《2018屆高三數(shù)學一輪復(fù)習： 第2章 第10節(jié) 變化率與導數(shù)、導數(shù)的計算》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018屆高三數(shù)學一輪復(fù)習： 第2章 第10節(jié) 變化率與導數(shù)、導數(shù)的計算（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第十節(jié)　變化率與導數(shù)、導數(shù)的計算 [考綱傳真]　1.了解導數(shù)概念的實際背景.2.通過函數(shù)圖象直觀理解導數(shù)的幾何意義.3.能根據(jù)導數(shù)的定義求函數(shù)y＝C(C為常數(shù))，y＝x，y＝，y＝x2，y＝x3，y＝的導數(shù).4.能利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)，并了解復(fù)合函數(shù)求導法則，能求簡單復(fù)合函數(shù)(僅限于形如f(ax＋b)的復(fù)合函數(shù))的導數(shù)． 1．導數(shù)的概念 (1)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)： ①定義：稱函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率 ＝ 為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)，記作f′(x0)或y′，即f′(x0)＝ ＝ . ②幾

2、何意義：函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)的幾何意義是曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線斜率．相應(yīng)地，切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． (2)函數(shù)f(x)的導函數(shù)：稱函數(shù)f′(x)＝ 為f(x)的導函數(shù)． 2．基本初等函數(shù)的導數(shù)公式 原函數(shù) 導函數(shù) f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝n·xn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax f′(x)＝axln_a(a＞0) f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax f′(x)＝ f(x

3、)＝ln x f′(x)＝ 3.導數(shù)的運算法則 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)′＝(g(x)≠0)． 4．復(fù)合函數(shù)的導數(shù) 復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導數(shù)間的關(guān)系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′，即y對x的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積． 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)f′(x0)與(f(x0))′表示的意義相同．(　　) (2)求f′(x0)時，可先求f(x0)再求f′(x0

4、)．(　　) (3)曲線的切線與曲線不一定只有一個公共點．(　　) (4)若f(x)＝e2x，則f′(x)＝e2x.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．(教材改編)有一機器人的運動方程為s(t)＝t2＋(t是時間，s是位移)，則該機器人在時刻t＝2時的瞬時速度為(　　) 【導學號：01772075】 A.　　　 B.　　 C.　　　 D. D　[由題意知，機器人的速度方程為v(t)＝s′(t)＝2t－，故當t＝2時，機器人的瞬時速度為v(2)＝2×2－＝.]　 3．(2016·天津高考)已知函數(shù)f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)為f(x)的導

5、函數(shù)，則f′(0)的值為________． 3　[因為f(x)＝(2x＋1)ex， 所以f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex， 所以f′(0)＝3e0＝3.] 4．(2016·豫北名校期末聯(lián)考)曲線y＝－5ex＋3在點(0，－2)處的切線方程為________． 5x＋y＋2＝0　[∵y′＝－5ex，∴所求曲線的切線斜率k＝y(tǒng)′＝－5e0＝－5，∴切線方程為y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.] 4．(2015·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝ax3＋x＋1的圖象在點(1，f(1))處的切線過點(2,7)，則a＝________. 1　[∵f′(x)＝

6、3ax2＋1， ∴f′(1)＝3a＋1. 又f(1)＝a＋2， ∴切線方程為y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)． ∵切線過點(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.] 導數(shù)的計算 　求下列函數(shù)的導數(shù)： (1)y＝exln x； (2)y＝x； (3)y＝x－sincos； (4)y＝ln(2x－9)． [解]　(1)y′＝(ex)′ln x＋ex(ln x)′＝exln x＋ex·＝ex. (2)∵y＝x3＋1＋，∴y′＝3x2－. (3)∵y＝x－sin x，∴y′＝1－cos x. (4)令u＝2x－9，y＝ln u， 則y′x＝y(tǒng)

7、′u·u′x. 因此y′＝·(2x－9)′＝. [規(guī)律方法]　1.熟記基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及運算法則是導數(shù)計算的前提，求導之前，應(yīng)利用代數(shù)、三角恒等式等變形對函數(shù)進行化簡，然后求導，這樣可以減少運算量提高運算速度，減少差錯． 2．如函數(shù)為根式形式，可先化為分數(shù)指數(shù)冪，再求導． 3．復(fù)合函數(shù)求導，應(yīng)先確定復(fù)合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導，必要時可換元處理． [變式訓練1]　(1)f(x)＝x(2 017＋ln x)，若f′(x0)＝2 018，則x0等于(　　) A．e2　　　 B.1　　 C.ln 2　　　 D.e (2)(2015·天津高考)已知函數(shù)f(x)＝axln x，x∈(

8、0，＋∞)，其中a為實數(shù)，f′(x)為f(x)的導函數(shù)．若f′(1)＝3，則a的值為________． (1)B　(2)3　[(1)f′(x)＝2 017＋ln x＋x×＝2 018＋ln x，故由f′(x0)＝2 018，得2 018＋ln x0＝2 018，則ln x0＝0，解得x0＝1. (2)f′(x)＝a＝a(1＋ln x)． 由于f′(1)＝a(1＋ln 1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.] 導數(shù)的幾何意義 ?角度1　求切線方程 　已知曲線y＝x3＋. (1)求曲線在點P(2,4)處的切線方程； (2)求曲線過點P(2,4)的切線方程． [思路點撥]　(

9、1)點P(2,4)是切點，先利用導數(shù)求切線斜率，再利用點斜式寫出切線方程； (2)點P(2,4)不一定是切點，先設(shè)切點坐標為，由此求出切線方程，再把點P(2,4)代入切線方程求x0. [解]　(1)根據(jù)已知得點P(2,4)是切點且y′＝x2， ∴在點P(2,4)處的切線的斜率為y′＝4，3分 ∴曲線在點P(2,4)處的切線方程為y－4＝4(x－2)， 即4x－y－4＝0.5分 (2)設(shè)曲線y＝x3＋與過點P(2,4)的切線相切于點A， 則切線的斜率為y′＝x， ∴切線方程為y－＝x(x－x0)， 即y＝x·x－x＋.7分 ∵點P(2,4)在切線上， ∴4＝2x－x＋，

10、即x－3x＋4＝0，9分 ∴x＋x－4x＋4＝0， ∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0， ∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2， 故所求的切線方程為x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.12分 ?角度2　求切點坐標 　若曲線y＝xln x上點P處的切線平行于直線2x－y＋1＝0，則點P的坐標是________． 【導學號：01772076】 (e，e)　[由題意得y′＝ln x＋x·＝1＋ln x，直線2x－y＋1＝0的斜率為2.設(shè)P(m，n)，則1＋ln m＝2，解得m＝e，所以n＝eln e＝e，即點P的坐標為(e，e)．] ?角度3

11、　求參數(shù)的值 　(1)已知直線y＝x＋1與曲線y＝ln(x＋a)相切，則a的值為(　　) A．1　　　 B.2 C.－1　　　 D.－2 (2)(2017·西寧復(fù)習檢測(一))已知曲線y＝在點(3,2)處的切線與直線ax＋y＋1＝0垂直，則a＝(　　) A．－2　　　 B.2 C.－　　　 D. (1)B　(2)A　[(1)設(shè)直線y＝x＋1與曲線y＝ln(x＋a)的切點為(x0，y0)，則y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)． 又y′＝，所以y′|x＝x0＝＝1，即x0＋a＝1. 又y0＝ln(x0＋a)，所以y0＝0，則x0＝－1，所以a＝2. (2)由y′＝得曲線在點

12、(3,2)處的切線斜率為－，又切線與直線ax＋y＋1＝0垂直，則a＝－2，故選A.] [規(guī)律方法]　1.導數(shù)f′(x0)的幾何意義就是函數(shù)y＝f(x)在點P(x0，y0)處的切線的斜率，切點既在曲線上，又在切線上，切線有可能和曲線還有其他的公共點． 2．曲線在點P處的切線是以點P為切點，曲線過點P的切線則點P不一定是切點，此時應(yīng)先設(shè)出切點坐標． 易錯警示：當曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線垂直于x軸時，函數(shù)在該點處的導數(shù)不存在，切線方程是x＝x0. [思想與方法] 1．f′(x0)是函數(shù)f(x)在x＝x0處的導數(shù)值；(f(x0))′是函數(shù)值f(x0)的導數(shù)，而函數(shù)值f(x0)是一個常數(shù)，其導數(shù)一定為0，即(f(x0))′＝0. 2．對于函數(shù)求導，一般要遵循先化簡再求導的基本原則．在實施化簡時，必須注意變換的等價性． [易錯與防范] 1．利用公式求導時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆．復(fù)合函數(shù)的導數(shù)要正確分解函數(shù)的結(jié)構(gòu)，由外向內(nèi)逐層求導． 2．曲線y＝f(x)“在點P(x0，y0)處的切線”與“過點P(x0，y0)的切線”的區(qū)別：前者P(x0，y0)為切點，而后者P(x0，y0)不一定為切點． 3．曲線的切線與二次曲線的切線的區(qū)別：曲線的切線與曲線的公共點的個數(shù)不一定只有一個，而直線與二次曲線相切只有一個公共點．