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2、 1 專題6 數(shù)列 一．選擇題 1.【2006年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷】若互不相等的實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，且，則 ( ) A．4 B．2 C．－2 D．－4 2.．【2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷8】已知兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為A和，且，則

3、使得 為整數(shù)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 3.【2009年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷10】古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來(lái)研究數(shù)。比如： 他們研究過(guò)圖1中的1，3，6，10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似的，稱圖2中的1，4，9，16，…這樣的數(shù)為正方形數(shù)。下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是（ ） A.289 B.1024 C.1225 D.1378 4.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷

4、7】定義在上的函數(shù)，如果對(duì)于任意給定的等比數(shù)列， 仍是等比數(shù)列，則稱為“保等比數(shù)列函數(shù)”. 現(xiàn)有定義在上的如下函數(shù)： ①； ②； ③； ④. 則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的的序號(hào)為 ( ) A.① ② B．③ ④ C．① ③ D．② ④ 【答案】C 【解析】 試題分析:等比數(shù)列性質(zhì)，，①； ②；③；④.選C. 二．填空題 1.【2005年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷15】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差數(shù)列，則q的值為

5、 . 【答案】2 【解析】 試題分析:由題意可知q≠1，∴可得2(1-qn)=(1-qn+1)+(1-qn+2),即q2+q-2=0，解得q=-2或q=1(不合題意,舍去)，∴q=-2. 2.【2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷14】已知函數(shù)f(x)=2x,等差數(shù)列{ax}的公差為2.若f(a2+a4+ab+a2+a1)=4,則Log2[f(a1)·f(a2)·f(a)·…·f(a10)]= . 3.【2009年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷15】已知數(shù)列滿足：（m為正整數(shù)），若，則m所有可能的取值為_(kāi)_________。 4.【20xx年

6、普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷13】《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問(wèn)題：現(xiàn)有1根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面四節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為 升. 5.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷14】古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過(guò)各種多邊形數(shù)。如三角形數(shù)1,3,6,10，…，第個(gè)三角形數(shù)為.記第個(gè)邊形數(shù)為，以下列出了部分邊形數(shù)中第個(gè)數(shù)的表達(dá)式： 三角形數(shù) 正方形數(shù) 五邊形數(shù) 六邊形數(shù) …… 可以推測(cè)的表達(dá)式，由此計(jì)算 . 三．解答題 1.【2005年普通

7、高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷22】已知不等式為大于2的整數(shù)，表示不超過(guò)的最大整數(shù). 設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)為正，且滿足 （Ⅰ）證明 （Ⅱ）猜測(cè)數(shù)列是否有極限？如果有，寫出極限的值（不必證明）； （Ⅲ）試確定一個(gè)正整數(shù)N，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)任意b>0，都有 ∵ 2.【2006年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷】已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖像上。 （Ⅰ）、求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）、設(shè)，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，求使得對(duì)所有都成立的最小正整數(shù)m； 3.【2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷21】已知m，n為正整數(shù). （Ⅰ）用數(shù)

8、學(xué)歸納法證明：當(dāng)x>-1時(shí)，(1+x)m≥1+mx； （Ⅱ）對(duì)于n≥6，已知，求證，m=1,1,2…，n； （Ⅲ）求出滿足等式3n+4m+…+(n+2)m=(n+3)n的所有正整數(shù)n. 【解法1】（Ⅰ）證：用數(shù)學(xué)歸納法證明： （?。┊?dāng)時(shí)，原不等式成立；當(dāng)時(shí)，左邊，右邊， 因?yàn)?，所以左邊右邊，原不等式成立? （ⅱ）假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即，則當(dāng)時(shí)， 下同解法1． 4.【2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷21】已知數(shù)列{an}和{bn}滿足：a1=λ,an+1=其中λ為實(shí)數(shù)，n為正整數(shù). （Ⅰ）對(duì)任意實(shí)數(shù)λ，證明數(shù)列{an}不是等比數(shù)列； （Ⅱ）試判斷

9、數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論； （Ⅲ）設(shè)0＜a＜b,Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.是否存在實(shí)數(shù)λ，使得對(duì)任意正整數(shù)n，都有 a＜Sn＜b?若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由. (Ⅲ)由（Ⅱ）知，當(dāng)λ=-18,bn=0,Sn=0,不滿足題目要求. ∴λ≠-18，故知bn= -（λ+18）·（－）n-1，于是可得 Sn=- 要使a

10、 于是，由①式得a<-(λ+18),< 當(dāng)a3a存在實(shí)數(shù)λ，使得對(duì)任意正整數(shù)n,都有a

11、知，， 令　，則　， 又，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列， 即，故， 又， 故 （Ⅲ）解法一：由（Ⅱ）知：當(dāng)時(shí)，有， 7.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷19】（本小題滿分13分） 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足： （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式 （Ⅱ）若存在，使得成等差數(shù)列，試判斷：對(duì)于任意的，且，是否成等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論。 【解析】（Ⅰ）由已知可得，兩式相減可得，即，又， 所以當(dāng)r=0時(shí)，數(shù)列為a,0,0……,0，……； 當(dāng)時(shí)，由已知，所以, 于是由，可得，所以成等比數(shù)列， 當(dāng)時(shí)，。 綜上，數(shù)列的通項(xiàng)公式為： 8.【20xx

12、年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷18】已知等差數(shù)列前三項(xiàng)的和為，前三項(xiàng)的積為. （Ⅰ）求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）若，，成等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 當(dāng)時(shí)， . 當(dāng)時(shí)，滿足此式. 綜上， 9.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷18】已知等比數(shù)列滿足：，. （I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （II）是否存在正整數(shù)，使得？若存在，求的最小值；若不存在，說(shuō)明理由。 10.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷18】已知等差數(shù)列滿足：，且、、成等比數(shù)列. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式. （2）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)，使得若存在，求的最小值；若不存在，說(shuō)明理由. 【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，依題意，成等比數(shù)列， 所以，解得或， 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，， 所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為或. 11. 【20xx高考湖北，理18】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的公比為．已知，，，． （Ⅰ）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，記，求數(shù)列的前項(xiàng)和． 故. 【考點(diǎn)定位】等差數(shù)列、等比數(shù)列通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和. 12.