《（浙江專版）2018年高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.4 生活中的優(yōu)化問題舉例學(xué)案 新人教A版選修2-2.doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專版）2018年高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.4 生活中的優(yōu)化問題舉例學(xué)案 新人教A版選修2-2.doc（20頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1.4
幾何中的最值問題
[典例] 有一塊邊長(zhǎng)為a的正方形鐵板，現(xiàn)從鐵板的四個(gè)角各截去一個(gè)相同的小正方形，做成一個(gè)長(zhǎng)方體形的無蓋容器．為使其容積最大，截下的小正方形邊長(zhǎng)應(yīng)為多少？
[解] 設(shè)截下的小正方形邊長(zhǎng)為x，容器容積為V(x)，則做成的長(zhǎng)方體形無蓋容器底面邊長(zhǎng)為a－2x，高為x，
V(x)＝(a－2x)2x,0
0；
當(dāng)x10，f(x)在區(qū)間(64,640)內(nèi)為增函數(shù)，
所以f(x)在x＝64處取得最小值．
此時(shí)n＝－1＝－1＝9.
故需新建9個(gè)橋墩才能使y最?。?
費(fèi)用、用料最省問題是日常生活中常見的問題之一，解決這類問題要明確自變量的意義以及最值問題所研究的對(duì)象．正確書寫函數(shù)表達(dá)式，準(zhǔn)確求導(dǎo)，結(jié)合實(shí)際做答．
[活學(xué)活用]
某工廠要圍建一個(gè)面積為128 m2的矩形堆料場(chǎng)，一邊可以用原有的墻壁，其它三邊要砌新的墻壁，要使砌墻所用的材料最省，則堆料場(chǎng)的長(zhǎng)、寬應(yīng)分別是多少？
解：設(shè)場(chǎng)地寬為x m，則長(zhǎng)為 m，
因此新墻總長(zhǎng)度為y＝2x＋(x＞0)，
y′＝2－，令y′＝0，∵x>0，∴x＝8.
因?yàn)楫?dāng)0＜x＜8時(shí)，y′＜0；當(dāng)x＞8時(shí)，y′＞0，
所以當(dāng)x＝8時(shí)，y取最小值，此時(shí)寬為8 m，長(zhǎng)為16 m.
即當(dāng)堆料場(chǎng)的長(zhǎng)為16 m，寬為8 m時(shí)，可使砌墻所用材料最省.
利潤(rùn)最大問題
[典例] 某商場(chǎng)銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價(jià)格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)＝＋10(x－6)2.其中3＜x＜6，a為常數(shù)．已知銷售價(jià)格為5元/千克時(shí)，每日可售出該商品11千克．
(1)求a的值；
(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價(jià)格x的值，使商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大．
[解] (1)因?yàn)閤＝5時(shí)，y＝11，
所以＋10＝11，a＝2.
(2)由(1)可知，該商品每日的銷售量y＝＋10(x－6)2，
所以商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)
f(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6.
從而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)(x－6)．
于是，當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x
(3,4)
4
(4,6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
單調(diào)遞增↗
極大值42
單調(diào)遞減↘
由上表可得，x＝4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)．
所以當(dāng)x＝4時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于42.
即當(dāng)銷售價(jià)格為4元/千克時(shí)，商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大．
1．經(jīng)濟(jì)生活中優(yōu)化問題的解法
經(jīng)濟(jì)生活中要分析生產(chǎn)的成本與利潤(rùn)及利潤(rùn)增減的快慢，以產(chǎn)量或單價(jià)為自變量很容易建立函數(shù)關(guān)系，從而可以利用導(dǎo)數(shù)來分析、研究、指導(dǎo)生產(chǎn)活動(dòng)．
2．關(guān)于利潤(rùn)問題常用的兩個(gè)等量關(guān)系
(1)利潤(rùn)＝收入－成本．
(2)利潤(rùn)＝每件產(chǎn)品的利潤(rùn)銷售件數(shù)．
[活學(xué)活用]
工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，次品率p與日產(chǎn)量x(萬件)間的關(guān)系為p＝(c為常數(shù)，且0c時(shí)，p＝，y＝x3－x＝0；
當(dāng)0c時(shí)，日盈利額為0.
當(dāng)00，∴y在區(qū)間(0，c]上單調(diào)遞增，∴y最大值＝f(c)＝.
②當(dāng)3≤c<6時(shí)，在(0,3)上，y′>0，在(3，c)上，y′<0，∴y在(0,3)上單調(diào)遞增，在(3，c)上單調(diào)遞減．
∴y最大值＝f(3)＝.
綜上，若0400時(shí)，P′<0恒成立，易知當(dāng)x＝300時(shí)，總利潤(rùn)最大．
4．設(shè)正三棱柱的體積為V，那么其表面積最小時(shí)，底面邊長(zhǎng)為( )
A. B．2
C. D.V
解析：選C 設(shè)底面邊長(zhǎng)為x，則高為h＝，
∴S表＝3x＋2x2＝＋x2，
∴S表′＝－＋x，
令S表′＝0，得x＝.
經(jīng)檢驗(yàn)知，當(dāng)x＝時(shí)，S表取得最小值．
5．內(nèi)接于半徑為R的球且體積最大的圓錐的高為( )
A．R B．2R
C.R D.R
解析：選C 設(shè)圓錐高為h，底面半徑為r，則R2＝(h－R)2＋r2，∴r2＝2Rh－h(huán)2，∴V＝πr2h＝h(2Rh－h(huán)2)＝πRh2－h(huán)3，V′＝πRh－πh2.令V′＝0得h＝R. 當(dāng)00；當(dāng)0)，
y′＝－x2，由y′＝0，得x＝25，x∈(0,25)時(shí)，
y′>0，x∈(25，＋∞)時(shí)，y′<0，所以x＝25時(shí)，
y取最大值．
答案：25
9．為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬元，設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和．
(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式；
(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值．
解：(1)設(shè)隔熱層厚度為x cm，由題設(shè)，每年能源消耗費(fèi)用為C(x)＝，再由C(0)＝8，得k＝40，
因此C(x)＝.
而建造費(fèi)用為C1(x)＝6x.
最后得隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為
f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20＋6x
＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－，
令f′(x)＝0，即＝6，
解得x＝5，x＝－(舍去)．
當(dāng)00，
故x＝5是f(x)的最小值點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的最小值為
f(5)＝65＋＝70.
當(dāng)隔熱層修建5 cm厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值70萬元．
10．某廠生產(chǎn)某種電子元件，如果生產(chǎn)出一件正品，可獲利200元，如果生產(chǎn)出一件次品，則損失100元．已知該廠制造電子元件過程中，次品率p與日產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系是：p＝(x∈N*)．
(1)寫出該廠的日盈利額T(元)用日產(chǎn)量x(件)表示的函數(shù)關(guān)系式；
(2)為獲最大日盈利，該廠的日產(chǎn)量應(yīng)定為多少件？
解：(1)由題意可知次品率p＝日產(chǎn)次品數(shù)/日產(chǎn)量，每天生產(chǎn)x件，次品數(shù)為xp，正品數(shù)為x(1－p)．
因?yàn)榇纹仿蕄＝，當(dāng)每天生產(chǎn)x件時(shí)，
有x件次品，有x件正品．
所以T＝200x－100x
＝25(x∈N*)．
(2)T′＝－25，
由T′＝0得x＝16或x＝－32(舍去)．
當(dāng)00，當(dāng)R0；當(dāng)20，
故當(dāng)x∈(0,80)時(shí)，函數(shù)h(x)為減函數(shù)，
當(dāng)x∈(80,120)時(shí)，函數(shù)h(x)為增函數(shù)，
∴當(dāng)x＝80時(shí)，h(x)取得最小值，此時(shí)a取最大值為
a＝＝200.
故若油箱有22.5升油，則該型號(hào)汽車最多行駛200千米．
(時(shí)間： 120分鐘 滿分：150分)
一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1．以正弦曲線y＝sin x上一點(diǎn)P為切點(diǎn)的切線為直線l，則直線l的傾斜角的范圍是( )
A.∪ B．[0，π)
C. D.∪
解析：選A y′＝cos x，∵cos x∈[－1,1]，∴切線的斜率范圍是[－1,1]，∴傾斜角的范圍是∪.
2．函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間(a，b)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)有極小值點(diǎn)( )
A．1個(gè) B．2個(gè)
C．3個(gè) D．4個(gè)
解析：選A 設(shè)極值點(diǎn)依次為x1，x2，x3且a＜x1＜x2＜x3＜b，則f(x)在(a，x1)，(x2，x3)上遞增，在(x1，x2)，(x3，b)上遞減，因此，x1，x3是極大值點(diǎn)，只有x2是極小值點(diǎn)．
3．函數(shù)f(x)＝x2－ln x的單調(diào)遞減區(qū)間是( )
A.
B.
C. ，
D.，
解析：選A ∵f′(x)＝2x－＝，當(dāng)0＜x≤時(shí)，f′(x)≤0，故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為.
4．函數(shù)f(x)＝3x－4x3(x∈[0,1])的最大值是( )
A．1 B.
C．0 D．－1
解析：選A f′(x)＝3－12x2，令f′(x)＝0，
則x＝－(舍去)或x＝，f(0)＝0，f(1)＝－1，
f＝－＝1，∴f(x)在[0,1]上的最大值為1.
5.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝a(x－b)2＋c的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的圖象可能是( )
解析：選D 由導(dǎo)函數(shù)圖象可知，當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)f(x)遞減，排除A、B；當(dāng)00，函數(shù)f(x)遞增．因此，當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取得極小值，故選D.
6．定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足f(1)＝1，且f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)>，則滿足2f(x)1} D．{x|x>1}
解析：選B 令g(x)＝2f(x)－x－1，∵f′(x)>，
∴g′(x)＝2f′(x)－1>0，∴g(x)為單調(diào)增函數(shù)，
∵f(1)＝1，∴g(1)＝2f(1)－1－1＝0，∴當(dāng)x<1時(shí)，
g(x)<0，即2f(x)π－2>1>π－3>0，
∴f(π－2)>f(1)>f(π－3)，即c0知，
f′(x)與1－x＋ex－1同號(hào)．
令g(x)＝1－x＋ex－1，則g′(x)＝－1＋ex－1.
所以當(dāng)x∈(－∞，1)時(shí)，g′(x)<0，
g(x)在區(qū)間(－∞，1)上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g′(x)>0，
g(x)在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增．
故g(1)＝1是g(x)在區(qū)間(－∞，＋∞)上的最小值，
從而g(x)>0，x∈(－∞，＋∞)．
綜上可知，f′(x)>0，x∈(－∞，＋∞)，
故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞)．
18．(本小題滿分15分)某個(gè)體戶計(jì)劃經(jīng)銷A，B兩種商品，據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，當(dāng)投資額為x(x≥0)萬元時(shí)，在經(jīng)銷A，B商品中所獲得的收益分別為f(x)萬元與g(x)萬元，其中f(x)＝a(x－1)＋2，g(x)＝6ln(x＋b)(a＞0，b＞0)．已知投資額為零時(shí)收益為零．
(1)求a，b的值；
(2)如果該個(gè)體戶準(zhǔn)備投入5萬元經(jīng)銷這兩種商品，請(qǐng)你幫他制定一個(gè)資金投入方案，使他能獲得最大利潤(rùn)．
解：(1)由投資額為零時(shí)收益為零，
可知f(0)＝－a＋2＝0，g(0)＝6ln b＝0，
解得a＝2，b＝1.
(2)由(1)可得f(x)＝2x，g(x)＝6ln(x＋1)．
設(shè)投入經(jīng)銷B商品的資金為x萬元(0＜x≤5)，
則投入經(jīng)銷A商品的資金為(5－x)萬元，
設(shè)所獲得的收益為S(x)萬元，
則S(x)＝2(5－x)＋6ln(x＋1)
＝6ln(x＋1)－2x＋10(0＜x≤5)．
S′(x)＝－2，令S′(x)＝0，得x＝2.
當(dāng)0＜x＜2時(shí)，S′(x)＞0，函數(shù)S(x)單調(diào)遞增；
當(dāng)2＜x≤5時(shí)，S′(x)＜0，函數(shù)S(x)單調(diào)遞減．
所以當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)S(x)取得最大值，
S(x)max＝S(2)＝6ln 3＋6≈12.6萬元．
所以，當(dāng)投入經(jīng)銷A商品3萬元，B商品2萬元時(shí)，
他可獲得最大收益，收益的最大值約為12.6萬元．
19．(本小題滿分15分)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋2ln(1－x)(a為常數(shù))．
(1)若f(x)在x＝－1處有極值，求a的值并判斷x＝－1是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)；
(2)若f(x)在[－3，－2]上是增函數(shù)，求a的取值范圍．
解：(1)f′(x)＝2ax－，x∈(－∞，1)，
f′(－1)＝－2a－1＝0，
所以a＝－.
f′(x)＝－x－＝.
∵x<1，∴1－x>0，x－2<0，
因此，當(dāng)x<－1時(shí)f′(x)>0，
當(dāng)－1
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浙江專版2018年高中數(shù)學(xué)
第一章
導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
1.4
生活中的優(yōu)化問題舉例學(xué)案
新人教A版選修2-2
浙江
專版
2018
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