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考點規(guī)范練13　萬有引力定律及其應(yīng)用 一、單項選擇題 1.關(guān)于行星運動定律和萬有引力定律的建立過程,下列說法正確的是(　　) A.第谷通過整理大量的天文觀測數(shù)據(jù)得到行星運動規(guī)律 B.開普勒指出,地球繞太陽運動是因為受到來自太陽的引力 C.牛頓通過比較月球公轉(zhuǎn)的向心加速度和地球赤道上物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度,對萬有引力定律進(jìn)行了“月地檢驗” D.卡文迪許在實驗室里通過幾個鉛球之間萬有引力的測量,得出了引力常量的數(shù)值 答案D 解析開普勒對天體的運行做了多年的研究,最終得出了行星運行三大定律,故A錯誤;牛頓認(rèn)為行星繞太陽運動是因為受到太陽的引力作用,引力大小與行星到太陽的距離的二次方成反比,故B錯誤;牛頓通過比較月球公轉(zhuǎn)的周期,根據(jù)萬有引力充當(dāng)向心力,對萬有引力定律進(jìn)行了“月地檢驗”,故C錯誤;牛頓發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律之后,第一次通過實驗準(zhǔn)確地測出萬有引力常量的科學(xué)家是卡文迪許,故D正確。 2.靜止在地面上的物體隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運動,下列說法正確的是(　　) A.物體受到的萬有引力和支持力的合力總是指向地心 B.物體做勻速圓周運動的周期與地球自轉(zhuǎn)周期相等 C.物體做勻速圓周運動的加速度等于重力加速度 D.物體對地面壓力的方向與萬有引力的方向總是相同 答案B 解析物體受到的萬有引力和支持力的合力提供物體隨地球運動的向心力,指向物體隨地球做圓周運動的軌道的圓心,不一定是地心,所以A錯;物體隨地球自轉(zhuǎn),所以周期一定等于地球自轉(zhuǎn)周期,B對;圓周運動的加速度和重力加速度只有在赤道上時方向相同,所以C錯;物體受到的萬有引力和物體對地面的壓力只有在南北極和赤道上方向相同,所以D錯。 3.嫦娥三號攜帶玉兔號月球車首次實現(xiàn)月球軟著陸和月面巡視勘察,并開展月表形貌與地質(zhì)構(gòu)造調(diào)查等科學(xué)探測。玉兔號在地球表面的重力為G1,在月球表面的重力為G2;地球與月球均視為球體,其半徑分別為R1、R2;地球表面重力加速度為g。則(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.月球表面的重力加速度為G1gG2 B.地球與月球的質(zhì)量之比為G2R22G1R12 C.月球與地球的第一宇宙速度之比為G1R1G2R2 D.嫦娥三號環(huán)繞月球表面做勻速圓周運動的周期為2πG1R2G2g 答案D 解析玉兔號的質(zhì)量為m=G1g,所以月球表面的重力加速度為g=G2m=gG2G1,A錯誤;根據(jù)黃金代換公式GM=gR2,可得M地M月=gR12gR22=G1R12G2R22,B錯誤;第一宇宙速度v=gR,所以在月球上與地球上的第一宇宙速度之比為v2v1=G2R2G1R1,C錯誤;根據(jù)萬有引力GMmr2=m4π2T2r,嫦娥三號環(huán)繞月球表面做勻速圓周運動,所以軌道半徑等于月球半徑R2,代入得T=2πG1R2G2g,D正確。 4.若在某行星和地球上相對于各自的水平地面附近相同的高度處、以相同的速率平拋一物體,它們在水平方向運動的距離之比為2∶7。已知該行星質(zhì)量約為地球的7倍,地球的半徑為R。由此可知,該行星的半徑約為(　　) A.12R B.72R C.2R D.72R 答案C 解析平拋運動在水平方向上做勻速直線運動,即x=v0t,在豎直方向上做自由落體運動,即h=12gt2,所以x=v02hg,兩種情況下,拋出的速率相同,高度相同,所以g行g(shù)地=74,根據(jù)公式GMmR2=mg可得g=GMR2,故g行g(shù)地=M行R行2M地R地2=74,解得R行=2R,故C正確。 5.過去幾千年來,人類對行星的認(rèn)識與研究僅限于太陽系內(nèi),行星“51 peg b”的發(fā)現(xiàn)拉開了研究太陽系外行星的序幕?！?1 peg b”繞其中心恒星做勻速圓周運動,周期約為4天,軌道半徑約為地球繞太陽運動半徑的120。則該中心恒星與太陽的質(zhì)量比約為 (　　) A.110 B.1 C.5 D.10 答案B 解析行星繞中心恒星做勻速圓周運動,萬有引力提供向心力,由萬有引力提供向心力得GMmr2=m4π2T2r,則M1M2=r1r23T2T12=120336542≈1,選項B正確。 6.(2018河南洛陽期中)理論上認(rèn)為質(zhì)量分布均勻的球殼對球殼內(nèi)的物體的萬有引力為零,如圖所示,一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的實心球,O為球心,以O(shè)點為原點建立坐標(biāo)軸Ox。質(zhì)量一定的小物塊(可視為質(zhì)點)沿坐標(biāo)Ox運動,則小物體在坐標(biāo)x1=12R與x2=32R處所受到實心球?qū)λ娜f有引力分別為F1、F2,則F1、F2的比值為(　　) A.9∶8 B.8∶9 C.1∶9 D.9∶1 答案A 解析設(shè)地球的密度為ρ,地球的質(zhì)量為M,則有M=ρ43πR3。 在x1=12R處,小物塊受到的引力為F1=GMmR22,其中M=ρ43πR23,可得F1=GMm2R2;在x2=32R處,小物塊受到的引力為F2=GMm3R22,所以F1∶F2=9∶8,故A正確,B、C、D錯誤。 7.假設(shè)地球可視為質(zhì)量分布均勻的球體,已知地球表面重力加速度在兩極的大小為g0,在赤道的大小為g;地球自轉(zhuǎn)的周期為T,引力常量為G。則地球的密度為(　　) A.3π(g0-g)g0GT2 B.3πg(shù)0GT2(g0-g) C.3πGT2 D.3πg(shù)0gGT2 答案B 解析在地球兩極萬有引力等于重力,即mg0=GMmR2,由此可得地球質(zhì)量M=g0R2G。在赤道處萬有引力與支持力的合力提供向心力,由牛頓第二定律得GMmR2-mg=m4π2T2R,而密度公式ρ=MV,ρ=g0R2G43πR3=3πg(shù)0GT2(g0-g),故B正確。 8.(2018安徽安慶期末)金星是天空中較亮的星,其大小、質(zhì)量、密度都與地球非常接近,其半徑約為地球半徑的0.95,質(zhì)量約為地球質(zhì)量的0.82,而且兩者幾乎都由同一星云同時形成,天文學(xué)家將它們當(dāng)作姐妹行星。金星繞太陽運行的軌道在地球繞太陽運行的軌道以內(nèi)。關(guān)于地球和金星(行星的運動近似看作勻速圓周運動),下列說法正確的是(　　) A.金星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度 B.金星繞太陽公轉(zhuǎn)的周期小于地球繞太陽公轉(zhuǎn)的周期 C.金星做勻速圓周運動的加速度小于地球做勻速圓周運動的加速度 D.金星做勻速圓周運動的線速度小于地球做勻速圓周運動的線速度 答案B 解析由GMmR2=mv2R,得行星的第一宇宙速度表達(dá)式v=GMR,已知金星半徑約為地球半徑的0.95、質(zhì)量約為地球質(zhì)量的0.82,則v1v2=GM1R1GM2R2=M1M2R2R1=0.820.95=0.93,金星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度,故A錯誤;因為金星半徑r金小于地球半徑r地,根據(jù)開普勒第三定律r金3T金2=r地3T地2,可知金星繞太陽公轉(zhuǎn)的周期小于地球繞太陽公轉(zhuǎn)的周期,故B正確;根據(jù)萬有引力定律GM太mr2=ma,可得a=GM太r2,G和太陽質(zhì)量M太均為定值,故r越大向心加速度越小,故金星做勻速圓周運動的加速度大于地球做勻速圓周運動的加速度,故C錯誤;根據(jù)萬有引力定律GM太mr2=mv2r,可得v=GM太r,G和太陽質(zhì)量M太均為定值,故r越大線速度越小,故金星做勻速圓周運動的線速度大于地球做勻速圓周運動的線速度,故D錯誤。 二、多項選擇題 9.(2018河南許昌期末)由多顆星體構(gòu)成的系統(tǒng),叫作多星系統(tǒng)。有這樣一種簡單的四星系統(tǒng):質(zhì)量剛好都相等的四個星體A、B、C、D,A、B、C分別位于等邊三角形的三個頂點上,D位于等邊三角形的中心。在四者相互之間的萬有引力作用下,D靜止不動,A、B、C繞共同的圓心D在等邊三角形所在的平面內(nèi)做相同周期的圓周運動。若四個星體的質(zhì)量均為m,三角形的邊長為a,引力常量為G,則下列說法正確的是(　　) A.A、B、C三個星體做圓周運動的半徑均為32a B.A、B兩個星體之間的萬有引力大小為Gm2a2 C.A、B、C三個星體做圓周運動的向心加速度大小均為(3+3)Gma2 D.A、B、C三個星體做圓周運動的周期均為2πaa(3+3)Gm 答案BC 解析由幾何關(guān)系知,它們的軌道半徑為r=a232=33a,故A錯誤;根據(jù)萬有引力定律可得A、B兩個星體之間的萬有引力大小為F=Gm2a2,故B正確;設(shè)向心加速度為a0,其中一顆星受到其他兩顆星的萬有引力的合力與中間D星給的萬有引力的合力提供向心力,F=Gm2r2+3Gm2a2=ma0,軌道半徑為r=33a,聯(lián)立可得向心加速度大小a0=(3+3)Gma2,故C正確;萬有引力的合力提供向心力,F=Gm2r2+3Gm2a2=m4π2T2r,聯(lián)立可得三個星體做圓周運動的周期T=2πaa3(1+3)Gm,故D錯誤。 10. 如圖所示,兩星球相距為l,質(zhì)量之比為mA∶mB=1∶9,兩星球半徑遠(yuǎn)小于l。沿A、B連線從星球A向B以某一初速度發(fā)射一探測器,只考慮星球A、B對探測器的作用。下列說法正確的是(　　) A.探測器的速度一直減小 B.探測器在距星球A為l4處加速度為零 C.若探測器能到達(dá)星球B,其速度可能恰好為零 D.若探測器能到達(dá)星球B,其速度一定大于發(fā)射時的初速度 答案BD 解析設(shè)探測器距星球A的距離為x時,兩星球?qū)μ綔y器的引力相等,即GmAmx2=GmBm(l-x)2,解得x=14l,根據(jù)牛頓第二定律可得,此時探測器的加速度為零,選項B正確;探測器先減速后加速,故選項A、C錯誤,選項D正確。 11. 經(jīng)長期觀測,人們在宇宙中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了“雙星系統(tǒng)”?！半p星系統(tǒng)”由兩顆相距較近的恒星組成,每個恒星的直徑遠(yuǎn)小于兩個星體之間的距離,而且雙星系統(tǒng)一般遠(yuǎn)離其他天體。如圖所示,兩顆星球組成的雙星,在相互之間的萬有引力作用下,繞連線上的O點做周期相同的勻速圓周運動?，F(xiàn)測得兩顆星之間的距離為l,質(zhì)量之比為m1∶m2=2∶3,下列說法正確的是(　　) A.m1、m2做圓周運動的線速度之比為3∶2 B.m1、m2做圓周運動的角速度之比為3∶2 C.m1做圓周運動的半徑為2l5 D.m2做圓周運動的半徑為2l5 答案AD 解析雙星相互間的萬有引力提供向心力,角速度相等,根據(jù)Gm1m2l2=m1r1ω2,Gm1m2l2=m2r2ω2知,m1r1=m2r2,得r1∶r2=m2∶m1=3∶2,則m1做圓周運動的半徑為35l,m2做圓周運動的半徑為25l,故B、C錯誤,D正確;根據(jù)v=rω知,線速度之比為3∶2,故A正確。 三、計算題 12.宇航員到達(dá)某星球后,試圖通過相關(guān)測量估測該星球的半徑。他在該星球上取得一礦石,測得其質(zhì)量為m0,體積為V0,重力為G0,若所取礦石密度等于該星球的平均密度,引力常量為G,該星球視為球形,請用以上物理量推導(dǎo)該星球半徑的表達(dá)式。球體體積公式為V=43πR3,式中R為球體半徑 答案R=3G0V04πGm02 解析設(shè)礦石的密度為ρ0,由題意易知ρ0=m0V0 該星球表面的重力加速度g=G0m0 在該星球表面,萬有引力等于重力GMm0R2=m0g 該星球的平均密度為ρ=MV,據(jù)題意有ρ=ρ0,V=43πR3 聯(lián)立以上各式解得R=3G0V04πGm02。 13. 如圖所示,P、Q為某地區(qū)水平地面上的兩點,在P點正下方一球形區(qū)域內(nèi)儲藏有石油,假定區(qū)域周圍巖石均勻分布,密度為ρ;石油密度遠(yuǎn)小于ρ,可將上述球形區(qū)域視為空腔。如果沒有這一空腔,則該地區(qū)重力加速度(正常值)沿豎直方向;當(dāng)存在空腔時,該地區(qū)重力加速度的大小和方向會與正常情況有微小偏離。重力加速度在原豎直方向(即PO方向)上的投影相對于正常值的偏離叫作“重力加速度反?！薄榱颂綄な蛥^(qū)域的位置和石油儲量,常會利用到P點附近重力加速度的反?，F(xiàn)象。已知引力常量為G。 (1)設(shè)球形空腔體積為V,球心深度為d(遠(yuǎn)小于地球半徑),PQ=x,求空腔所引起的Q點處的重力加速度反常。 (2)若在水平地面上半徑為l的范圍內(nèi)發(fā)現(xiàn),重力加速度反常值在δ與kδ(k>1)之間變化,且重力加速度的最大值出現(xiàn)在半徑為l的范圍的中心。如果這種反常是由于地下存在某一球形空腔造成的,試求此球形空腔球心的深度和空腔的體積。 答案(1)GρVd(d2+x2)32　(2)lk23-1　l2kδGρ(k23-1) 解析(1)如果將近地表的球形空腔填滿密度為ρ的巖石,則該地區(qū)重力加速度便回到正常值。因此,重力加速度反?？赏ㄟ^填充后的球形區(qū)域產(chǎn)生的附加引力來計算,GMmr2=mΔg ① 式中m是Q點處某質(zhì)點的質(zhì)量,M是填充后球形區(qū)域的質(zhì)量,M=ρV ② 而r是球形空腔中心O至Q點的距離r=d2+x2 ③ Δg在數(shù)值上等于由于存在球形空腔所引起的Q點處重力加速度改變的大小。Q點處重力加速度改變的方向沿OQ方向,重力加速度反常Δg是這一改變在豎直方向上的投影Δg=drΔg ④ 聯(lián)立①②③④式得Δg=GρVd(d2+x2)32。 ⑤ (2)通過分析可知,重力加速度反常Δg的最大值出現(xiàn)在空腔的上方,Δg的最小值出現(xiàn)在半徑為L的圓周上。 由⑤式得,重力加速度反常Δg的最大值和最小值分別為(Δg)max=GρVd2 ⑥ (Δg)min=GρVd(d2+l2)32 ⑦ 又因為(Δg)max=kδ,(Δg)min=δ ⑧ 聯(lián)立⑥⑦⑧式得,地下球形空腔球心的深度和空腔的體積分別為d=lk23-1 V=l2kδGρ(k23-1)。