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1、 2.2.3 向量數(shù)乘運算及其幾何意義 整體設(shè)計 教學分析 向量的數(shù)乘運算,其實是加法運算的推廣及簡化,與加法、減法統(tǒng)稱為向量的三大線性運算.教學時從加法入手,引入數(shù)乘運算,充分展現(xiàn)了數(shù)學知識之間的內(nèi)在聯(lián)系.實數(shù)與向量的乘積,仍然是一個向量,既有大小,也有方向.特別是方向與已知向量是共線向量,進而引出共線向量定理.共線向量定理是本章節(jié)中重要的內(nèi)容,應(yīng)用相當廣泛,且容易出錯.尤其是定理的前提條件:向量a是非零向量.共線向量定理的應(yīng)用主要用于證明點共線或平行等幾何性質(zhì),且與后續(xù)的知識有著緊密的聯(lián)系. 三維目標 1.通過經(jīng)歷探究數(shù)乘運算法則及幾何意義的過程,掌握實數(shù)與向量積的定

2、義,理解實數(shù)與向量積的幾何意義,掌握實數(shù)與向量的積的運算律. 2.理解兩個向量共線的等價條件,能夠運用兩向量共線條件判定兩向量是否平行. 3.通過探究,體會類比遷移的思想方法,滲透研究新問題的思想和方法,培養(yǎng)創(chuàng)新能力和積極進取精神.通過解決具體問題,體會數(shù)學在生活中的重要作用. 重點難點 教學重點:1.實數(shù)與向量積的意義.2.實數(shù)與向量積的運算律.3.兩個向量共線的等價條件及其運用. 教學難點:對向量共線的等價條件的理解運用. 課時安排 1課時 教學過程 導(dǎo)入新課 思路1.前面兩節(jié)課,我們一起學習了向量加減法運算,這一節(jié),我們將在加法運算基礎(chǔ)上研究相同向量和的簡便計

3、算及推廣.在代數(shù)運算中,a+a+a=3a,故實數(shù)乘法可以看成是相同實數(shù)加法的簡便計算方法,那么相同向量的求和運算是否也有類似的簡便計算. 思路2.一物體做勻速直線運動,一秒鐘的位移對應(yīng)的向量為a,那么在同一方向上3秒鐘的位移對應(yīng)的向量怎樣表示？是3a嗎？怎樣用圖形表示？由此展開新課. 推進新課 新知探究 提出問題 ①已知非零向量a,試一試作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a). ②你能對你的探究結(jié)果作出解釋,并說明它們的幾何意義嗎? ③引入向量數(shù)乘運算后,你能發(fā)現(xiàn)數(shù)乘向量與原向量之間的位置關(guān)系嗎?怎樣理解兩向量平行？與兩直線平行有什么異同？ 活動:引導(dǎo)學生

4、回顧相關(guān)知識并猜想結(jié)果,對于運算律的驗證,點撥學生通過作圖來進行.通過學生的動手作圖,讓學生明確向量數(shù)乘運算的運算律及其幾何意義.教師要引導(dǎo)學生特別注意0·a=0,而不是0·a=0.這個零向量是一個特殊的向量,它似乎很不起眼,但又處處存在,稍不注意就會出錯,所以要引導(dǎo)學生正確理解和處理零向量與非零向量之間的關(guān)系.實數(shù)與向量可以求積,但是不能進行加、減運算,比如λ+a,λ-a都無法進行.向量數(shù)乘運算的運算律與實數(shù)乘法的運算律很相似,只是數(shù)乘運算的分配律有兩種不同的形式:(λ+μ)a=λa+μa和λ(a+b)=λa+λb,數(shù)乘運算的關(guān)鍵是等式兩邊向量的模相等,方向相同.判斷兩個向量是否平行(共線)

5、,實際上就是看能否找出一個實數(shù),使得這個實數(shù)乘以其中一個向量等于另一個向量.一定要切實理解兩向量共線的條件,它是證明幾何中的三點共線和兩直線平行等問題的有效手段. 對問題①,學生通過作圖1可發(fā)現(xiàn),=++=a+a+a.類似數(shù)的乘法,可把a+a+a記作3a,即=3a.顯然3a的方向與a的方向相同,3a的長度是a的長度的3倍,即|3a|=3|a|.同樣,由圖1可知, 圖1 ==(-a)+(-a)+(-a), 即(-a)+(-a)+(-a)=3(-a).顯然3(-a)的方向與a的方向相反,3(-a)的長度是a的長度的3倍,這樣,3(-a)=-3a. 對問題②,上述

6、過程推廣后即為實數(shù)與向量的積. 我們規(guī)定實數(shù)λ與向量a的積是一個向量,這種運算叫做向量的數(shù)乘,記作λa,它的長度與方向規(guī)定如下: (1)|λa|=|λ||a|; (2)當λ>0時,λa的方向與a的方向相同;當λ<0時,λa的方向與a的方向相反. 由(1)可知,λ=0時,λa=0. 根據(jù)實數(shù)與向量的積的定義,我們可以驗證下面的運算律. 實數(shù)與向量的積的運算律 設(shè)λ、μ為實數(shù),那么 (1)λ(μa)=(λμ)a; (2)(λ+μ)a=λa+μa; (3)λ(a+b)=λa+λb. 特別地,我們有(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.

7、 對問題③,向量共線的等價條件是:如果a(a≠0)與b共線,那么有且只有一個實數(shù)λ,使b=λa.推證過程教師可引導(dǎo)學生自己完成,推證過程如下:對于向量a(a≠0)、b,如果有一個實數(shù)λ,使b=λa,那么由向量數(shù)乘的定義,知a與b共線.反過來,已知向量a與b共線,a≠0,且向量b的長度是向量a的長度的μ倍,即|b|=μ|a|,那么當a與b同方向時,有b=μa;當a與b反方向時,有b=-μa. 關(guān)于向量共線的條件,教師要點撥學生做進一步深層探究,讓學生思考,若去掉a≠0這一條件,上述條件成立嗎?其目的是通過0與任意向量的平行來加深對向量共線的等價條件的認識.在判斷兩個非零向量是否共

8、線時,只需看這兩個向量的方向是否相同或相反即可,與這兩個向量的長度無關(guān).在沒有指明非零向量的情況下,共線向量可能有以下幾種情況:(1)有一個為零向量;(2)兩個都為零向量;(3)同向且模相等;(4)同向且模不等;(5)反向且模相等;(6)反向且模不等. 討論結(jié)果:①數(shù)與向量的積仍是一個向量,向量的方向由實數(shù)的正負及原向量的方向確定,大小由|λ|·|a|確定. ②它的幾何意義是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或縮小. ③向量的平行與直線的平行是不同的,直線的平行是指兩條直線在同一平面內(nèi)沒有公共點;而向量的平行既包含沒有交點的情況,又包含兩個向量在同一條直線上的情形. 應(yīng)用示例 思路1

9、 例1 計算: (1)(-3)×4a; (2)3(a+b)-2(a-b)-a; (3)(2a+3b-c)-(3a-2b+c). 活動:本例是數(shù)乘運算的簡單應(yīng)用,可讓學生自己完成,要求學生熟練運用向量數(shù)乘運算的運算律.教學中,點撥學生不能將本題看作字母的代數(shù)運算,可以讓他們在代數(shù)運算的同時說出其幾何意義,使學生明確向量數(shù)乘運算的特點.同時向?qū)W生點出,向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算.對于任意向量a、b,以及任意實數(shù)λ、μ1、μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b. 解:(1)原式=(-3×4)a=-12a; (2)原式=3a+3b-2a+2b-a=5b

10、; (3)原式=2a+3b-c-3a+2b-c=-a+5b-2c. 點評:運用向量運算的運算律,解決向量的數(shù)乘.其運算過程可以仿照多項式運算中的“合并同類項”. 變式訓(xùn)練 若3m+2n=a,m-3n=b,其中a,b是已知向量,求m,n. 解:因3m+2n=a, ① m-3n=b. ② 3×②得3m-9n=3b.

11、 ③ ①-③得11n=a-3b. ∴n=a-b. ④ 將④代入②,有m=b+3n=a+b. 點評:此題可把已知條件看作向量m、n的方程,通過方程組的求解獲得m、n.在此題求解過程中,利用了實數(shù)與向量的積以及它所滿足的交換律、結(jié)合律,從而解向量的二元一次方程組的方法與解實數(shù)的二元一次方程組的方法一致. 圖2 例2 如圖2,已知任意兩個非零向量a、b,試作=a+b,=a+2b,=a+3b.你能判斷A、B、C三點之間的位置關(guān)系嗎?為什么? 活動:本例給出了利用向量共線判斷三

12、點共線的方法,這是判斷三點共線常用的方法.教學中可以先引導(dǎo)學生作圖,通過觀察圖形得到A,B,C三點共線的猜想,再將平面幾何中判斷三點共線的方法轉(zhuǎn)化為用向量共線證明三點共線.本題只要引導(dǎo)學生理清思路,具體過程可由學生自己完成.另外,本題是一個很好的與信息技術(shù)整合的題材,教學中可以通過計算機作圖,進行動態(tài)演示,揭示向量a、b變化過程中,A、B、C三點始終在同一條直線上的規(guī)律. 圖3 解:如圖3分別作向量、過點A、C作直線AC.觀察發(fā)現(xiàn),不論向量a、b怎樣變化,點B始終在直線上,猜想A、B、C三點共線. 事實上,因為=-=a+2b-(a+b)=b, 而=-=a+3b-(a+b)=2b,

13、 于是=2. 所以A、B、C三點共線. 點評:關(guān)于三點共線問題,學生接觸較多,這里是用向量證明三點共線,方法是必須先證明兩個向量共線,并且有公共點.教師引導(dǎo)學生解完后進行反思,體會向量證法的新穎獨特. 例3 如圖4, ABCD的兩條對角線相交于點M,且=a,=b,你能用a、b表示和嗎? 圖4 活動:本例的解答要用到平行四邊形的性質(zhì).另外,用向量表示幾何元素(點、線段等)是用向量方法證明幾何問題的重要步驟,教學中可以給學生明確指出這一點. 解:在ABCD中, ∵=+=a+b,=-=a-b, 又∵平行四邊形的兩條對角線互相平分, ∴==(a+b)=a-b,

14、==(a-b)=a-b, ==a+b, ==-=-a+b. 點評:結(jié)合向量加法和減法的平行四邊形法則和三角形法則,將兩個向量的和或差表示出來,這是解決這類幾何題的關(guān)鍵. 思路2 例1 凸四邊形ABCD的邊AD、BC的中點分別為E、F,求證:=(+). 活動:教師引導(dǎo)學生探究,能否構(gòu)造三角形,使EF作為三角形中位線,借助于三角形中位線定理解決,或創(chuàng)造相同起點,以建立向量間關(guān)系.鼓勵學生多角度觀察思考問題. 圖5 解:方法一:過點C在平面內(nèi)作=, 則四邊形ABGC是平行四邊形, 故F為AG中點.(如圖5) ∴EF是△ADG的中位線. ∴EFDG. ∴=

15、. 而=+=+, ∴=(+). 方法二:如圖6,連接EB、EC,則有=+,=+, 圖6 又∵E是AD之中點, ∴有+=0, 即有+=+. 以與為鄰邊作EBGC,則由F是BC之中點,可得F也是EG之中點. ∴==(+)=(+). 點評:向量的運算主要從以下幾個方面加強練習:(1)加強數(shù)形結(jié)合思想的訓(xùn)練,畫出草圖幫助解決問題;(2)加強三角形法則和平行四邊形法則的運用練習,做到準確熟練運用. 例2 已知和是不共線向量=t(t∈R),試用、表示. 活動:教師引導(dǎo)學生思考,由=t(t∈R)知A、B、P三點共線,而=+,然后以表示,進而建立,的聯(lián)系.本題可讓學

16、生自己解決,教師適時點撥. 解:=+=+t·=+t·(-)=(1-t)·+t·. 點評:靈活運用向量共線的條件.若令1-t=m,t=n,則=m·+n·,m+n=1. 變式訓(xùn)練 1.設(shè)兩個不共線的向量e1、e2,若向量a=2e1-3e2,向量b=2e1+3e2,向量c=2e1-9e2,問是否存在這樣的實數(shù)λ、μ,使向量d=λa+μb與向量c共線？ 解:d=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)=(2λ+2μ)e1+(3μ-3λ)e2,要使d與c共線,則存在實數(shù)k使d=kc, 即(2λ+2μ)e1+(3μ-3λ)e2=2ke1-9ke2. 由2λ+2μ=2k及3μ-3λ=-9k得

17、λ=-2μ. 故存在這樣的實數(shù)λ和μ,只要λ=-2μ就能使d與c共線. 2.(2007浙江高考),7 若非零向量a、b滿足|a+b|=|b|,則( ) A.|2a|>|2a+b| B.|2a|<|2a+b| C.|2b|>|a+2b| D.|2b|<|a+2b| 答案:C 3.(2007全國高考),5 在△ABC中,已知D是AB邊上一點,若=2,=+λ,則λ等于( ) A. B. C.- D.- 答案:A

18、 知能訓(xùn)練 本節(jié)練習 解答: 1.圖略. 2.=,=. 點評:本題可先畫一個示意圖,根據(jù)圖形容易得出正確答案.值得注意的是與反向. 3.(1)b=2a;(2)b=a;(3)b=-a;(4)b=a. 4.(1)共線;(2)共線. 5.(1)3a-2a;(2)a+a;(3)2ya. 6.圖略. 課堂小結(jié) 1.讓學生回顧本節(jié)學習的數(shù)學知識:向量的數(shù)乘運算法則,向量的數(shù)乘運算律,向量共線的條件,體會本節(jié)學習中用到的思想方法:特殊到一般,歸納、猜想、類比,分類討論,等價轉(zhuǎn)化. 2.向量及其運算與數(shù)及其運算可以類比,這種類比是我們提高思想性的有效手段,在今后的學習中應(yīng)予以充分的重

19、視,它是我們學習中偉大的引路人. 作業(yè) 課本習題2.2 A組題11、12. 設(shè)計感想 1.本教案的設(shè)計流程符合新課程理念,充分抓住本節(jié)教學中的學生探究、猜想、推證等活動,引導(dǎo)學生畫出草圖幫助理解題意和解決問題.先由學生探究向量數(shù)乘的結(jié)果還是向量(特別地0·a=0),它的幾何意義是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或縮小,當λ>0時,λa與a方向相同,當λ<0時,λa與a方向相反;向量共線定理用來判斷兩個向量是否共線.然后對所探究的結(jié)果進行運用拓展. 2.向量具有的幾何形式和代數(shù)形式的雙重身份在本節(jié)中得以充分體現(xiàn),因而成為中學數(shù)學知識網(wǎng)絡(luò)的一個交匯點,由此可看出在中學數(shù)學教材中的地位的重要,也成為近幾年各地高考命題的重點和熱點,教師要引導(dǎo)學生對平面向量中有關(guān)知識要點進行歸納整理.