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第二章 剛體力學基礎(chǔ) 自學練習題 一、選擇題 4-1．有兩個力作用在有固定轉(zhuǎn)軸的剛體上： （1）這兩個力都平行于軸作用時，它們對軸的合力矩一定是零； （2）這兩個力都垂直于軸作用時，它們對軸的合力矩可能是零； （3）當這兩個力的合力為零時，它們對軸的合力矩也一定是零； （4）當這兩個力對軸的合力矩為零時，它們的合力也一定是零； 對上述說法，下述判斷正確的是：（ ） （A）只有（1）是正確的； （B）（1）、（2）正確，（3）、（4）錯誤； （C）（1）、（2）、（3）都正確，（4）錯誤； （D）（1）、（2）、（3）、（4）都正確。 【提示：（1）如門的重力不能使門轉(zhuǎn)動，平行于軸的力不能提供力矩；（2）垂直于軸的力提供力矩，當兩個力提供的力矩大小相等，方向相反時，合力矩就為零】 4-2．關(guān)于力矩有以下幾種說法： （1）對某個定軸轉(zhuǎn)動剛體而言，內(nèi)力矩不會改變剛體的角加速度； （2）一對作用力和反作用力對同一軸的力矩之和必為零； （3）質(zhì)量相等，形狀和大小不同的兩個剛體，在相同力矩的作用下，它們的運動狀態(tài)一定相同。 對上述說法，下述判斷正確的是：（ ） （A）只有（2）是正確的； （B）（1）、（2）是正確的； （C）（2）、（3）是正確的； （D）（1）、（2）、（3）都是正確的。 【提示：（1）剛體中相鄰質(zhì)元間的一對內(nèi)力屬于作用力和反作用力，作用點相同，則對同一軸的力矩和為零，因而不影響剛體的角加速度和角動量；（2）見上提示；（3）剛體的轉(zhuǎn)動慣量與剛體的質(zhì)量和大小形狀有關(guān)，因而在相同力矩的作用下，它們的運動狀態(tài)可能不同】 3．一個力作用于某點上，其作用點的矢徑為，則該力對坐標原點的力矩為 （ ） （A）； （B）； （C）； （D）。 【提示：】 4-3．均勻細棒OA可繞通過其一端O而與棒垂直的水平固定光滑軸 轉(zhuǎn)動，如圖所示。今使棒從水平位置由靜止開始自由下落，在棒擺 到豎直位置的過程中，下述說法正確的是：（ ） （A）角速度從小到大，角加速度不變； （B）角速度從小到大，角加速度從小到大； （C）角速度從小到大，角加速度從大到?。? （D）角速度不變，角加速度為零。 【提示：棒下落的過程中，越來越快，則角速度變大；力矩變小，則角加速度變小】 5． 圓柱體以80rad/s的角速度繞其軸線轉(zhuǎn)動，它對該軸的轉(zhuǎn)動慣量為。由于恒力矩的作用，在10s內(nèi)它的角速度降為40rad/s。圓柱體損失的動能和所受力矩的大小為：（ ） （A）80J，80；（B）800J，40；（C）4000J，32；（D）9600J，16。 【提示：損失的動能： ；由于是恒力矩，可利用求得，再利用得】 6． 一勻質(zhì)圓盤狀飛輪質(zhì)量為20kg，半徑為30cm，當它以每分鐘60轉(zhuǎn)的速率旋轉(zhuǎn)時，其動能為： （ ） （A） J； （B）J ； （C）J； （D）J。 【圓盤轉(zhuǎn)動慣量：；角速度：；動能：】 4-5．假設(shè)衛(wèi)星繞地球中心作橢圓運動，則在運動過程中，衛(wèi)星對地球中心的（ ） （A）角動量守恒，動能守恒； （B）角動量守恒，機械能守恒； （C）角動量不守恒，機械能守恒； （D）角動量不守恒，動能也不守恒。 【提示：因為萬有引力是指向圓心的有心力，所以提供的力矩為零，滿足角動量守恒定律；又因為萬有引力是保守力，所以滿足機械能守恒定律】 4--1．如圖所示，一均勻細桿，質(zhì)量為m，長度為l，一端固定， 由水平位置自由下落，則在最開始時的水平位置處，其質(zhì)心 的加速度為：（ ） （A）； （B）； （C）； （D）。 【提示：均勻細桿質(zhì)心位置在l/2處。利用轉(zhuǎn)動定律有最開始時的質(zhì)心加速度：】 4--2．如圖所示，兩個質(zhì)量均為m，半徑均為R的勻質(zhì)圓盤狀 滑輪的兩端，用輕繩分別系著質(zhì)量為m和2m的物體，若 系統(tǒng)由靜止釋放，則兩滑輪之間繩內(nèi)的張力為：（ ） （A）； （B）； （C）； （D）。 【提示：均勻細桿質(zhì)心位置在l/2處。利用轉(zhuǎn)動定律，有最開始時的質(zhì)心加速度：】 4--3．一花樣滑冰者，開始時兩臂伸開，轉(zhuǎn)動慣量為，自轉(zhuǎn)時，其動能為，然后他將手臂收回，轉(zhuǎn)動慣量減少至原來的，此時他的角速度變?yōu)椋瑒幽茏優(yōu)镋，則有關(guān)系：（ ） （A），； （B），； （C），； （D），。 【提示：利用角動量守恒定律有：，則】 11． 一根質(zhì)量為、長度為L的勻質(zhì)細直棒，平放在水平桌面上。若它與桌面間的滑動摩擦系數(shù)為，在t=0時，使該棒繞過其一端的豎直軸在水平桌面上旋轉(zhuǎn)，其初始角速度為，則棒停止轉(zhuǎn)動所需時間為 （ ） （A）； （B）； （C） ； （D） 。 【提示：摩擦力產(chǎn)生的力矩為（或考慮摩擦力集中于質(zhì)心有）；??；利用角動量定律 】 12． 一質(zhì)量為60kg的人站在一質(zhì)量為60kg、半徑為lm的勻質(zhì)圓盤的邊緣，圓盤可繞與盤面相垂直的中心豎直軸無摩擦地轉(zhuǎn)動。系統(tǒng)原來是靜止的，后來人沿圓盤邊緣走動，當人相對圓盤的走動速度為2m/s時，圓盤角速度大小為 （ ） （A） rad/s；（B）rad/s； （C）rad/s； （D） rad/s。 【提示：勻質(zhì)圓盤的轉(zhuǎn)動慣量，人的轉(zhuǎn)動慣量；利用系統(tǒng)的角動量守恒定律： 】 13． 如圖所示，一根勻質(zhì)細桿可繞通過其一端O的水平軸在豎直 平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動，桿長m。今使桿從與豎直方向成角由靜止 釋放(g取10m/s2)，則桿的最大角速度為： （ ） （A）3 rad/s； （B） rad/s；（C） rad/s；（D） rad/s。 【提示：棒的轉(zhuǎn)動慣量取，重力產(chǎn)生的力矩考慮集中于質(zhì)心， 有：）；利用機械能守恒定律： 】 4-4． 對一個繞固定水平軸O勻速轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，沿圖示的同一水平直線從相反方向射入兩顆質(zhì)量相同、速率相等的子彈，并停留在盤中，則子彈射入后轉(zhuǎn)盤的角速度應(yīng)： （ ） （A） 增大； （B）減小； （C）不變；（D）無法確定。 【提示：兩子彈和圓盤組成的系統(tǒng)在射入前后系統(tǒng)的角動量守恒， 但對于轉(zhuǎn)盤而言兩子彈射入后轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動慣量變大，利用角動量 守恒定律：知轉(zhuǎn)盤的角速度應(yīng)減小】 15．一根長為、質(zhì)量為M的勻質(zhì)棒自由懸掛于通過其上端 的光滑水平軸上?，F(xiàn)有一質(zhì)量為m的子彈以水平速度射向 棒的中心，并以的水平速度穿出棒，此后棒的最大偏轉(zhuǎn)角 恰為，則的大小為 ：（ ） （A）； （B）； （C）； （D）。 【提示：（1）應(yīng)用角動量守恒定律：，可得：；（2）應(yīng)用機械能守恒定律：，得：】 二、填空題 1．半徑為的飛輪，初角速度，角加速度，若初始時刻角位移為零，則在t= 時角位移再次為零，而此時邊緣上點的線速度v= 。 【提示：由于角加速度是常數(shù)，可用公式，當時，有；再由 得：，有 】 2．某電動機啟動后轉(zhuǎn)速隨時間變化關(guān)系為，則角加速度隨時間的變化關(guān)系為 。 【提示：求導(dǎo)，有】 3．一飛輪作勻減速運動，在5s內(nèi)角速度由40rad/s減到10rad/s，則飛輪在這5s內(nèi)總共轉(zhuǎn)過了 圈，飛輪再經(jīng) 的時間才能停止轉(zhuǎn)動。 【提示：由于是勻減速，可用公式，則圈；角加速度可由求得，為，再由 得：】 4--4．在質(zhì)量為m1，長為l/2的細棒與質(zhì)量為m2長為l/2的 細棒中間，嵌有一質(zhì)量為m的小球，如圖所示，則該系統(tǒng) 對棒的端點O的轉(zhuǎn)動慣量J= 。 【，考慮有：，求得：】 4--5．在光滑的水平環(huán)形溝槽內(nèi)，用細繩將兩個質(zhì)量分別為m1和 m2的小球系于一輕彈簧的兩端，使彈簧處于壓縮狀態(tài)，現(xiàn)將繩 燒斷，兩球向相反方向在溝槽內(nèi)運動，在兩球相遇之前的過程 中系統(tǒng)的守恒量是： 。 【提示：水平環(huán)形溝槽光滑則不考慮摩擦力；彈簧力是系統(tǒng)內(nèi)力所以提供的力矩為零，滿足(1)角動量守恒；又因彈性力是保守力，所以滿足（2）機械能守恒】 4--6．如圖所示，在光滑的水平桌面上有一長為l，質(zhì)量為m的 均勻細棒以與棒長方向相垂直的速度v向前平動，與一固定 在桌子上的釘子O相碰撞，碰撞后，細棒將繞點O轉(zhuǎn)動，則 轉(zhuǎn)動的角速度 。 【由角動量守恒：，考慮到，，，有】 7．如圖所示，圓盤質(zhì)量為M、半徑為R，對于過圓心O點且垂直于盤面轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為MR2。若以O(shè)點為中心在大圓盤上挖去一個半徑為的小圓盤， 剩余部分對于過O點且垂直于盤面的中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為 ； 剩余部分通過圓盤邊緣某點且平行于盤中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為 。 【提示：圓盤的轉(zhuǎn)動慣量公式為；(1)則挖去小圓盤后的轉(zhuǎn)動慣量為： ；（2）利用平行軸定理，考慮到挖去小圓盤后的質(zhì)量為，有：，得：】 8．勻質(zhì)大圓盤質(zhì)量為M、半徑為R，對于過圓心O點且垂直于 盤面轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為。如果在大圓盤的右半圓上 挖去一個小圓盤，半徑為。如圖所示，剩余部分對于過 O點且垂直于盤面轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為 【提示：大圓盤的轉(zhuǎn)動慣量公式為，小圓盤以其圓心為軸的轉(zhuǎn)動慣量為，利用平行軸定理知，則】 4--7．如圖所示，勁度系數(shù)的輕彈簧，一端固定， 另一端用細繩跨過半徑、質(zhì)量的定滑輪 （看做均勻圓盤）系住質(zhì)量為的物體，在彈簧未伸 長時釋放物體，當物體落下時的速度 。 【提示：利用機械能守恒，有，考慮到，有：，則（取10）】 4--8．一個轉(zhuǎn)動慣量為的圓盤繞一固定軸轉(zhuǎn)動，起初角速度為，他所受的力矩是與轉(zhuǎn)動角速度成正比的阻力矩：（k為常數(shù)），其角速度從變?yōu)樗钑r間為： ；在上述過程中阻力矩所作的功為 。 【提示：利用角動量定律，有，則求得 ；再利用，有】 11．長為l的勻質(zhì)細桿，可繞過其端點的水平軸在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動。如果將細桿置與水平位置，然后讓其由靜止開始自由下擺，則開始轉(zhuǎn)動的瞬間，細桿的角加速度為 ，細桿轉(zhuǎn)動到豎直位置時角速度為 。 【提示：（1）利用轉(zhuǎn)動定律，有最開始時的角加速度：；（2）利用機械能守恒有有：】 12． 長為l、質(zhì)量為m的勻質(zhì)細桿，以角速度ω繞過桿端點垂直于桿的水平軸轉(zhuǎn)動，桿繞轉(zhuǎn)動軸的動能為 ，動量矩為 。 【提示：（1）；（2）動量矩】 13． 勻質(zhì)圓盤狀飛輪，質(zhì)量為20kg，半徑為30cm，當它以每分鐘60轉(zhuǎn)的速率旋轉(zhuǎn)時，其動能為 焦耳。 【提示：每分鐘60轉(zhuǎn)表明，】 14． 如圖所示，用三根長為l 的細桿，(忽略桿的質(zhì)量) 將三個質(zhì)量均為m的質(zhì)點連接起來，并與轉(zhuǎn)軸O相連接， 若系統(tǒng)以角速度ω繞垂直于桿的O軸轉(zhuǎn)動，系統(tǒng)的總角 動量為 。如考慮桿的質(zhì)量，若每根桿的質(zhì)量為M，則此系統(tǒng)繞軸O的總轉(zhuǎn)動慣量為 ，總轉(zhuǎn)動動能為 。 【提示： ；（1）由角動量； （2） ；（3）轉(zhuǎn)動動能】 15． 一人站在轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)臺上，在他伸出的兩手中各握有一個重物，若此人向著胸部縮回他的雙手及重物，忽略所有摩擦，則系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量 ，系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動角速度 ，系統(tǒng)的角動量 ，系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動動能 。（填增大、減小或保持不變） 【提示：（1）減??；（2）增大；（3）保持不變；（3）增大】 三．計算題 4-14．如圖所示，質(zhì)量分別為與的兩物體A和B掛在組合輪的兩端， 設(shè)兩輪的半徑分別為和，兩輪的轉(zhuǎn)動慣量分別為和，求兩物 體的加速度及繩中的張力。（設(shè)繩子與滑輪間無相對滑動，滑輪與轉(zhuǎn)軸 無摩擦） 4-16．如圖所示，質(zhì)量、半徑的飛輪以的轉(zhuǎn)速高速運轉(zhuǎn)，如果用閘瓦將其在內(nèi)停止轉(zhuǎn)動，則 制動力需要多大？設(shè)閘瓦和飛輪間的摩擦系 數(shù)，飛輪的質(zhì)量全部分布在輪緣上。 3．如圖示，轉(zhuǎn)臺繞中心豎直軸以角速度作勻速轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)臺對該軸的轉(zhuǎn)動慣量?，F(xiàn)有砂粒以的流量落到轉(zhuǎn)臺，并粘在 臺面形成一半徑的圓。試求砂粒落到轉(zhuǎn)臺，使轉(zhuǎn)臺角速 度變?yōu)樗ǖ臅r間。 4-23．在可以自由旋轉(zhuǎn)的水平圓盤上，站一質(zhì)量為的人。圓盤的半徑為R，轉(zhuǎn)動慣量為J，最開始時人和圓盤都靜止。如果這人相對于圓盤以的速率沿盤邊行走，則圓盤的角速率多大？ A O 4-21．長、質(zhì)量的勻質(zhì)木棒，可繞 水平軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，開始時棒自然豎直懸垂， 現(xiàn)有質(zhì)量的子彈以的速率從A點 射入棒中，A點與O點的距離為，如圖所示。求： （1）棒開始運動時的角速度；（2）棒的最大偏轉(zhuǎn)角。 解答 一、選擇題： 1.B 2.B 3.B 4.C 5.D 6.D 7.B 8.C 9.A 10. D 11.A 12.D 13.A 14.B 15.A 三．計算題 1．解：由于組合輪是一個整體，有。應(yīng)用牛頓運動定律： 對物體A，；對物體B，，對組合輪，應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律：?？紤]到：，，解得： ；。 2．解：由于飛輪的質(zhì)量全部分布在輪緣上，有：； 而力矩為恒力矩，有：； 閘瓦給飛輪的正壓力： ， ∴； 由轉(zhuǎn)動定律：，有：，有。 3． 解：由角動量守恒定律：，得 。由于 ： 所以 ： 4．解：設(shè)圓盤相對于地面的角速率為，則人相對于地面的角速率為。 應(yīng)用角動量守恒定律：，有：， 解得： 。 5．解：（1）應(yīng)用角動量守恒定律： 得 （2）應(yīng)用機械能守恒定律 得： 。