《高三數(shù)學(xué)北師大版文一輪課后限時集訓(xùn)：17 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式 Word版含解析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高三數(shù)學(xué)北師大版文一輪課后限時集訓(xùn)：17 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式 Word版含解析（3頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式 建議用時：45分鐘 1．已知函數(shù)f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x. (1)討論f(x)的單調(diào)性； (2)當(dāng)a＜0時，證明f(x)≤－－2. [解](1)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＋2a＋1＝. 當(dāng)a≥0，則當(dāng)x∈(0，＋∞)時，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增． 當(dāng)a＜0，則當(dāng)x∈時，f′(x)＞0；當(dāng)x∈時，f′(x)＜0. 故f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減． (2)證明：由(1)知，當(dāng)a＜0時，f(x)在x＝－取得最大值，最大值為f＝ln－1－. 所以f(x)≤－－2等價于ln－1

2、－≤－－2，即ln＋＋1≤0.設(shè)g(x)＝ln x－x＋1，則g′(x)＝－1.當(dāng)x∈(0,1)時，g′(x)＞0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時，g′(x)＜0.所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減．故當(dāng)x＝1時，g(x)取得最大值，最大值為g(1)＝0.所以當(dāng)x＞0時，g(x)≤0.從而當(dāng)a＜0時，ln＋＋1≤0，即f(x)≤－－2. 2．(2018·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝－x＋aln x. (1)討論f(x)的單調(diào)性； (2)若f(x)存在兩個極值點x1，x2，證明：＜a－2. [解](1)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝－－1＋＝－. (ⅰ)若

3、a≤2，則f′(x)≤0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2，x＝1時f′(x)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)單調(diào)遞減． (ⅱ)若a＞2，令f′(x)＝0得，x＝或x＝. 當(dāng)x∈∪時，f′(x)＜0； 當(dāng)x∈時，f′(x)＞0. 所以f(x)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增． (2)證明：由(1)知，f(x)存在兩個極值點時，當(dāng)且僅當(dāng)a＞2. 由于f(x)的兩個極值點x1，x2滿足x2－ax＋1＝0，所以x1x2＝1，不妨設(shè)x1＜x2，則x2＞1. 由于＝－－1＋a＝－2＋a＝－2＋a， 所以＜a－2等價于－x2＋2ln x2＜0. 設(shè)函數(shù)g(x)＝－x＋2ln x，由(1)知，g(x)在(0，＋

4、∞)上單調(diào)遞減，又g(1)＝0，從而當(dāng)x∈(1，＋∞)時，g(x)＜0. 所以－x2＋2ln x2＜0，即＜a－2. 3．已知函數(shù)f(x)＝ex，g(x)＝ln(x＋a)＋b. (1)當(dāng)b＝0時，f(x)－g(x)＞0恒成立，求整數(shù)a的最大值； (2)求證：ln 2＋(ln 3－ln 2)2＋(ln 4－ln 3)3＋…＋[ln(n＋1)－ln n]n＜(n∈N*)． [解](1)現(xiàn)證明ex≥x＋1，設(shè)F(x)＝ex－x－1，則F′(x)＝ex－1，當(dāng)x∈(0，＋∞)時，F(xiàn)′(x)＞0，當(dāng)x∈(－∞，0)時，F(xiàn)′(x)＜0，所以F(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－∞，0)上單調(diào)遞

5、減，所以F(x)min＝F(0)＝0，即F(x)≥0恒成立， 即ex≥x＋1. 同理可得ln(x＋2)≤x＋1，即ex＞ln(x＋2)， 當(dāng)a≤2時，ln(x＋a)≤ln(x＋2)＜ex， 所以當(dāng)a≤2時，f(x)－g(x)＞0恒成立． 當(dāng)a≥3時，e0＜ln a，即ex－ln(x＋a)＞0不恒成立． 故整數(shù)a的最大值為2. (2)證明：由(1)知ex＞ln(x＋2)，令x＝， 則e＞ln， 即e＞＝[ln(n＋1)－ln n]n， 所以e0＋e－1＋e－2 ＋…＋e－n＋1＞ln 2＋(ln 3－ln 2)2＋(ln 4－ln 3)3＋…＋[ln(n＋1)－ln n]n， 又因為e0＋e－1＋e－2＋…＋e－n＋1＝＜＝， 所以ln 2＋(ln 3－ln 2)2＋(ln 4－ln 3)3＋…＋[ln(n＋1)－ln n]n＜.