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考點規(guī)范練8 對數與對數函數
基礎鞏固組
1.已知a=log23+log23,b=log29-log23,c=log32,則a,b,c的大小關系是( )
A.a=b
c C.ab>c
答案B
解析因為a=log23+log23=log233=32log23>1,b=log29-log23=log233=a,c=log32c.
2.已知函數y=loga(x+b)(a,b為常數,其中a>0,且a≠1)的圖象如圖,則下列結論成立的是 ( )
A.a>1,b>1
B.a>1,01
D.00,可得1+b>1,b<1,即00,b=log20.3<0,∴ab<0.
又a+b=lg0.3lg0.2+lg0.3lg2=lg3-1lg2-1+lg3-1lg2=(lg3-1)(2lg2-1)(lg2-1)lg2
而lg2-1<0,2lg2-1<0,lg3-1<0,lg2>0,∴a+b<0.
a+bab=1b+1a=log0.32+log0.30.2=log0.30.40,可解得x<1或x>3.
從而可知函數y=log13(x2-4x+3)的定義域為(-∞,1)∪(3,+∞).
∵函數u=x2-4x+3的圖象的對稱軸為x=2,且開口向上,
∴函數u=x2-4x+3在(-∞,1)上是減函數,在(3,+∞)上是增函數.∵函數y=log13u在(0,+∞)上是減函數,
∴函數y=log13(x2-4x+3)的單調遞減區(qū)間為(3,+∞),單調遞增區(qū)間為(-∞,1).
6.設函數f(x)=lg(x2-x)-lg(x-1),且f(x0)=2,則x0= .
答案100
解析∵x2-x>0,x-1>0,∴x>1,∴f(x)=lg(x2-x)-lg(x-1)=lgx,又∵f(x0)=2,∴x0=100.
7.若函數f(x)=log2(-x2+ax)的圖象過點(1,2),則a= ;函數f(x)的值域為 .
答案5 -∞,log2254
解析因為函數f(x)=log2(-x2+ax)的圖象過點(1,2),所以f(1)=log2(a-1)=2,解得a=5.所以f(x)=log2(-x2+5x)=log2-x-522+254≤log2254.所以函數f(x)的值域為-∞,log2254.
8.函數f(x)=log2xlog24x的最小值為 .此時x的值是 .
答案-12 12
解析f(x)=log2xlog24x=12log2x(2+log2x),
令log2x=t,t∈R,則y=12t(2+t)=12t2+t,當t=-1時,
函數取到最小值為-12,此時x=12.
能力提升組
9.若a=logπe,b=2cos7π3,c=log3sin 17π6,則( )
A.b>a>c B.b>c>a C.a>b>c D.c>a>b
答案A
解析a∈(0,1),b=212=2,c<0,所以b>a>c,選A.
10.(2017課標Ⅰ高考)已知函數f(x)=ln x+ln(2-x),則( )
A.f(x)在(0,2)單調遞增
B.f(x)在(0,2)單調遞減
C.y=f(x)的圖象關于直線x=1對稱
D.y=f(x)的圖象關于點(1,0)對稱
答案C
解析f(x)=lnx+ln(2-x)=ln(-x2+2x),x∈(0,2).當x∈(0,1)時,x增大,-x2+2x增大,ln(-x2+2x)增大,當x∈(1,2)時,x增大,-x2+2x減小,ln(-x2+2x)減小,即f(x)在(0,1)單調遞增,在(1,2)單調遞減,故排除選項A,B;因為f(2-x)=ln(2-x)+ln[2-(2-x)]=ln(2-x)+lnx=f(x),所以y=f(x)的圖象關于直線x=1對稱,故排除選項D.故選C.
11.(2018浙江嵊州高三二模)函數f(x)=lna+bxa-bx(a,b∈R,且ab≠0)的奇偶性( )
A.與a有關,且與b有關 B.與a有關,但與b無關
C.與a無關,但與b有關 D.與a無關,且與b無關
答案D
解析因為f(-x)=lna-bxa+bx=lna+bxa-bx-1=-lna-bxa+bx=-f(x),所以函數的奇偶性與a,b都無關.故選D.
12.若函數f(x)是R上的單調函數,且對任意實數x,都有ff(x)+22x+1=13,則f(log23)=( )
A.1 B.45 C.12 D.0
答案C
解析∵函數f(x)是R上的單調函數,且ff(x)+22x+1=13,∴f(x)+22x+1=t(t為常數),f(x)=t-22x+1.又f(t)=13,
∴t-22t+1=13.令g(x)=x-22x+1,顯然函數g(x)在R上單調遞增,而g(1)=13,∴t=1.∴f(x)=1-22x+1?f(log23)=1-22log23+1=12.故選C.
13.已知函數f(x)=x2+(4a-3)x+3a,x<0,loga(x+1)+1,x≥0(a>0,且a≠1)在R上單調遞減,且關于x的方程|f(x)|=2-x恰有兩個不相等的實數解,則a的取值范圍是( )
A.0,23 B.23,34
C.13,23∪34 D.13,23∪34
答案C
解析由函數f(x)在R上單調遞減,可得00時,解得a<34或a>1.
又∵a∈13,34,∴a∈13,34.
①方程有一負根x0和一零根,則有x00=3a-2=0,解得a=23.此時x0+0=2-4a=-23<0,符合題意.
②方程有一正根x1和一負根x2,
則有x1x2=3a-2<0,解得a<23.
又a∈13,34,所以a∈13,23.
由(1)(2)可知,a的取值范圍為34∪23∪13,23=13,23∪34.
14.(2018溫州高三3月調考)已知2a=3,3b=2,則a,b的大小關系是 ,ab= .
答案a>b 1
解析a=log23>1,b=log32<1,所以a>b,
ab=log23log32=1.
15.已知函數f(x)=|log2x|,正實數m,n滿足m|log2n|.
∵f(x)=|log2x|在區(qū)間[m2,n]上的最大值為2,∴|log2m2|=2,即|log2m|=1,∴m=12(m=2舍去),∴n=2.∴m+n=52.
16.(2018浙江杭師大附中高三5月?？?設函數f(x)的定義域為D,若函數f(x)滿足條件:存在[a,b]?D,使f(x)在[a,b]上的值域是a2,b2,則稱f(x)為“半縮函數”,若函數f(x)=log2(2x+t)為“半縮函數”,則實數t的取值范圍是 .
答案0,14
解析函數f(x)=log2(2x+t)為“半縮函數”,且滿足存在[a,b],使f(x)在[a,b]上的值域是a2,b2,因為f(x)在[a,b]上是增函數,所以有l(wèi)og2(2a+t)=a2,log2(2b+t)=b2,即2a+t=2a2,2b+t=2b2,所以a,b是方程2x-2x2+t=0的兩個根,設m=2x2=2x,則m>0,此時方程為m2-m+t=0,即方程有兩個不相等的實根,且根都大于零,所以(-1)2-4t>0,t>0,解得t的取值范圍00,a≠1).
(1)判斷f(x)的奇偶性并予以證明;
(2)判斷函數的單調性,并予以證明;
(3)當a>1時,求使f(x)>0的x的解集.
解(1)由1+x1-x>0解得函數的定義域為x∈(-1,1).
因為f(-x)=loga1-x1+x=loga1+x1-x-1=-loga1+x1-x=-f(x),所以函數為奇函數.
(2)令t=1+x1-x=-x-1+2x-1=-1+-2x-1,因為t=-1+-2x-1在x∈(-1,1)上為單調增函數,根據復合函數單調性可判斷,
當a>1時,y=logat為增函數,此時f(x)=loga1+x1-x(a>0,a≠1)為增函數;
當00,a≠1)為減函數.
(3)因為a>1,所以1+x1-x>1,解得00的x的解集為(0,1).
18.已知函數f(x)=loga(3-ax).
(1)當x∈[0,2]時,函數f(x)恒有意義,求實數a的取值范圍;
(2)是否存在這樣的實數a,使得函數f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數,并且最大值為1?如果存在,試求出a的值;如果不存在,請說明理由.
解(1)∵a>0且a≠1,設t(x)=3-ax,則t(x)=3-ax為減函數,x∈[0,2]時,t(x)最小值為3-2a,當x∈[0,2],f(x)恒有意義,即x∈[0,2]時,3-ax>0恒成立.∴3-2a>0.∴a<32.
又a>0且a≠1,∴a∈(0,1)∪1,32.
(2)t(x)=3-ax,∵a>0,∴函數t(x)為減函數,
∵f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數,∴y=logat為增函數,
∴a>1,x∈[1,2]時,t(x)最小值為3-2a,f(x)最大值為f(1)=loga(3-a),∴3-2a>0,loga(3-a)=1,即a<32,a=32,
故不存在這樣的實數a,使得函數f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數,并且最大值為1.
（浙江專用）2020版高考數學大一輪復習 第二章 函數 考點規(guī)范練8 對數與對數函數.docx
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