《（江蘇專用）2019高考數(shù)學二輪復習 專題二 立體幾何學案 理.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（江蘇專用）2019高考數(shù)學二輪復習 專題二 立體幾何學案 理.doc（14頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

專題二 立體幾何 高考定位　高考對本內容的考查主要有：(1)空間概念、空間想象能力、點線面位置關系判斷、表面積與體積計算等，A級要求；(2)線線、線面、面面平行與垂直的證明，B級要求. 真 題 感 悟 1.(2018江蘇卷)如圖所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為________. 解析　正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體是正八面體，其中正八面體的所有棱長都是，則該正八面體的體積為()212＝. 答案　 2.(2018江蘇卷)在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1. 求證：(1)AB∥平面A1B1C； (2)平面ABB1A1⊥平面A1BC. 證明　(1)在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AB∥A1B1. 因為AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C， 所以AB∥平面A1B1C. (2)在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，四邊形ABB1A1為平行四邊形. 又因為AA1＝AB， 所以四邊形ABB1A1為菱形， 因此AB1⊥A1B. 又因為AB1⊥B1C1，BC∥B1C1， 所以AB1⊥BC. 又因為A1B∩BC＝B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC， 所以AB1⊥平面A1BC. 因為AB1平面ABB1A1， 所以平面ABB1A1⊥平面A1BC. 3.(2017江蘇卷)如圖，在三棱錐A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD. 求證：(1)EF∥平面ABC； (2)AD⊥AC. 證明　(1)在平面ABD內，因為AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB. 又因為EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF∥平面ABC. (2)因為平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因為AD平面ABD， 所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB平面ABC，BC平面ABC， 所以AD⊥平面ABC，又因為AC平面ABC，所以AD⊥AC. 4.(2016江蘇卷)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點，點F在側棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1. 求證：(1)直線DE∥平面A1C1F； (2)平面B1DE⊥平面A1C1F. 證明　(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC. 在△ABC中，因為D，E分別為AB，BC的中點，所以DE∥AC，于是DE∥A1C1. 又DE平面A1C1F，A1C1平面A1C1F，所以直線DE∥平面A1C1F. (2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1. 因為A1C1平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1. 又A1C1⊥A1B1，A1A平面ABB1A1，A1B1平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1， 所以A1C1⊥平面ABB1A1.因為B1D平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D. 又B1D⊥A1F，A1C1平面A1C1F，A1F平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1， 所以B1D⊥平面A1C1F.因為直線B1D平面B1DE， 所以平面B1DE⊥平面A1C1F. 考 點 整 合 1.四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方體、平行六面體、直平行六面體、長方體之間的關系. 2.空間幾何體的兩組常用公式 (1)直棱柱、正棱錐、正棱臺的側面積公式： ①S柱側＝ch(c為底面周長，h為高)； ②S錐側＝ch′(c為底面周長，h′為斜高)； ③S臺側＝(c＋c′)h′(c′，c分別為上下底面的周長，h′為斜高)； ④S球表＝4πR2(R為球的半徑). (2)柱體、錐體和球的體積公式： ①V柱體＝Sh(S為底面面積，h為高)； ②V錐體＝Sh(S為底面面積，h為高)； ③V球＝πR3. 3.直線、平面平行的判定及其性質 (1)線面平行的判定定理：aα，bα，a∥ba∥α. (2)線面平行的性質定理：a∥α，aβ，α∩β＝ba∥b. (3)面面平行的判定定理：aβ，bβ，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β. (4)面面平行的性質定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝ba∥b. 4.直線、平面垂直的判定及其性質 (1)線面垂直的判定定理：mα，nα，m∩n＝P，l⊥m，l⊥nl⊥α. (2)線面垂直的性質定理：a⊥α，b⊥αa∥b. (3)面面垂直的判定定理：aβ，a⊥αα⊥β. (4)面面垂直的性質定理：α⊥β，α∩β＝l，aα，a⊥la⊥β. 熱點一　空間幾何體的有關計算 【例1】 (1)(2017江蘇卷)如圖，在圓柱O1O2內有一個球O，該球與圓柱的上、下面及母線均相切.記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是________. (2)(2018徐州、連云港、宿遷三檢)在三棱柱ABC－A1B1C1中，側棱AA1⊥平面AB1C1，AA1＝1，底面三角形ABC是邊長為2的正三角形，則此三棱柱的體積為________. (3)(2017南通模擬)設一個正方體與底面邊長為2，側棱長為的正四棱錐的體積相等，則該正方體的棱長為________. 解析　(1)設球半徑為R，則圓柱底面圓半徑為R，母線長為2R.又V1＝πR22R＝2πR3，V2＝πR3，所以＝＝. (2)因為AA1⊥平面AB1C1，AB1平面AB1C1，所以AA1⊥AB1，又知AA1＝1，A1B1＝2，所以AB1＝＝，同理可得AC1＝，又知在△AB1C1中，B1C1＝2，所以△AB1C1的邊B1C1上的高為h＝＝，其面積S△AB1C1＝2＝，于是三棱錐A－A1B1C1的體積V三棱錐A－A1B1C1＝V三棱錐A1－AB1C1＝S△AB1C1AA1＝，進而可得此三棱柱ABC－A1B1C1的體積V＝3V三棱錐A－A1B1C1＝3＝. (3)由題意可得正四棱錐的高為2，體積為(2)22＝8，則正方體的體積為8，所以棱長為2. 答案　(1)　(2)　(3)2 探究提高　(1)涉及柱、錐及其簡單組合體的計算問題，要在正確理解概念的基礎上，畫出符合題意的圖形或輔助線(面)，再分析幾何體的結構特征，從而進行解題. (2)求三棱錐的體積，等體積轉化是常用的方法，轉換原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上. (3)若所給的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉換法、分割法、補形法等方法求解. 【訓練1】 (1)(2014江蘇卷)設甲、乙兩個圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2.若它們的側面積相等，且＝，則的值是________. (2)(2012江蘇卷)如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，則四棱錐A －BB1D1D的體積為________cm3. (3)(2018蘇州調研)將半徑為5的圓分割成面積之比為1∶2∶3的三個扇形作為三個圓錐的側面，設這三個圓錐的底面半徑依次為r1，r2，r3，則r1＋r2＋r3＝________. 解析　(1)設兩個圓柱的底面半徑和高分別為r1，r2和h1，h2，由＝，得＝，則＝.由圓柱的側面積相等，得2πr1h1＝2πr2h2，即r1h1＝r2h2，則＝，所以＝＝. (2)關鍵是求出四棱錐A －BB1D1D的高，連接AC交BD于O(圖略)，在長方體中， ∵AB＝AD＝3，∴BD＝3且AC⊥BD.又∵BB1⊥底面ABCD，∴BB1⊥AC. 又DB∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D1D， ∴AO為四棱錐A －BB1D1D的高且AO＝BD＝. ∵S矩形BB1D1D＝BDBB1＝32＝6， ∴VA －BB1D1D＝S矩形BB1D1DAO＝6＝6(cm3). (3)由題意可得三個扇形的弧長分別為，，5π，分別等于三個圓錐底面圓的周長，由l＝2πr，則r1＝，r2＝，r3＝，所以r1＋r2＋r3＝＋＋＝5. 答案　(1)　(2)6　(3)5 熱點二　空間中的平行和垂直的判斷與證明 [考法1]　空間線面位置關系的判斷 【例2－1】 (1)(2017南京、鹽城模擬)設α，β為兩個不同的平面，m，n為兩條不同的直線，下列命題中正確的是________(填上所有正確命題的序號). ①若α∥β，mα，則m∥β； ②若m∥α，nα，則m∥n； ③若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，則m⊥β； ④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，則m⊥β. (2)(2018鎮(zhèn)江期末)設b，c表示兩條直線，α，β表示兩個平面，現(xiàn)給出下列命題： ①若bα，c∥α，則b∥c；②若bα，b∥c，則c∥α；③若c∥α，α⊥β，則c⊥β；④若cα，c⊥β，則α⊥β. 其中正確的命題是________(寫出所有正確命題的序號). 解析　(1)由面面平行的性質可得①正確；若m∥α，nα，則m，n平行或異面，②錯誤；由面面垂直的性質定理可知③中缺少條件“mα”，③錯誤；若n⊥α，n⊥β，則α∥β，又m⊥α，則m⊥β，④正確.綜上，命題正確的是①④. (2)①b和c可能異面，故①錯；②可能cα，故②錯；③可能c∥β，cβ，故③錯；④根據(jù)面面垂直判定定理判定α⊥β，故④正確. 答案　(1)①④　(2)④ 探究提高　長方體(或正方體)是一類特殊的幾何體，其中蘊含著豐富的空間位置關系.因此，對于某些研究空間直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的平行、垂直關系問題，常構造長方體(或正方體)，把點、線、面的位置關系轉移到長方體(或正方體)中，對各條件進行檢驗或推理，根據(jù)條件在某一特殊情況下不真，則它在一般情況下也不真的原理，判斷條件的真?zhèn)?，可使此類問題迅速獲解. [考法2]　平行、垂直關系的證明 【例2－2】 (2015江蘇卷)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.設AB1的中點為D，B1C∩BC1＝E. 求證：(1)DE∥平面AA1C1C； (2)BC1⊥AB1. 證明　(1)由題意知，E為B1C的中點，又D為AB1的中點，因此DE∥AC. 又因為DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C. (2)因為棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC. 因為AC平面ABC，所以AC⊥CC1. 又因為AC⊥BC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BC∩CC1＝C， 所以AC⊥平面BCC1B1.又因為BC1平面BCC1B1，所以BC1⊥AC. 因為BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C. 因為AC，B1C平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC. 又因為AB1平面B1AC，所以BC1⊥AB1. 【例2－3】 (2018全國Ⅱ卷)如圖，在三棱錐P－ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O為AC的中點. (1)證明：PO⊥平面ABC； (2)若點M在棱BC上，且MC＝2MB，求點C到平面POM的距離. (1)證明　因為AP＝CP＝AC＝4，O為AC的中點，所以OP⊥AC，且OP＝2. 連接OB.因為AB＝BC＝AC，所以△ABC為等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知，OP⊥OB. 由OP⊥OB，OP⊥AC且OB∩AC＝O，OB，AC平面ABC，知PO⊥平面ABC. (2)解　作CH⊥OM，垂足為H. 又由(1)可得OP⊥CH，OM∩OP＝O，OM，OP平面POM， 所以CH⊥平面POM.故CH的長為點C到平面POM的距離. 由題設可知OC＝AC＝2，CM＝BC＝，∠ACB＝45. 所以OM＝＝， 又由OMCH＝OCMCsin∠ACB，CH＝＝. 所以點C到平面POM的距離為. 探究提高　垂直、平行關系證明中應用轉化與化歸思想的常見類型. (1)證明線面、面面平行，需轉化為證明線線平行. (2)證明線面垂直，需轉化為證明線線垂直. (3)證明線線垂直，需轉化為證明線面垂直. (4)證明面面垂直，需轉化為證明線面垂直，進而轉化為證明線線垂直. 【訓練2】 (2017蘇、錫、常、鎮(zhèn)調研)如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F(xiàn)，G，M，N分別為PB，AB，BC，PD，PC的中點. 求證：(1)CE∥平面PAD； (2)平面EFG⊥平面EMN. 證明　(1)法一　如圖1，取PA的中點H，連接EH，DH. 圖1 又因為E為PB的中點，所以EH∥AB，且EH＝AB.又AB∥CD，CD＝AB， 所以EH∥CD，且EH＝CD.所以四邊形DCEH是平行四邊形.所以CE∥DH. 又DH平面PAD，CE平面PAD，因此，CE∥平面PAD. 圖2 法二　如圖2，連接CF.因為F為AB的中點，所以AF＝AB. 又CD＝AB，所以AF＝CD，又AF∥CD， 所以四邊形AFCD為平行四邊形.因此CF∥AD. 又CF平面PAD，AD平面PAD，所以CF∥平面PAD. 因為E，F(xiàn)分別為PB，AB的中點，所以EF∥PA. 又EF平面PAD，PA平面PAD，所以EF∥平面PAD. 因為CF∩EF＝F，CF平面CEF，EF平面CEF， 故平面CEF∥平面PAD.又CE平面CEF，所以CE∥平面PAD. (2)因為E，F(xiàn)分別為PB，AB的中點，所以EF∥PA. 又AB⊥PA，所以AB⊥EF.同理可證AB⊥FG. 又EF∩FG＝F，EF平面EFG，F(xiàn)G平面EFG， 因此AB⊥平面EFG.又M，N分別為PD，PC的中點， 所以MN∥DC，又AB∥DC，所以MN∥AB， 所以MN⊥平面EFG.又MN平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN. 1.求解幾何體的表面積或體積 (1)對于規(guī)則幾何體，可直接利用公式計算. (2)對于不規(guī)則幾何體，可采用割補法求解；對于某些三棱錐，有時可采用等體積轉換法求解. (3)求解旋轉體的表面積和體積時，注意圓柱的軸截面是矩形，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺的軸截面是等腰梯形的應用. (4)求解幾何體的表面積時要注意S表＝S側＋S底. 2.錐體體積公式為V＝Sh，在求解錐體體積中，不能漏掉. 3.空間中點、線、面的位置關系的判定 (1)可以從線、面的概念、定理出發(fā)，學會找特例、反例. (2)可以借助長方體，在理解空間點、線、面位置關系的基礎上，抽象出空間線、面的位置關系的定義. 4.垂直、平行關系的基礎是線線垂直和線線平行，常用方法如下： (1)證明線線平行常用的方法：一是利用平行公理，即證兩直線同時和第三條直線平行；二是利用平行四邊形進行平行轉換：三是利用三角形的中位線定理證線線平行；四是利用線面平行、面面平行的性質定理進行平行轉換. (2)證明線線垂直常用的方法：①利用等腰三角形底邊中線即高線的性質；②勾股定理；③線面垂直的性質：即要證兩線垂直，只需證明一線垂直于另一線所在的平面即可，l⊥α，aαl⊥a.  一、填空題 1.(2015江蘇卷)現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5、高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個.若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個，則新的底面半徑為________. 解析　設新的底面半徑為r，由題意得πr24＋πr28＝π524＋π228，解得r＝. 答案　 2.(2017蘇北四市調研)已知圓錐的母線長為10 cm，側面積為60π cm2，則此圓錐的體積為________cm3. 解析　設圓錐底面圓的半徑為r，母線為l，則側面積πrl＝10πr＝60π，解得r＝6，則高h＝＝8，則此圓錐的體積為πr2h＝π368＝96π. 答案　96π 3.(2018南京、鹽城、徐州二模)已知平面α，β，直線m，n，給出下列命題： ①若m∥α，n∥β，m⊥n，則α⊥β；②若α∥β，m∥α，n∥β，則m∥n；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β；④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，則m⊥n. 其中是真命題的是________(填序號). 解析　如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，CD∥平面ABC1D1，BC∥平面ADC1B1，且BC⊥CD，又因為平面ABC1D1與平面ADC1B1不垂直，故①不正確；因為平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且B1C1∥平面ABCD，AB∥平面A1B1C1D1，但AB與B1C1不平行，故②不正確.同理，我們以正方體的模型來觀察，可得③④正確. 答案　③④ 4.已知圓錐的側面展開圖是一個圓心角為120且面積為3π的扇形，則該圓錐的體積等于________. 解析　設圓錐的母線長為l，底面圓半徑為r，則側面展開圖扇形的面積為l2＝3π，l＝3，弧長為2πr＝l＝2π，故r＝1，則該圓錐的高為h＝＝2，體積為πr2h＝. 答案　 5.(2018蘇、錫、常、鎮(zhèn)調研)在邊長為4的正方形ABCD內剪去四個全等的等腰三角形(如圖1中陰影部分)，折疊成底面邊長為的正四棱錐S－EFGH(如圖2)，則正四棱錐S－EFGH的體積為________. 解析　連接EG，HF，交點為O，正方形EFGH的對角線EG＝2，EO＝1，則點E到線段AB的距離為1，EB＝＝，SO＝＝＝2，故正四棱錐S－EFGH的體積為()22＝. 答案　 6.(2018天津卷)如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，則四棱錐A1－BB1D1D的體積為________. 解析　法一　連接A1C1交B1D1于點E，則A1E⊥B1D1，A1E⊥BB1， 則A1E⊥平面BB1D1D，所以A1E為四棱錐A1－BB1D1D的高，且A1E＝，矩形BB1D1D的長和寬分別為，1，故VA1－BB1D1D＝1＝. 法二　連接BD1，則四棱錐A1－BB1D1D分成兩個三棱錐B－A1DD1與B－A1B1D1，VA1－BB1D1D＝VB－A1DD1＋VB－A1B1D1＝111＋111＝. 答案　 7.設棱長為a的正方體的體積和表面積分別為V1，S1，底面半徑和高均為r的圓錐的體積和側面積分別為V2，S2，若＝，則的值為________. 解析　棱長為a的正方體的體積V1＝a3，表面積S1＝6a2，底面半徑和高均為r的圓錐的體積V2＝πr3，側面積S2＝πr2，則＝＝，則a＝r， 所以＝＝. 答案　 8.如圖，在圓錐VO中，O為底面圓心，半徑OA⊥OB，且OA＝VO＝1，則O到平面VAB的距離為________. 解析　由題意可得三棱錐V－AOB的體積為V三棱錐V－AOB＝S△AOBVO＝.△VAB是邊長為的等邊三角形，其面積為()2＝，設點O到平面VAB的距離為h，則V三棱錐O－VAB＝S△VABh＝h＝V三棱錐V－AOB＝，解得h＝，即點O到平面VAB的距離是. 答案　 二、解答題 9.(2014江蘇卷)如圖，在三棱錐P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點.已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5. 求證：(1)直線PA∥平面DEF； (2)平面BDE⊥平面ABC. 證明　(1)因為D，E分別為棱PC，AC的中點，所以DE∥PA. 又因為PA平面DEF，DE平面DEF，所以直線PA∥平面DEF. (2)因為D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4.又因為DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2， 所以∠DEF＝90，即DE⊥EF.又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC. 因為AC∩EF＝E，AC平面ABC，EF平面ABC， 所以DE⊥平面ABC.又DE平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC. 10.如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60，PA＝AB＝BC，E是PC的中點. (1)求證：CD⊥AE； (2)求證：PD⊥平面ABE. 證明　(1)在四棱錐P－ABCD中，因為PA⊥底面ABCD， CD平面ABCD，故PA⊥CD.因為AC⊥CD，PA∩AC＝A， PA平面PAC，AC平面PAC，所以CD⊥平面PAC. 而AE平面PAC，所以CD⊥AE. (2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60，可得AC＝PA. 因為E是PC的中點，所以AE⊥PC. 由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD平面PCD， 所以AE⊥平面PCD.而PD平面PCD，所以AE⊥PD. 因為PA⊥平面ABCD，AB平面ABCD，所以PA⊥AB. 又因為AB⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD平面PAD， 所以AB⊥平面PAD，又PD平面PAD，所以AB⊥PD. 又因為AB∩AE＝A，AB平面ABE，AE平面ABE， 所以PD⊥平面ABE. 11.如圖，在四棱錐PABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分別是CD和PC的中點.求證： (1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD. 證明　(1)因為平面PAD∩平面ABCD＝AD. 又平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥AD，PA平面PAD，所以PA⊥底面ABCD. (2)因為AB∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點，所以AB∥DE，且AB＝DE. 所以ABED為平行四邊形.所以BE∥AD.又因為BE平面PAD，AD平面PAD， 所以BE∥平面PAD. (3)因為AB⊥AD，且四邊形ABED為平行四邊形.所以BE⊥CD，AD⊥CD. 由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.又因為PA∩AD＝A，PA，AD平面PAD， 所以CD⊥平面PAD，從而CD⊥PD，且CD平面PCD， 又E，F(xiàn)分別是CD和CP的中點，所以EF∥PD，故CD⊥EF. 由EF，BE在平面BEF內，且EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF. 又CD平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.