《高三數(shù)學北師大版文一輪課后限時集訓：18 利用導數(shù)解決不等式恒能成立問題 Word版含解析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高三數(shù)學北師大版文一輪課后限時集訓：18 利用導數(shù)解決不等式恒能成立問題 Word版含解析（4頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
利用導數(shù)解決不等式恒(能)成立問題
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1．(2019·西安質檢)已知函數(shù)f(x)＝ln x，g(x)＝x－1.
(1)求函數(shù)y＝f(x)的圖像在x＝1處的切線方程；
(2)若不等式f(x)≤ag(x)對任意的x∈(1，＋∞)均成立，求實數(shù)a的取值范圍．
[解](1)∵f′(x)＝，∴f′(1)＝1.
又∵f(1)＝0，
∴所求切線的方程為y－f(1)＝f′(1)(x－1)，
即為x－y－1＝0.
(2)易知對任意的x∈(1，＋∞)，f(x)＞0，g(x)＞0.
①當a≥1時，f(x)＜g(x)≤ag(x)；
②當a≤0時，f(x)＞0，ag(
2、x)≤0，不滿足不等式f(x)≤ag(x)；
③當0＜a＜1時，設φ(x)＝f(x)－ag(x)＝ln x－a(x－1)，
則φ′(x)＝－a(x＞1)，
令φ′(x)＝0，得x＝，
當x變化時，φ′(x)，φ(x)的變化情況如下表：
x
1，
，＋∞
φ′(x)
＋
0
－
φ(x)
↗
極大值
↘
∴φ(x)max＝φ＞φ(1)＝0，不滿足不等式，
f(x)≤ag(x)．
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為[1，＋∞)．
2．已知函數(shù)f(x)＝(a∈R)．
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若任意x∈[1，＋∞)，不等式f(x)＞－1恒成立
3、，求實數(shù)a的取值范圍．
[解](1)f′(x)＝，
當a≤－時，x2－2x－2a≥0，f′(x)≥0，
∴函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增．
當a＞－時，令x2－2x－2a＝0，
解得x1＝1－，x2＝1＋.
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，1－)和(1＋，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1－，1＋)．
(2)f(x)＞－1?＞－1?2a＞x2－ex，
由條件知，2a＞x2－ex對任意x≥1恒成立．
令g(x)＝x2－ex，h(x)＝g′(x)＝2x－ex，∴h′(x)＝2－ex.
當x∈[1，＋∞)時，h′(x)＝2－ex≤2－e＜0，
∴h(x)＝g′(x)＝2x
4、－ex在[1，＋∞)上單調(diào)遞減，
∴h(x)＝2x－ex≤2－e＜0，即g′(x)＜0，
∴g(x)＝x2－ex在[1，＋∞)上單調(diào)遞減，
∴g(x)＝x2－ex≤g(1)＝1－e，
故若f(x)＞－1在[1，＋∞ )上恒成立，
則需2a＞g(x)max＝1－e.
∴a＞，即實數(shù)a的取值范圍是.
3．設f(x)＝＋xln x，g(x)＝x3－x2－3.
(1)如果存在x1，x2∈[0,2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)M；
(2)如果對于任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立，求實數(shù)a的取值范圍．
[解](1)存在x1，x2∈[0,2]使得
5、g(x1)－g(x2)≥M成立，等價于[g(x1)－g(x2)]max≥M.
由g(x)＝x3－x2－3，得g′(x)＝3x2－2x＝3x.
令g′(x)＞0得x＜0或x＞，
令g′(x)＜0得0＜x＜，又x∈[0,2]，
所以g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以g(x)min＝g＝－，
又g(0)＝－3，g(2)＝1，
所以g(x)max＝g(2)＝1.
故[g(x1)－g(x2)]max＝g(x)max－g(x)min＝≥M，
則滿足條件的最大整數(shù)M＝4.
(2)對于任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立，等價于在區(qū)間上，函數(shù)f(x)min≥g(x)m
6、ax，
由(1)可知在區(qū)間上，g(x)的最大值為g(2)＝1.
在區(qū)間上，f(x)＝＋xln x≥1恒成立等價于a≥x－x2ln x恒成立．
設h(x)＝x－x2ln x，h′(x)＝1－2xln x－x，
令m(x)＝xln x，由m′(x)＝ln x＋1＞0得x＞.
即m(x)＝xln x在上是增函數(shù)，
可知h′(x)在區(qū)間上是減函數(shù)，
又h′(1)＝0，
所以當1＜x＜2時，h′(x)＜0；
當＜x＜1時，h′(x)＞0.
即函數(shù)h(x)＝x－x2ln x在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減，
所以h(x)max＝h(1)＝1，所以a≥1，
即實數(shù)a的取值范圍是[1，＋∞)．
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