fā)現(xiàn)對(duì)于因數(shù)與倍數(shù)是描述的數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系。《初等數(shù)論》（潘承洞、潘承彪著）以及《什么是數(shù)學(xué)》（柯朗等著）里對(duì)因數(shù)和倍數(shù)是這樣解釋的：有兩個(gè)非零自然數(shù)a、b，如果存有一個(gè)q∈z,使得b=qa,則b是a倍數(shù)，a是b的因數(shù)。這句話翻譯成兒童能聽懂的語言，就是說，如果b里面剛好能分成幾個(gè)a,則

5、a就是b的因數(shù)，b就是a的倍數(shù)。能夠把理解因數(shù)與倍數(shù)的關(guān)系，結(jié)合前面學(xué)習(xí)的平均分能整除來理解。 這樣定義的：“整數(shù)A能被整數(shù)B整除，A叫做B的倍數(shù)，B就叫做A的因數(shù)或素?cái)?shù)?！薄Ｋ?cái)?shù)和因數(shù)的區(qū)別有三點(diǎn)：1.數(shù)域不同。素?cái)?shù)只能是自然數(shù)，而因數(shù)能夠是任何數(shù)。2.關(guān)系不同。素?cái)?shù)是對(duì)兩個(gè)自然數(shù)的整除關(guān)系來說，只要兩個(gè)數(shù)是自然數(shù)，就能確定它們之間是否存有素?cái)?shù)關(guān)系，如：40÷5=8，40能被5整除，5就是40的素?cái)?shù)，12÷10=1.2，12不能被10整除，10不是12的素?cái)?shù)。因數(shù)是兩個(gè)或兩個(gè)以上的數(shù)對(duì)它們的乘積關(guān)系來說的。如：8×0.2=1.6，8和0.2都是積1.6的因數(shù)，離開乘積算式就沒有因數(shù)了。3.

6、大小關(guān)系不同。當(dāng)數(shù)a是數(shù)b的素?cái)?shù)時(shí)，a不能大于b，當(dāng)a是b的因數(shù)時(shí)，a能夠大于b，也能夠小于b。例如，5是60的素?cái)?shù)，5< 60，8是4.8的因數(shù)，8 >4.8 基于以上的思考，我把教學(xué)目標(biāo)設(shè)定為 1．通過動(dòng)手操作寫出不同的乘除法算式，理解倍數(shù)和因數(shù)，初步理解倍數(shù)和因數(shù)相互依存的關(guān)系。 2．使學(xué)生在理解倍數(shù)和因數(shù)以及探索一個(gè)數(shù)的因數(shù)的過程中，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，并總結(jié)找一個(gè)數(shù)的因數(shù)的方法，從而提升數(shù)學(xué)思考的水平。 3．培養(yǎng)學(xué)生的合作意識(shí)、探索意識(shí)，以及熱愛數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情感。 （二） 設(shè)計(jì)有價(jià)值的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng) 整個(gè)課堂的推動(dòng)主要是依靠有價(jià)值的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)來展開的，考量

7、教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)價(jià)值也是本課例著重要研究的內(nèi)容和方向。所有的活動(dòng)的目的都是圍繞著，教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)而非其它，有了目標(biāo)就有了活動(dòng)的方向，活動(dòng)才能在有序的組織中推動(dòng)學(xué)生概念的建構(gòu)。 本課設(shè)計(jì)中的活動(dòng)主要有兩個(gè) 活動(dòng)一：用12 個(gè)小正方形，拼擺一個(gè)長(zhǎng)方形，每次必須全部用完，并用算式把你的拼擺過程表示出來。 活動(dòng)的目的：旨在把學(xué)生調(diào)動(dòng)起來，感受整除，初步的感知倍數(shù)與因數(shù)，都是以整除為前提。拼擺的過程就是理解倍數(shù)與因數(shù)的過程。這是本課例重點(diǎn)研究的一個(gè)課堂主要活動(dòng)，也是本節(jié)課知識(shí)的核心本質(zhì)所在。 活動(dòng)二：找尋36的所有因數(shù) 活動(dòng)的目的：讓學(xué)生在尋找一個(gè)數(shù)所有因數(shù)的過程中，去觀察因數(shù)的特征，從而總結(jié)出

8、，尋找一個(gè)數(shù)所有因數(shù)的方法，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，提高數(shù)學(xué)思考的水平。 三、研究的方法 三課兩反思的課例研究模式 四、研究的過程： （一） “為什么教學(xué)要超時(shí)?” 1、課堂片段節(jié)錄： 教師引入新課后： 師：課件出示：12個(gè)正方形，請(qǐng)把它們拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，把你的拼法在方格紙上框畫出來，再試著用算式表示出來，寫在草稿本上。給你一分鐘看誰的方法多，開始。 生：學(xué)生獨(dú)立完成，后匯報(bào)。 師：（1）你是怎樣畫的（框畫了幾排，每排有幾個(gè)），算式是怎樣列的？ （2）學(xué)生展示匯報(bào)。 師：老師把你們的畫法整理了一下，請(qǐng)你觀察：出示課件

9、 3×4=12 6×2=12 12×1=12 4×3=12 2×6=12 1×12=12 師：指算式，觀察這些算式，它們有什么共同點(diǎn)？ 從上面的算式中，我們發(fā)現(xiàn)，這些算式中的兩個(gè)數(shù)相乘都得12，像這樣兩個(gè)數(shù)相乘等于12的數(shù)，和12 之間有著某種關(guān)系，你們想知道嗎？ 師：介紹因數(shù)與倍數(shù) （課件出示：3是12的因數(shù)，12是3的倍數(shù)；4是12的因數(shù)，12是4

10、的倍數(shù)。） 請(qǐng)生讀一遍。這句話中有兩個(gè)關(guān)鍵詞，請(qǐng)你把它重讀 師：這里出現(xiàn)了兩個(gè)重要的詞“因數(shù)與倍數(shù)”，這就是今天我們要一起來學(xué)習(xí)的新課 （板書課題:倍數(shù)與因數(shù)） 師：你能像老師一樣也用因數(shù)與倍數(shù)來描述一下余下的兩組算式嗎？ 生：兩人一組，說一說。 師：通過剛才的描述，我們發(fā)現(xiàn)12都有哪些因數(shù)呢？ （板書：12:1、2、3、4、6、12 ） 師：滿足什么條件就是12的因數(shù)呢？ 生：每?jī)蓚€(gè)數(shù)相乘的積都是12，我們說這些數(shù)都是12的因數(shù) 師：兩個(gè)數(shù)相乘等于12的算式還有沒有，你能舉例說說嗎？ 生：2.4×5=12 師： 2.4×5=12，這里的2.4是不是12的因數(shù)為

11、什么？ 生1：不是 生2：是，因?yàn)檫@兩個(gè)數(shù)相乘也等于12. 師：不是，因?yàn)槲覀兯f的因數(shù)與倍數(shù)都是在自然數(shù)范圍內(nèi)，不包括小數(shù)、分?jǐn)?shù) 師：0可以做12的因數(shù)嗎？為什么？ 生：0乘任何數(shù)都不能得到12 師：所以在自然數(shù)范圍內(nèi)的因數(shù)要除0以外即非0自然數(shù)。 師：聽了你們剛才的描述，有一個(gè)同學(xué)也覺得自己收獲很大，她也要來描述一下這一組算式. 3×4=12中， 3是因數(shù)，12是倍數(shù)，你覺得這個(gè)同學(xué)說得對(duì)嗎？為什么？ 生1：我覺得好像對(duì)好像又不對(duì) 生2：對(duì)的 師：倍數(shù)和因數(shù)是描述的兩個(gè)的數(shù)的關(guān)系，不能只說一個(gè)，要說成：“3×4=12中， 3是12的因數(shù)，12是3的倍數(shù)?！?

12、2、課后問題聚焦 （1）學(xué)生活動(dòng)耗時(shí)過長(zhǎng)，整個(gè)課堂節(jié)奏緩慢 教師在設(shè)計(jì)活動(dòng)時(shí)的初衷，是希望學(xué)生能在頭腦中建構(gòu)起12個(gè)小正方形，拼成長(zhǎng)方形的畫面，再描畫出來，并以形為支撐，列出算式，初步感受倍數(shù)因數(shù)與整除的聯(lián)系。但在實(shí)際的操作中，學(xué)生用于畫長(zhǎng)方形的時(shí)間太長(zhǎng)，讓學(xué)生在畫的過程中耽誤了太多的時(shí)間浪費(fèi)了精力，沒有很好的去思考三種擺法的共同點(diǎn)，以及列出的算式的相同之處。 （2）對(duì)于數(shù)學(xué)本質(zhì)的追問不夠，邏輯不太合理 教師在活動(dòng)后，對(duì)于倍數(shù)與因數(shù)的概念，是直接告知的，本來這種告知是可以的，但是缺乏對(duì)知識(shí)的本質(zhì)的追問。例如：在介紹了倍數(shù)與因數(shù)概念后，教師讓學(xué)生仿照老師的樣子說一說另外兩種擺法的兩

13、個(gè)數(shù)與12的關(guān)系。這種學(xué)習(xí)純粹是模仿學(xué)習(xí)，只能學(xué)其形，而不能學(xué)其神。作為倍數(shù)與因數(shù)的意義，與整除是有著密切聯(lián)系的，所以，教師在算式的呈現(xiàn)中，只呈現(xiàn)乘法算式，對(duì)于幫助學(xué)生更深入的理解概念，是比較不具有說服力的。 3、改進(jìn)建議： (1)活動(dòng)形式： 建議把原來的由學(xué)生想畫，改成學(xué)生在10×12的方格紙上用斜線涂畫，這樣即可以比較準(zhǔn)確的表達(dá)學(xué)生的思維，又比較節(jié)約時(shí)間。而且在課堂展示中看上去也比較規(guī)范美觀，便于其它同學(xué)觀察、發(fā)現(xiàn)，能提高課堂的效率。 （2）活動(dòng)過程： 建議給學(xué)生一個(gè)固定的時(shí)間，在呈現(xiàn)反饋學(xué)生的作品可以事前收集，集中突破一個(gè)，后面進(jìn)行類推。課堂教學(xué)中采用一分鐘競(jìng)賽的形式，

14、即有效的把控時(shí)間，又可以訓(xùn)練學(xué)生集中注意力完成學(xué)習(xí)任務(wù)，提高課堂教學(xué)的高效性。 （3）活動(dòng)追問： 活動(dòng)最后的追問：“3×4=12中， 3是因數(shù)，12是倍數(shù)，你覺得這個(gè)同學(xué)說得對(duì)嗎？為什么？”容易把學(xué)生帶入到誤區(qū)，由于倍數(shù)因數(shù)的本質(zhì)問題，沒有在課中得到很好的解釋，所以這里可以不提這個(gè)問題，而是把這個(gè)問題放在整個(gè)這節(jié)課的最后，最好能讓學(xué)生通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，能自己提出來，這樣老師就可以更好的加以引導(dǎo)解釋，在這里出現(xiàn)不是特別的恰當(dāng)。 這一次的小組研討，更多的是集中在課堂中的形式修正和問題設(shè)置，這樣的研討可以讓課堂有更緊湊的呈現(xiàn)，但是本質(zhì)的核心問題不清晰是不是有了完美形式的掩飾就可以了呢

15、？ （二） “因?yàn)?.4不是自然數(shù)，所以不是12的因數(shù)？” 1、 課堂片段節(jié)錄： 師：12個(gè)正方形，請(qǐng)把它們拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，把你的拼法在方格紙上用斜線涂畫出來，再試著用算式表示出來，寫在草稿本上。給你一分鐘看誰的方法多，開始。 生：獨(dú)立完成，后匯報(bào)。 （1）你是怎樣畫的（畫了幾排，每排有幾個(gè)），算式是怎樣列的？ （2）學(xué)生展示匯報(bào)。 師：把你們的畫方法整理了一下，請(qǐng)你觀察：出示課件 3×4=12

16、 6×2=12 12×1=12 4×3=12 2×6=12 1×12=12 師：指算式：觀察這些算式，它們有什么共同點(diǎn)？ 生：從上面的算式中，我們發(fā)現(xiàn)，這些算式中的兩個(gè)數(shù)相乘都得12，像這樣兩個(gè)數(shù)相乘等于12的數(shù)，和12 之間有著某種關(guān)系，你們想知道嗎？ 師：介紹因數(shù)與倍數(shù)并板書 （課件出示：3是12的因數(shù)，12是3的倍數(shù)；4是12的因數(shù)，12是4的倍數(shù)。請(qǐng)生讀一遍。這句話中有兩個(gè)關(guān)鍵詞，請(qǐng)你把它重讀 師：這里出現(xiàn)了兩個(gè)重要的詞“因數(shù)與倍數(shù)”，這就是今天我們要一起來學(xué)習(xí)的新課 （板書課題:倍數(shù)與因數(shù)） 師：你能像老師一樣

17、也用因數(shù)與倍數(shù)來描述一下余下的兩組算式嗎？ 生：兩人一組，說一說。 師：通過剛才的描述，我們發(fā)現(xiàn)12都有哪些因數(shù)呢？ 板書：12的因數(shù):1、2、3、4、6、12 師：滿足什么條件就是12的因數(shù)呢？ ( )×( )=12 師：那12÷5=2.4，那2.4是不是12的因數(shù)呢？ 生：不是，因數(shù)應(yīng)該是自然數(shù)。 師：0可以做12的因數(shù)嗎？為什么？ 生：0乘任何數(shù)都不能得到12，所以在自然數(shù)范圍內(nèi)的因數(shù)要除0以外即非0自然數(shù) 2、課堂問題聚焦 這一次的問題聚焦，較上一次有了很大的進(jìn)展，問題直指倍數(shù)與因數(shù)的數(shù)學(xué)本質(zhì)，在激烈的交流中，我們更清晰的看到了我們想要的數(shù)學(xué)的課堂呈

18、現(xiàn)。 課堂中我們?cè)O(shè)計(jì)了（ ）×（ ）=12，讓學(xué)生思考，滿足什么樣的條件才是12的因數(shù)，并出現(xiàn)了2.4×5=12，那2.4是不是12的因數(shù)呢？這個(gè)問題讓學(xué)生思考，最后老師給出的理由是因?yàn)橐驗(yàn)?.4不是自然數(shù)，所以不是12的因數(shù)？很顯然判斷是否是12的因數(shù)的條件并不是數(shù)域的劃分，而應(yīng)該思考，因數(shù)定義的本身，來解答這個(gè)問題。 建立倍數(shù)與因數(shù)的概念，一定要建立在整除的基礎(chǔ)上，雖然教材中不再提整除，但是學(xué)生的意識(shí)里是有這個(gè)概念的，我們?cè)诮?gòu)倍數(shù)因數(shù)概念時(shí)，就應(yīng)該加以利用。所以在課堂從具體的拼擺到算式的生成這一過程中，應(yīng)該出現(xiàn)除法算式，這樣就能比較好的讓學(xué)生去感知倍數(shù)與因數(shù)的本質(zhì)是：“除法

19、里，如果被除數(shù)除以除數(shù)，所得的商都是自然數(shù)而沒有余數(shù)，就說被除數(shù)是除數(shù)的倍數(shù)，除數(shù)是被除數(shù)的因數(shù)（約數(shù)）。”也只有在以除法算式為依托的素材中，才能剔除因數(shù)概念中，學(xué)生原有的因數(shù)是兩個(gè)或兩個(gè)以上的數(shù)對(duì)它們的乘積關(guān)系而言的，這一知識(shí)的干擾。 3、改進(jìn)建議： （1）在拼擺后，引導(dǎo)學(xué)生說2個(gè)乘法算式和2個(gè)除法算式。為后來的概念建立提供更多元化的素材，有利于幫助學(xué)生更好的去理解概念的本質(zhì)。 （2）引導(dǎo)學(xué)生觀察其中一種拼法的4個(gè)算式，從中找出3個(gè)數(shù)字的關(guān)系。這樣可以讓學(xué)生的觀察更集中，問題更聚焦。 （3）“滿足什么條件，才能成為12的因數(shù)？”這一問題老師不僅僅要挖掘到（ ）×（ ）=12，并且

20、還要引導(dǎo)學(xué)生找到12÷（ ）=（ ）才是12的因數(shù)。也就是說，不僅僅是兩個(gè)數(shù)相乘等于12，而且是12除以一個(gè)數(shù)能整除，這個(gè)數(shù)才是12的因數(shù)。這里就是用整除的定義來解釋倍數(shù)與因數(shù)的課堂呈現(xiàn)。也是本次課對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的一種教育形態(tài)的呈現(xiàn)。 很顯然這一次對(duì)問題的叩問，觸摸到了本課的概念的核心，這種對(duì)于核心問題的關(guān)注，而不是回避，對(duì)于核心問題的追問而不是形式化的修正，正讓我們的課堂回歸本質(zhì)，也正是這樣的追問才成就了數(shù)學(xué)活動(dòng)的價(jià)值。 （三）“剛好擺完，沒有剩余?！? 1、課堂片段節(jié)錄： 師：12個(gè)正方形，請(qǐng)把它們拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，把你的拼法在方格紙上用斜線涂畫出來，再試著用算式表示出來，寫

21、在草稿本上。給你一分鐘看誰的方法多，開始。 生：獨(dú)立完成，后匯報(bào)。 （1）你是怎樣畫的（框畫了幾排，每排有幾個(gè)），算式是怎樣列的？ （2）學(xué)生展示匯報(bào)。（把其中一種擺法粘貼在黑板上） 師：把你們的框畫方法整理了一下，請(qǐng)你觀察：出示課件 3×4=12 6×2=12 1

22、2×1=12 4×3=12 2×6=12 1×12=12 12÷4=3 12÷6=2 12÷12=1 12÷3=4 12÷2=6 12÷1=12 師：指算式：觀察這些算式，它們有什么共同點(diǎn)？ 從上面的算式中，我們發(fā)現(xiàn)，這些算式中的都出現(xiàn)了3、4、12，這樣看來兩個(gè)數(shù)和12 之間有著某種關(guān)系，你們想知道嗎？ 師：介紹因數(shù)與倍數(shù)并板書 （板書：3是12的因數(shù)，12是3的倍數(shù)；4是12的因數(shù)，12是4的倍數(shù)。） 請(qǐng)生讀一遍。這句話中有兩個(gè)關(guān)鍵

23、詞，請(qǐng)你把它重讀 師：這里出現(xiàn)了兩個(gè)重要的詞“因數(shù)與倍數(shù)”，這就是今天我們要一起來學(xué)習(xí)的新課 （板書課題:倍數(shù)與因數(shù)） 師：你能像老師一樣也用因數(shù)與倍數(shù)來描述一下余下的兩組算式嗎？ 生:兩人一組，說一說。 師：通過剛才的描述，我們發(fā)現(xiàn)12都有哪些因數(shù)呢？ 板書：12的因數(shù):1、2、3、4、6、12 師：滿足什么條件就是12的因數(shù)呢？ 生：( )×( )=12 師：還可以呢？ 生：12÷（ ）=（ ）， 師：那12÷5=2.4，那2.4是不是12的因數(shù)呢？ 生：不是，必須要整除才能是12的因數(shù)。 生：我認(rèn)為是 師：要解決這一問題，我們可以借助我們剛才所

24、拼的小正方形來觀察 如果我們按照每排5個(gè)的方式去拼，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)，12個(gè)正方形是不能拼成一個(gè)長(zhǎng)方形的，會(huì)出現(xiàn)剩余。因此要成為12的因數(shù)，我們應(yīng)該要以能整除為前提。如果從乘法看就是因數(shù)應(yīng)該是自然數(shù)。 師：0可以做12的因數(shù)嗎？為什么？ 生：0乘任何數(shù)都不能得到12， 生：0不能做除數(shù) 師：所以在自然數(shù)范圍內(nèi)的因數(shù)要除0以外即非0自然數(shù) 問題的存在 1、 用擺小正方形的方式不能擺出每排5個(gè)一排，就不能排成一個(gè)長(zhǎng)方形，所以出現(xiàn)了余數(shù)。 2、 借助情境來理解，是可以采納的 3、 排圖形與倍數(shù)因數(shù)的溝通結(jié)合還不夠， 4、 長(zhǎng)寬與面積之間關(guān)系可以類推到倍數(shù)與因數(shù)的關(guān)系（小數(shù)）

25、，小正方形的總個(gè)數(shù)，與每排個(gè)數(shù)排數(shù)之間的關(guān)系（自然數(shù)），類推到倍數(shù)與因數(shù)的關(guān)系。（即數(shù)形結(jié)合） 5、 三種擺法后追問，還沒有別的擺法，可以讓學(xué)生更充分的感受倍數(shù)與因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，更體現(xiàn)倍數(shù)與因數(shù)是自然數(shù)。 通過三次實(shí)踐和三次反思，我們?cè)絹碓角逦目吹搅藛栴}的本質(zhì)，在對(duì)教學(xué)活動(dòng)不斷修正的路上，我們一直在前行。 五、研究反思 通過對(duì)《倍數(shù)與因數(shù)》一課的三次教學(xué)實(shí)踐的研究，我們發(fā)現(xiàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的課堂設(shè)計(jì)中，有一些規(guī)律是需要共同遵循的，只有在遵循規(guī)律的實(shí)踐中，我們的小學(xué)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)才能在課堂中得以凸顯，概念才能在學(xué)生的頭腦中得以生動(dòng)的建構(gòu)，這樣建構(gòu)起來的數(shù)學(xué)概念才是真正的有形有

26、實(shí)。 （一）活動(dòng)體驗(yàn)，形成表象 “在概念教學(xué)的初始環(huán)節(jié)，教師幫助學(xué)生感知概念要采取的基本策略為：采用直觀感性手段,使之對(duì)新的概念有一個(gè)厚實(shí)的感官基礎(chǔ)?！痹谛W(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，在引導(dǎo)學(xué)生充分感知后應(yīng)及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生提升思維水平，而不能一直停留在直觀層面，以防止數(shù)學(xué)內(nèi)涵的流失。因此，在課堂上，教師應(yīng)抓住時(shí)機(jī)，努力促進(jìn)學(xué)生由“形象思維”向“邏輯思維”的過渡。才能及時(shí)形成表象，凸顯數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)。 在本課例中教師就是采用了擺12個(gè)小正方形這樣一個(gè)課堂活動(dòng)，讓學(xué)生從形式上感知倍數(shù)與因數(shù)的整除關(guān)系，幫助學(xué)生建立倍數(shù)與因數(shù)的數(shù)學(xué)表象。然后及時(shí)抽取出算式，為下一步研究?jī)蓚€(gè)數(shù)的關(guān)系，做好了思維層面的準(zhǔn)備。由形

27、到數(shù)，由想象到抽象，學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)概念的形成過程，更能對(duì)概念有更深入的了解。 （二）抽象概括，生成概念 抽象是數(shù)學(xué)的本質(zhì)屬性，數(shù)學(xué)離不開抽象。在對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的探尋過程中，最為關(guān)鍵的一步就是對(duì)學(xué)生的感性表象，進(jìn)行數(shù)學(xué)化的抽象和概括，從而形成概念。有的老師會(huì)在學(xué)生猜測(cè)的基礎(chǔ)上，通過驗(yàn)證逐步抽象出概念的本質(zhì);有的老師會(huì)運(yùn)用不完全歸納法通過大量的素材羅列，讓學(xué)生觀察，比較，發(fā)現(xiàn)其中的共同特征，從而抽象出數(shù)學(xué)概念。不論采取哪種抽象概括的方式，其目的，都是要總結(jié)提煉出，事物的共同特征，并對(duì)這種特征加以強(qiáng)化，生成概念。 （三）注重聯(lián)系，強(qiáng)化本質(zhì)

28、其實(shí)在小學(xué)數(shù)學(xué)中的很多概念，從本質(zhì)上說彼此之間有著很密切的聯(lián)系，我們可以通過對(duì)這些聯(lián)系的深入挖掘，去強(qiáng)化概念的本質(zhì)。 例如《倍數(shù)和因數(shù)》一課，看似是本冊(cè)教材的起始課，但是這一內(nèi)容的理解是可以借助學(xué)生二年級(jí)所學(xué)的除法的平均分的意義來理解的，如果，教師能很好的找到這兩者之間的聯(lián)系，就可以幫助學(xué)生對(duì)倍數(shù)因數(shù)的本質(zhì)的理解，即：一個(gè)數(shù)能被另一個(gè)數(shù)整除就可以說這個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)，另一個(gè)數(shù)是這個(gè)數(shù)的因數(shù)。 當(dāng)然知識(shí)中的這種內(nèi)在聯(lián)系是需要我們?nèi)贤ǖ?，而這種聯(lián)系有時(shí)候也會(huì)對(duì)概念的形成造成負(fù)面的影響。例如在《倍數(shù)與因數(shù)》一課中，對(duì)于“因數(shù)”這個(gè)概念學(xué)生在學(xué)習(xí)乘法時(shí)就知道，在乘法算式中的兩個(gè)乘數(shù)

29、就叫做因數(shù)，但顯然這里的“因數(shù)”和本課例中“因數(shù)”不是同一概念。而學(xué)生的這種原有認(rèn)知是會(huì)對(duì)本課的概念建立帶來負(fù)面影響的，所以在課例研討的過程中，就把原來的單一的乘法算式，改成了乘除法算式都出現(xiàn)，讓學(xué)生抽象概括出共同特征，幫助形成概念。 可見，在概念教學(xué)中，注重概念的溝通聯(lián)系，對(duì)于幫助學(xué)生建立概念具有很好的強(qiáng)化作用，同時(shí)也有可能會(huì)出現(xiàn)負(fù)面影響，這就需要教師對(duì)概念的本質(zhì)，聯(lián)系進(jìn)行梳理和掌控，才能幫助學(xué)生撥云見日。 （四）應(yīng)用概念，提升能力 記住概念的定義不等于掌握概念，只有把數(shù)學(xué)概念進(jìn)行應(yīng)用，才能夠更好的提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，體現(xiàn)數(shù)學(xué)課的價(jià)值性。 我們經(jīng)?？吹竭@樣的課堂，老師在課堂上一遍

30、一遍的重復(fù)概念的文字描述，孩子已經(jīng)能把概念的文字描述倒背如流了?？墒?，如果我們讓孩子用自己的話來描述這個(gè)數(shù)學(xué)概念時(shí)，孩子就會(huì)覺得無從下手。這種現(xiàn)象其實(shí)就是概念沒有內(nèi)化為孩子的知識(shí)結(jié)構(gòu)，這樣的概念就不可能幫助學(xué)生去解決遇到的實(shí)際問題。可能一節(jié)課兩節(jié)課，我們不能夠明顯的看到他們之間的差距，但是當(dāng)孩子越來越多的需要用這個(gè)概念去解決稍復(fù)雜一些的問題時(shí)，學(xué)生的差距就會(huì)逐步得到顯現(xiàn)。所有在課堂中設(shè)計(jì)對(duì)概念的應(yīng)用也是對(duì)概念本質(zhì)的進(jìn)一步強(qiáng)化，是十分必要而有效的教學(xué)活動(dòng)。 參考文獻(xiàn)：《概念教學(xué)：過程與策略》 《把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，設(shè)計(jì)有價(jià)值的數(shù)學(xué)活動(dòng)》 劉加霞 《小學(xué)數(shù)學(xué)概念及其教學(xué)》 張澤慶 《數(shù)論》