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1、第十二章 推理證明、算法、復數(shù) 第1講 合情推理與演繹推理 一、選擇題 1．如圖是今年元宵花燈展中一款五角星燈連續(xù)旋轉(zhuǎn)閃爍所成的三個圖形，照此規(guī)律閃爍，下一個呈現(xiàn)出來的圖形是(　　)． 解析　該五角星對角上的兩盞花燈依次按逆時針方向亮一盞，故下一個呈現(xiàn)出來的圖形是A. 答案　A 2．推理“①矩形是平行四邊形；②三角形不是平行四邊形；③三角形不是矩形”中的小前提是(　　) A．①　　　　　　　　　　 B．② C．③ D．①和② 解析 由演繹推理三段論可知，①是大前提；②是小前提；③是結(jié)論． 答案 B

2、 3．給出下面類比推理命題(其中Q為有理數(shù)，R為實數(shù)集，C為復數(shù)集)： ①“若a，b∈R，則a－b＝0?a＝b”類比推出“a，c∈C，則a－c＝0?a＝c”； ②“若a，b，c，d∈R，則復數(shù)a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d”類比推出“a，b，c，d∈Q，則a＋b＝c＋d?a＝c，b＝d”； ③“若a，b∈R，則a－b>0?a>b”類比推出“若a，b∈C，則a－b>0?a>b”； ④“若x∈R，則|x|<1?－1

3、D．4 解析　類比結(jié)論正確的只有①②. 答案　B 4．觀察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，則52 011的末四位數(shù)字為 (　　)． A．3 125 B．5 625 C．0 625 D．8 125 解析　∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125,510＝9 765 625，… ∴5n(n∈Z，且n≥5)的末四位數(shù)字呈周期性變化，且最小正周期為4，記5n(n∈Z，且n≥5)的末四位數(shù)字為f(n)，則f(2 011)＝f(501×4＋7)＝

4、f(7) ∴52 011與57的末四位數(shù)字相同，均為8 125.故選D. 答案　D 5．為提高信息在傳輸中的抗干擾能力，通常在原信息中按一定規(guī)則加入相關(guān)數(shù)據(jù)組成傳輸信息．設定原信息為a0a1a2，ai∈{0,1}(i＝0,1,2)，信息為h0a0a1a2h1，其中h0＝a0⊕a1，h1＝h0⊕a2，⊕運算規(guī)則為：0⊕0＝0，0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.例如原信息為111，則傳輸信息為01111，信息在傳輸過程中受到干擾可能導致接收信息出錯，則下列接收信息一定有誤的是(　　)． A．11010 B．01100 C．10111 D．

5、00011 解析　對于選項C，傳輸信息是10111，對應的原信息是011，由題目中運算規(guī)則知h0＝0⊕1＝1，而h1＝h0⊕a2＝1⊕1＝0，故傳輸信息應是10110. 答案　C 6．古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)． 比如： 他們研究過圖1中的1,3,6,10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖2中的1,4,9,16，…，這樣的數(shù)為正方形數(shù)．下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是 (　　)． A．289 B．1 024 C．1 225 D．1 378 解析　觀察三角形數(shù)：1,3,6,10，…，

6、記該數(shù)列為{an}，則a1＝1，a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，…，an＝an－1＋n.∴a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a2＋…＋an－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)?an＝1＋2＋3＋…＋n＝，觀察正方形數(shù)：1,4,9,16，…，記該數(shù)列為{bn}，則bn＝n2.把四個選項的數(shù)字，分別代入上述兩個通項公式，可知使得n都為正整數(shù)的只有1 225. 答案　C 二、填空題 7．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，則△ABC外接圓半徑r＝.運用類比方法，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直且長度分別為a，b，c，則其外接球的半徑R＝________. 解析　(構(gòu)造法)通過類比可得R

7、＝.證明：作一個在同一個頂點處棱長分別為a，b，c的長方體，則這個長方體的體對角線的長度是，故這個長方體的外接球的半徑是 ，這也是所求的三棱錐的外接球的半徑． 答案　 8．用黑白兩種顏色的正方形地磚依照下圖所示的規(guī)律拼成若干個圖形，則按此規(guī)律，第100個圖形中有白色地磚________塊；現(xiàn)將一粒豆子隨機撒在第100個圖中，則豆子落在白色地磚上的概率是________． 解析　按拼圖的規(guī)律，第1個圖有白色地磚3×3－1(塊)，第2個圖有白色地磚3×5－2(塊)，第3個圖有白色地磚3×7－3(塊)，…，則第100個圖中有白色地磚3×201－100＝503(塊)．第100個圖中黑白地磚共

8、有603塊，則將一粒豆子隨機撒在第100個圖中，豆子落在白色地磚上的概率是. 答案　503　 9．對一個邊長為1的正方形進行如下操作；第一步，將它分割成3×3方格，接著用中心和四個角的5個小正方形，構(gòu)成如圖1所示的幾何圖形，其面積S1＝；第二步，將圖1的5個小正方形中的每個小正方形都進行與第一步相同的操作，得到圖2；依此類推，到第n步，所得圖形的面積Sn＝n.若將以上操作類比推廣到棱長為1的正方體中，則到第n步，所得幾何體的體積Vn＝________. 解析　對一個棱長為1的正方體進行如下操作：第一步，將它分割成3×3×3個小正方體，接著用中心和8個角的9個小正方體，構(gòu)成新1幾何體，

9、其體積V1＝＝；第二步，將新1幾何體的9個小正方體中的每個小正方體都進行與第一步相同的操作，得到新2幾何體，其體積V2＝2；…，依此類推，到第n步，所得新n幾何體的體積Vn＝n. 答案　n 10．設N＝2n(n∈N*，n≥2)，將N個數(shù)x1，x2，…，xN依次放入編號為1,2，…，N的N個位置，得到排列P0＝x1x2…xN.將該排列中分別位于奇數(shù)與偶數(shù)位置的數(shù)取出，并按原順序依次放入對應的前和后個位置，得到排列P1＝x1x3…xN－1x2x4…xN，將此操作稱為C變換．將P1分成兩段，每段個數(shù)，并對每段作C變換，得到P2；當2≤i≤n－2時，將Pi分成2i段，每段個數(shù)，并對每段作C變換，得

10、到Pi＋1.例如，當N＝8時，P2＝x1x5x3x7x2x6x4x8，此時x7位于P2中的第4個位置． (1)當N＝16時，x7位于P2中的第________個位置； (2)當N＝2n(n≥8)時，x173位于P4中的第________個位置． 解析　(1)當N＝16時，P1＝x1x3x5x7x9…x16，此時x7在第一段內(nèi)，再把這段變換x7位于偶數(shù)位的第2個位置，故在P2中，x7位于后半段的第2個位置，即在P2中x7位于第6個位置． (2)在P1中，x173位于兩段中第一段的第87個位置，位于奇數(shù)位置上，此時在P2中x173位于四段中第一段的第44個位置上，再作變換得P3時，x173

11、位于八段中第二段的第22個位置上，再作變換時，x173位于十六段中的第四段的第11個位置上，也就是位于P4中的第(3×2n－4＋11)個位置上． 答案　6　3×2n－4＋11 三、解答題 11．給出下面的數(shù)表序列： 　　　… 其中表n(n＝1,2,3，…)有n行，第1行的n個數(shù)是1,3,5，…，2n－1，從第2行起，每行中的每個數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和． 寫出表4，驗證表4各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成等比數(shù)列，并將結(jié)論推廣到表n(n≥3)(不要求證明)． 解　表4為　　　　　　1　3　5　7 　　　　　　　　　 4　8　12 　　　　　　　　　　 12

12、　20 　　　　　　　　　　　 32 它的第1,2,3,4行中的數(shù)的平均數(shù)分別是4,8,16,32，它們構(gòu)成首項為4，公比為2的等比數(shù)列． 將這一結(jié)論推廣到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項為n，公比為2的等比數(shù)列． 12．某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)： ①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°； ②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°； ③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°； ④sin2(－18°)＋cos248°－sin(

13、－18°)cos 48°； ⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°. (1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)； (2)根據(jù)(1)的計算結(jié)果，將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論． 解　(1)選擇②式，計算如下： sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°＝1－＝. (2)三角恒等式為sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝. 證明如下： sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°si

14、n α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α＝sin2α＋cos2α＝. 13．觀察下表： 1， 2,3 4,5,6,7， 8,9,10,11,12,13,14,15， … 問：(1)此表第n行的最后一個數(shù)是多少？ (2)此表第n行的各個數(shù)之和是多少？ (3)2 013是第幾行的第幾個數(shù)？ 解　(1)∵第n＋1行的第1個數(shù)是2n， ∴第n行的最后一個數(shù)是2n－1. (2)2n－1＋(2n－1＋1)＋(2n－1＋2)＋…＋(2n－1) ＝＝3·2

15、2n－3－2n－2. (3)∵210＝1 024,211＝2 048,1 024<2 013<2 048， ∴2 013在第11行，該行第1個數(shù)是210＝1 024， 由2 013－1 024＋1＝990，知2 013是第11行的第990個數(shù)． 14．將各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}中的所有項按每一行比上一行多一項的規(guī)則排成數(shù)表，如圖所示．記表中各行的第一個數(shù)a1，a2，a4，a7，…，構(gòu)成數(shù)列{bn}，各行的最后一個數(shù)a1，a3，a6，a10，…，構(gòu)成數(shù)列{cn}，第n行所有數(shù)的和為Sn(n＝1,2,3,4，…)．已知數(shù)列{bn}是公差為d的等差數(shù)列，從第二行起，每一行中的數(shù)按照從左到右

16、的順序每一個數(shù)與它前面一個數(shù)的比是常數(shù)q，且a1＝a13＝1，a31＝. (1)求數(shù)列{cn}，{Sn}的通項公式； (2)求數(shù)列{cn}的前n項和Tn的表達式． 解　(1)bn＝dn－d＋1，前n行共有1＋2＋3＋…＋n＝個數(shù)，因為13＝＋3，所以a13＝b5×q2， 即(4d＋1)q2＝1，又因為31＝＋3，所以a31＝b8×q2， 即(7d＋1)q2＝，解得d＝2，q＝， 所以bn＝2n－1，cn＝bnn－1＝， Sn＝＝(2n－1)·. (2)Tn＝＋＋＋…＋， ① Tn＝＋＋＋…＋. ② ①②兩式相減，得 Tn＝1＋2－ ＝1＋2×－＝2－， 所以Tn＝3－.