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第五章三角形 第22講相似圖形 1 2017 重慶市 若 ABC DEF 相似比為3 2 則對(duì)應(yīng)高的比為 A 3 2B 3 5C 9 4D 4 92 下列圖形一定是相似圖形的是 A 兩個(gè)矩形B 兩個(gè)正方形C 兩個(gè)直角三角形D 兩個(gè)等腰三角形3 2016 杭州市 如圖 已知直線(xiàn)a b c 直線(xiàn)m分別交直線(xiàn)a b c于點(diǎn)A B C 直線(xiàn)n分別交直線(xiàn)a b c于點(diǎn)D E F 若 則等于 A B C D 1 A B B 4 如圖 在正方形ABCD中 點(diǎn)E為CD的中點(diǎn) EF AE于點(diǎn)E 交BC于點(diǎn)F 則 1與 2的大小關(guān)系為 A 1 2B 1 2C 1 2D 無(wú)法確定5 如圖 小正方形的邊長(zhǎng)均為1 則下列圖中的三角形 陰影部分 與 ABC相似的是 A B C D C A 6 2018 廣東省 在 ABC中 D E分別為邊AB AC的中點(diǎn) 則 ADE與 ABC的面積之比為 A B C D 7 2017 臨沂市 如圖 已知AB CD AD與BC相交于點(diǎn)O 若 AD 10 則AO C 4 8 如圖 在 ABC中 AB 24 AC 18 點(diǎn)D在AC上 AD 12 在AB上取一點(diǎn)E 使以A D E三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與 ABC相似 則AE的長(zhǎng)是 16或9 9 如圖 在 ABC中 AD BC于點(diǎn)D DE AB于點(diǎn)E DF AC于點(diǎn)F 求證 證明 在 ABD和 ADE中 ADB AED 90 BAD DAE ABD ADE AD2 AE AB 同理可得 ACD ADF 從而AD2 AF AC AE AB AF AC 10 2017 宿遷市 如圖 在 ABC中 AB AC 點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng) 點(diǎn)E不與點(diǎn)B C重合 滿(mǎn)足 DEF B 且點(diǎn)D F分別在邊AB AC上 1 求證 BDE CEF 2 當(dāng)點(diǎn)E移動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí) 求證 FE平分 DFC 證明 1 AB AC B C DEF CEF B BDE DEF B CEF BDE BDE CEF 2 BDE CEF 點(diǎn)E是BC的中點(diǎn) BE CE 又 C B DEF CEF EDF CFE EFD 即FE平分 DFC 考點(diǎn)一比例線(xiàn)段定義 在四條線(xiàn)段中 如果其中兩條線(xiàn)段的比 另外兩條線(xiàn)段的比 那么 這四條線(xiàn)段叫做成比例線(xiàn)段 簡(jiǎn)稱(chēng)比例線(xiàn)段 考點(diǎn)二比例的性質(zhì)1 基本性質(zhì) a b c d ad bc a b b c b2 ac 2 更比性質(zhì) 交換比例的內(nèi)項(xiàng)或外項(xiàng) 交換內(nèi)項(xiàng) 交換外項(xiàng) 同時(shí)交換內(nèi)項(xiàng)和外項(xiàng) 等于 3 反比性質(zhì) 交換比的前項(xiàng) 后項(xiàng) 4 合比性質(zhì) 5 等比性質(zhì) b d f n 0 考點(diǎn)三相似多邊形及位似圖形1 相似多邊形 1 定義 如果兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形的 那么這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形 相似多邊形 的比叫做相似比 2 性質(zhì) 相似多邊形的對(duì)應(yīng)角 對(duì)應(yīng)邊 相似多邊形周長(zhǎng)的比 對(duì)應(yīng)對(duì)角線(xiàn)的比都等于 相似多邊形中的對(duì)應(yīng)三角形相似 相似比等于相似多邊形的相似比 相似多邊形面積的比等于 對(duì)應(yīng)角相等 對(duì)應(yīng)邊成比例 對(duì)應(yīng)邊 相等 成比例 相似比 相似比的平方 2 位似圖形 1 定義 如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形 而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線(xiàn)相交于一點(diǎn) 那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形 這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心 此時(shí)的相似比叫做位似比 2 性質(zhì) 每一組對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線(xiàn)和位似中心在同一直線(xiàn)上 它們到位似中心的距離之比都等于位似比 3 由一個(gè)圖形得到它的位似圖形的變換叫做位似變換 利用位似變換可以把一個(gè)圖形放大或縮小 考點(diǎn)四相似三角形1 相似三角形的概念 對(duì)應(yīng)角相等 對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形 相似用符號(hào) 來(lái)表示 讀作 相似于 相似三角形 的比叫做相似比 2 相似三角形的基本定理 平行于三角形一邊的直線(xiàn)和其他兩邊 或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn) 相交 所構(gòu)成的三角形與原三角形相似 用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述如下 DE BC ADE ABC 對(duì)應(yīng)邊 3 相似三角形的等價(jià)關(guān)系 1 反身性 對(duì)于任一 ABC 都有 ABC ABC 2 對(duì)稱(chēng)性 若 ABC A B C 則 A B C ABC 3 傳遞性 若 ABC A B C 并且 A B C A B C 則 ABC A B C 考點(diǎn)五相似三角形的判定1 三角形相似的判定方法 1 定義法 2 平行法 平行于三角形一邊的直線(xiàn)和其他兩邊 或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn) 相交 所構(gòu)成的三角形與原三角形相似 3 判定定理1 如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等 那么這兩個(gè)三角形相似 可簡(jiǎn)述為 4 判定定理2 如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊 并且 相等 那么這兩個(gè)三角形相似 可簡(jiǎn)述為兩邊成比例且?jiàn)A角相等 兩三角形相似 對(duì)應(yīng)角相等 對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似 兩角分別相等 兩三角形相似 對(duì)應(yīng)成比例 夾角 5 判定定理3 如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊 那么這兩個(gè)三角形相似 可簡(jiǎn)述為三邊成比例 兩三角形相似 2 直角三角形相似的判定方法 1 以上各種判定方法均適用 2 定理 如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例 那么這兩個(gè)直角三角形 3 垂直法 直角三角形被斜邊上的高分成的 與原三角形相似 對(duì)應(yīng)成比例 相似 兩個(gè)直角三角形 考點(diǎn)六相似三角形的性質(zhì)1 相似三角形的對(duì)應(yīng)角 對(duì)應(yīng)邊 2 相似三角形對(duì)應(yīng)高的比 對(duì)應(yīng)中線(xiàn)的比與對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)的比都等于 3 相似三角形周長(zhǎng)的比等于 4 相似三角形面積的比等于 相等 成比例 相似比 相似比 相似比的平方 例題1 如圖 在 ABC中 BC 10 BC邊上的高h(yuǎn) 5 點(diǎn)E在邊AB上 過(guò)點(diǎn)E作EF BC 交AC于點(diǎn)F 點(diǎn)D為BC上一點(diǎn) 連接DE DF 設(shè)點(diǎn)E到BC的距離為x 則 DEF的面積S關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為 A B C D 考點(diǎn) 動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象 相似三角形的性質(zhì)與判定 分析 判斷出 AEF和 ABC相似 根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出EF 再根據(jù)三角形的面積公式得出S與x的關(guān)系式 然后得到大致圖象選擇即可 例題1 如圖 在 ABC中 BC 10 BC邊上的高h(yuǎn) 5 點(diǎn)E在邊AB上 過(guò)點(diǎn)E作EF BC 交AC于點(diǎn)F 點(diǎn)D為BC上一點(diǎn) 連接DE DF 設(shè)點(diǎn)E到BC的距離為x 則 DEF的面積S關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為 A B C D D 變式 2017 眉山市 如圖 點(diǎn)E是正方形ABCD的邊BC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn) 連接DE 過(guò)頂點(diǎn)B作BF DE 垂足為F BF交AC于點(diǎn)H 交CD于點(diǎn)G 1 求證 BG DE 2 若點(diǎn)G為CD的中點(diǎn) 求的值 1 證明 四邊形ABCD是正方形 BC DC BCD 90 BF DE GFD 90 CBG BGC CDE DGF 90 又 BGC DGF CBG CDE 在 BCG與 DCE中 CBG CDE BC DC BCG DCE BCG DCE ASA BG DE 2 解 設(shè)CG 1 G為CD的中點(diǎn) GD CG 1 由 1 知 BCG DCE CE CG 1 由勾股定理 得DE BG sin CDE GF AB CG ABH CGH GH BG