《新版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件： 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第9節(jié) 函數(shù)模型及其應(yīng)用學(xué)案 理 北師大版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《新版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件： 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第9節(jié) 函數(shù)模型及其應(yīng)用學(xué)案 理 北師大版（6頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 1

2、 1 第九節(jié)　函數(shù)模型及其應(yīng)用 [考綱傳真]　(教師用書獨(dú)具)1.了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長(zhǎng)特征，結(jié)合具體實(shí)例體會(huì)直線上升、指數(shù)增長(zhǎng)、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義.2.了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用． (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第29頁(yè)) [基礎(chǔ)知識(shí)填充] 1．常見的幾種函數(shù)模型 (1)一次函數(shù)模型：

3、y＝kx＋b(k≠0)． (2)反比例函數(shù)模型：y＝＋b(k，b為常數(shù)且k≠0)． (3)二次函數(shù)模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)． (4)指數(shù)函數(shù)模型：y＝a·bx＋c(a，b，c為常數(shù)，b＞0，b≠1，a≠0)． (5)對(duì)數(shù)函數(shù)模型：y＝mlogax＋n(m，n，a為常數(shù)，a＞0，a≠1，m≠0)． (6)冪函數(shù)模型：y＝a·xn＋b(a≠0)． 2．三種函數(shù)模型之間增長(zhǎng)速度的比較 函數(shù) 性質(zhì)　　 y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0) 在(0，＋∞)上的增減性 單調(diào)遞增 單調(diào)遞增 單調(diào)遞增 增長(zhǎng)速度 越來(lái)越

4、快 越來(lái)越慢 因n而異 圖像的變化 隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行 隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行 隨n值變化而各有不同 值的比較 存在一個(gè)x0，當(dāng)x＞x0時(shí)，有l(wèi)ogax＜xn＜ax 3.解函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的步驟(四步八字) (1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型； (2)建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型； (3)解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論； (4)還原：將數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題． 以上過(guò)程用框圖2-9-1表示如下： 圖2-9-1 [知識(shí)拓展]　“對(duì)勾”函數(shù) 形如f

5、(x)＝x＋(a＞0)的函數(shù)模型稱為“對(duì)勾”函數(shù)模型： (1)該函數(shù)在(－∞，－]和[，＋∞)上單調(diào)遞增，在[－，0)和(0，]上單調(diào)遞減． (2)當(dāng)x＞0時(shí)，x＝時(shí)取最小值2， 當(dāng)x＜0時(shí)，x＝－時(shí)取最大值－2. [基本能力自測(cè)] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)函數(shù)y＝2x的函數(shù)值比y＝x2的函數(shù)值大．(　　) (2)冪函數(shù)增長(zhǎng)比直線增長(zhǎng)更快．(　　) (3)不存在x0，使a＜x＜logax0.(　　) (4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，當(dāng)x∈(4，＋∞)時(shí)，恒有h(x)＜f(x)＜g(x)．(　　)

6、 [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改編)已知某種動(dòng)物繁殖量y(只)與時(shí)間x(年)的關(guān)系為y＝alog3(x＋1)，設(shè)這種動(dòng)物第2年有100只，到第8年它們發(fā)展到(　　) A．100只　　　　　　 B．200只 C．300只 D．400只 B　[由題意知100＝alog3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1)，當(dāng)x＝8時(shí)，y＝100log3 9＝200.] 3．某商品價(jià)格前兩年每年遞增20%，后兩年每年遞減20%，則四年后的價(jià)格與原來(lái)價(jià)格比較，變化的情況是(　　) A．減少7.84%　　　 B．增加7.84% C．減少9.5% D．不

7、增不減 A　[設(shè)某商品原來(lái)價(jià)格為a，依題意得： a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝a×1.22×0.82＝0.921 6a， (0.921 6－1)a＝－0.078 4a， 所以四年后的價(jià)格與原來(lái)價(jià)格比較，減少7.84%.] 4．若一根蠟燭長(zhǎng)20 cm，點(diǎn)燃后每小時(shí)燃燒5 cm，則燃燒剩下的高度h(cm)與燃燒時(shí)間t(h)的函數(shù)關(guān)系用圖像表示為(　　) B　[由題意h＝20－5t(0≤t≤4)，其圖像為B．] 5．某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加．第一年的增長(zhǎng)率為p，第二年的增長(zhǎng)率為q，則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長(zhǎng)率為________． －1　[設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x，則(1

8、＋x)2＝(1＋p)·(1＋q)， 所以x＝－1.] (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第30頁(yè)) 用函數(shù)圖像刻畫變化過(guò)程 　(1)某工廠6年來(lái)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的情況是：前3年年產(chǎn)量的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，后3年年產(chǎn)量保持不變，則該廠6年來(lái)這種產(chǎn)品的總產(chǎn)量C與時(shí)間t(年)的函數(shù)關(guān)系圖像正確的是(　　) (2)如圖2-9-2所示的四個(gè)容器高度都相同，將水從容器頂部一個(gè)孔中以相同的速度注入其中，注滿為止．用容器下面所對(duì)的圖像表示該容器中水面的高度h和時(shí)間t之間的關(guān)系，其中正確的有(　　) 圖2-9-2 A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) (1)A　(2)C　[(1)前3年

9、年產(chǎn)量的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，說(shuō)明呈高速增長(zhǎng)，只有A、C圖像符合要求，而后3年年產(chǎn)量保持不變，產(chǎn)品的總產(chǎn)量應(yīng)呈直線上升，故選A． (2)將水從容器頂部一個(gè)孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和時(shí)間t之間的關(guān)系可以從高度隨時(shí)間的增長(zhǎng)速度上反映出來(lái)，(1)中的增長(zhǎng)應(yīng)該是勻速的，故下面的圖像不正確；(2)中的增長(zhǎng)速度是越來(lái)越慢的，正確；(3)中的增長(zhǎng)速度是先快后慢再快，正確；(4)中的增長(zhǎng)速度是先慢后快再慢，也正確，故(2)(3)(4)正確．選C．] [規(guī)律方法]　判斷函數(shù)圖像與實(shí)際問(wèn)題中兩變量變化過(guò)程相吻合的兩種方法 (1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，先建立函數(shù)模型，再結(jié)

10、合模型選圖像. (2)驗(yàn)證法：當(dāng)根據(jù)題意不易建立函數(shù)模型時(shí)，則根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中兩變量的變化特點(diǎn)，結(jié)合圖像的變化趨勢(shì)，驗(yàn)證是否吻合，從中排除不符合實(shí)際的情況，選擇出符合實(shí)際情況的答案. [跟蹤訓(xùn)練]　設(shè)甲、乙兩地的距離為a(a>0)，小王騎自行車以勻速?gòu)募椎氐揭业赜昧?0分鐘，在乙地休息10分鐘后，他又以勻速?gòu)囊业胤祷氐郊椎赜昧?0分鐘，則小王從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過(guò)的路程y和其所用的時(shí)間x的函數(shù)圖像為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140066】 D　[y為“小王從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過(guò)的路程”而不是位移，故排除A，C．又因?yàn)樾⊥踉谝业匦菹?0分鐘，故排除B，故選D．] 應(yīng)用所給函數(shù)

11、模型解決實(shí)際問(wèn)題 　(1)某航空公司規(guī)定，乘飛機(jī)所攜帶行李的重量(kg)與其運(yùn)費(fèi)(元)由如圖2-9-3所示的一次函數(shù)圖像確定，那么乘客可免費(fèi)攜帶行李的重量最大為________ kg. 圖2-9-3 (2)一個(gè)容器裝有細(xì)沙a cm3，細(xì)沙從容器底下一個(gè)細(xì)微的小孔慢慢地勻速漏出，t min后剩余的細(xì)沙量為y＝ae－b t(cm3)，經(jīng)過(guò)8 min后發(fā)現(xiàn)容器內(nèi)還有一半的沙子，則再經(jīng)過(guò)________ min，容器中的沙子只有開始時(shí)的八分之一． (1)19　(2)16　[(1)由圖像可求得一次函數(shù)的解析式為y＝30x－570，令30x－570＝0，解得x＝19. (2)當(dāng)t＝0時(shí)，

12、y＝a，當(dāng)t＝8時(shí)，y＝ae－8b＝a， 所以e－8b＝，容器中的沙子只有開始時(shí)的八分之一時(shí)，即y＝ae－b t＝a， e－b t＝＝(e－8 b)3＝e－24b，則t＝24，所以再經(jīng)過(guò)16 min.] [規(guī)律方法]　求解所給函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)注點(diǎn) (1)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù). (2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù). (3)利用該模型求解實(shí)際問(wèn)題. 易錯(cuò)警示：解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)要注意自變量的取值范圍. [跟蹤訓(xùn)練]　(20xx·西城區(qū)二模)某市家庭煤氣的使用量x(m3)和煤氣費(fèi)f(x)(元)滿足關(guān)系f(x)＝已知某家庭前三個(gè)月的煤氣費(fèi)如下表：

13、 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140067】 月份 用氣量 煤氣費(fèi) 一月份 4 m3 4元 二月份 25 m3 14元 三月份 35 m3 19元 若四月份該家庭使用了20 m3的煤氣，則其煤氣費(fèi)為(　　) A．11.5元 B．11元 C．10.5元 D．10元 A　[根據(jù)題意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝，C＝4，所以f(x)＝所以f(20)＝4＋(20－5)＝11.5，故選A．] 構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題 　(20xx·山西孝義模考)為了迎接世博會(huì)，某旅游區(qū)提倡低碳生活，

14、在景區(qū)提供自行車出租．該景區(qū)有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費(fèi)用是每日115元．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，若每輛自行車的日租金不超過(guò)6元，則自行車可以全部租出；若超過(guò)6元，則每超出1元，租不出的自行車就增加3輛．為了便于結(jié)算，每輛自行車的日租金x(元)只取整數(shù)，并且要求出租自行車一日的總收入必須高于這一日的管理費(fèi)用，用y(元)表示出租自行車的日凈收入(即一日中出租自行車的總收入減去管理費(fèi)用后的所得)． (1)求函數(shù)y＝f(x)的解析式及其定義域； (2)試問(wèn)當(dāng)每輛自行車的日租金定為多少元時(shí)，才能使一日的凈收入最多？ [解]　(1)當(dāng)x≤6時(shí)，y＝50x－115. 令50x－115＞0，解

15、得x＞2.3. ∵x∈N＋，∴3≤x≤6，x∈N＋. 當(dāng)x＞6時(shí)，y＝[50－3(x－6)]x－115. 令[50－3(x－6)]x－115＞0，有3x2－68x＋115＜0. 又x∈N＋，∴6＜x≤20(x∈N＋)， 故y＝ (2)對(duì)于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈N＋)，顯然當(dāng)x＝6時(shí)，ymax＝185. 對(duì)于y＝－3x2＋68x－115＝－3＋(6＜x≤20，x∈N＋)， 當(dāng)x＝11時(shí)，ymax＝270.又∵270＞185， ∴當(dāng)每輛自行車的日租金定為11元時(shí)，才能使一日的凈收入最多． [規(guī)律方法]　構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的常見類型與求解方法 (1)構(gòu)建二次

16、函數(shù)模型，常用配方法、數(shù)形結(jié)合、分類討論思想求解. (2)構(gòu)建分段函數(shù)模型，應(yīng)用分段函數(shù)分段求解的方法. (3)構(gòu)建f(x)＝x＋(a＞0)模型，常用基本不等式、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)求解. 易錯(cuò)警示：求解過(guò)程中不要忽視實(shí)際問(wèn)題是對(duì)自變量的限制. [跟蹤訓(xùn)練]　(20xx·四川高考)某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入，若該公司全年投入研發(fā)資金130萬(wàn)元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過(guò)200萬(wàn)元的年份是(參考數(shù)據(jù)：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)(　　) A． B． C． D．2021年 B　[設(shè)后的第n年該公司投入的研發(fā)資金開始超過(guò)200萬(wàn)元．由130(1＋12%)n>200，得1.12n>，兩邊取常用對(duì)數(shù)，得n>≈＝，∴n≥4，∴從開始，該公司投入的研發(fā)資金開始超過(guò)200萬(wàn)元．]