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2、 1 第45練 簡單的線性規(guī)劃問題 訓練目標 (1)掌握不等式(組)表示的平面區(qū)域的確定方法；(2)會求目標函數(shù)的最值；(3)了解目標函數(shù)的簡單應用． 訓練題型 (1)求平面區(qū)域面積；(2)求目標函數(shù)最值；(3)求參數(shù)值或參數(shù)范圍；(4)求最優(yōu)解；(5)實際應用問題． 解題策略 (1)根據(jù)不等式(組)畫出可行域；(2)準確理解目標函數(shù)的變量及相關(guān)參數(shù)的幾何意義；(3)用

3、好數(shù)形結(jié)合思想，將要解決的問題恰當?shù)呐c圖形相聯(lián)系；(4)注意目標函數(shù)的變形應用. 一、選擇題 1．下列各點中，與點(1,2)位于直線x＋y－1＝0的同一側(cè)的是(　　) A．(0,0) B．(－1,3) C．(－1,1) D．(2，－3) 2．若變量x，y滿足約束條件則z＝2x＋y的最大值和最小值分別為(　　) A．4和3 B．4和2 C．3和2 D．2和0 3．設(shè)正數(shù)x，y滿足－1

4、最小值為5，則其最大值為(　　) A．10 B．12 C．14 D．15 5．設(shè)變量x，y滿足約束條件若目標函數(shù)z＝x＋ky(k>0)的最小值為13，則實數(shù)k等于(　　) A．7 B．5或13 C．5或 D．13 6．(20xx·貴州七校聯(lián)考)一個平行四邊形的三個頂點的坐標分別為(－1,2)，(3,4)，(4，－2)，點(x，y)在這個平行四邊形的內(nèi)部或邊上，則z＝2x－5y的最大值是(　　) A．16 B．18 C．20 D．36 7．若不等式組表示的平面區(qū)域是面積為的三角形，則m的值為(　　) A. B. C．－ D. 8．已知x，y滿足約束條件

5、當目標函數(shù)z＝ax＋by(a>0，b>0)在該約束條件下取到最小值2時，a2＋b2的最小值為(　　) A．5 B．4 C. D．2 二、填空題 9．已知實數(shù)x，y滿足則z＝2x＋y的最大值為________． 10．(20xx·遼寧五校聯(lián)考)已知A，B是平面區(qū)域內(nèi)的兩個動點，向量n＝(3，－2)，則·n的最大值是________． 11．(20xx·全國乙卷)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3個工時，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2 100元

6、，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元．該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為________元． 12．已知函數(shù)f(x)＝x2－2x，點集M＝{(x，y)|f(x)＋f(y)≤2}，N＝{(x，y)|f(x)－f(y)≥0}，則M∩N所構(gòu)成平面區(qū)域的面積為______.  答案精析 1．B　[由x＋y－1＝0，將點(1,2)代入得1＋2－1>0，故所選的點代入直線方程大于零在同側(cè)，將點(－1,3)代入得，－1＋3－1>0成立．] 2．B　[在平面直角坐標系中，作出變量x，y的約束條件的區(qū)域，如圖陰影部分

7、所示， 由圖可知，當z＝2x＋y過點A(1,0)時，z最小，zmin＝2，當z＝2x＋y過點B(2,0)時，z最大，zmax＝4，所以z＝2x＋y的最大值和最小值分別為4和2.故選B.] 3．B　[作出x，y所滿足的條件所對應的可行域，如圖所示，當目標函數(shù)z＝x－2y經(jīng)過點(2,0)時，z＝x－2y取得最大值(不能取到)2，所以z∈(－∞，2)，故選B.] 4．A　[畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示．作直線l：y＝－3x，平移l，從而可知當x＝2，y＝4－c時，z取得最小值，zmin＝3×2＋4－c＝10－c＝5，所以c＝5，當x＝＝3，y＝＝1時，z取得最大值，zm

8、ax＝3×3＋1＝10.] 5．C　[作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示，可知z＝x＋ky(k>0)過點A(，)或B(，)時取得最小值，所以＋k＝13或＋k＝13，解得k＝5或.] 6．C　[平行四邊形的對角線互相平分，如圖，當以AC為對角線時，由中點坐標公式得AC的中點為(，0)，也是BD的中點，可知頂點D1的坐標為(0，－4)．同理，當以BC為對角線時，得D2的坐標為(8,0)，當以AB為對角線時，得D3的坐標為(－2,8)，由此作出(x，y)所在的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，由圖可知當目標函數(shù)z＝2x－5y經(jīng)過點D1(0，－4)時，取得最大值，最大值為2×0－5×(－4)

9、＝20，故選C.] 7.C　[畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，由圖可得A(m，)，B(m，m)，C(2,2)?S＝××(2－m)＝＝?m＝－，故選C.] 8．B　[線性約束條件所表示的可行域如圖陰影部分所示． 由解得 所以z＝ax＋by在A(2,1)處取得最小值，故2a＋b＝2， a2＋b2＝a2＋(2－2a)2＝(a－4)2＋4≥4.] 9．8 解析　作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖所示． 由z＝2x＋y，得y＝－2x＋z. 平移直線y＝－2x＋z，由圖象可知當直線y＝－2x＋z經(jīng)過點C時，在y軸上的截距最大，此時z最大． 由解得即C(3,2)，此時z＝

10、2×3＋2＝8. 10．10 解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，＝(x2－x1，y2－y1)，則·n＝3(x2－x1)－2(y2－y1)＝3x2－2y2－(3x1－2y1)．令z＝3x－2y，畫出不等式組表示的平面區(qū)域(如圖中陰影部分所示)，可知zmax＝6，zmin＝－4，則·n的最大值為zmax－zmin＝10. 11．216 000 解析　設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件，根據(jù)所耗費的材料要求、工時要求等其他限制條件，得線性約束條件為 目標函數(shù)z＝2 100x＋900y. 作出可行域為圖中的四邊形，包括邊界，頂點為(60,100)，(0,200)，(0,0)

11、，(90,0)，z在(60,100)處取得最大值，zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． 12．2π 解析　由f(x)＋f(y)＝x2－2x＋y2－2y≤2，得(x－1)2＋(y－1)2≤4， 于是點集M＝{(x，y)|f(x)＋f(y)≤2} 表示的平面區(qū)域是以(1,1)為圓心，半徑r＝2的圓面． 同理，由f(x)－f(y)＝x2－2x－y2＋2y≥0， 可得(x－y)(x＋y－2)≥0， 即或 于是點集N＝{(x，y)|f(x)－f(y)≥0}表示的平面區(qū)域就是不等式組所表示的平面區(qū)域．所以M∩N所構(gòu)成的平面區(qū)域如圖所示， 所以S＝·π·r2＝2π.