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1、 精品資料 第八章　立體幾何 學(xué)案38　空間幾何體 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu).2.會(huì)用斜二測(cè)畫法畫出簡(jiǎn)單空間圖形的直觀圖． 自主梳理 1．多面體的結(jié)構(gòu)特征 (1)棱柱的上下底面________，側(cè)棱都________且__________，上底面和下底面是________的多邊形．側(cè)棱和底面________的棱柱叫做直棱柱．底面為________的直棱柱叫正棱柱． (2)棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個(gè)________的三角形．棱錐

2、的底面是________，且頂點(diǎn)在底面的正投影是________，這樣的棱錐為正棱錐． (3)棱臺(tái)可由________________的平面截棱錐得到，其上下底面的兩個(gè)多邊形________．________被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分叫正棱臺(tái)． 2．旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征 將矩形、直角三角形、直角梯形分別繞著它的一邊、一直角邊、垂直于底邊的腰所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體分別叫做________、________、________，這條直線叫做____．垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做________． 半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做________，球

3、面圍成的幾何體叫做________，簡(jiǎn)稱____． 3．空間幾何體的直觀圖 畫空間幾何體的直觀圖常用________畫法，其規(guī)則是： (1)在空間圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸交于O點(diǎn)，再取z軸，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°. (2)畫直觀圖時(shí)把它們畫成對(duì)應(yīng)的x′軸、y′軸和z′軸，它們相交于點(diǎn)O′，并使∠x′O′y′＝__________________，∠x′O′z′＝90°，x′軸和y′軸所確定的平面表示水平面． (3)已知圖形中平行于x軸、y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于________________________的線段． (4)已知圖形中平行于

4、x軸或z軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度________，平行于y軸的線段，長(zhǎng)度變?yōu)開___________． 自我檢測(cè) 1．下列四個(gè)條件能使棱柱為正四棱柱的是________(填序號(hào))． ①底面是正方形，有兩個(gè)側(cè)面是矩形； ②底面是正方形，有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面； ③底面是菱形，具有一個(gè)頂點(diǎn)處的三條棱兩兩垂直； ④每個(gè)側(cè)面都是全等矩形的四棱柱． 2．用任意一個(gè)平面截一個(gè)幾何體，各個(gè)截面都是圓，則這個(gè)幾何體一定是________． 3．如果圓錐的側(cè)面展開圖是半圓，那么這個(gè)圓錐的頂角(圓錐軸截面中兩條母線的夾角)是________． 4．長(zhǎng)方體AC1中，從同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長(zhǎng)分

5、別是a，b，c，則這個(gè)長(zhǎng)方體的外接球的半徑是________． 5．如圖所示，直觀圖四邊形A′B′C′D′是一個(gè)底角為45°，腰和上底均為1的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是________． 探究點(diǎn)一　空間幾何體的結(jié)構(gòu) 例1　給出下列命題：①棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形；②用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺(tái)；③若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個(gè)側(cè)面也兩兩垂直；④若有兩個(gè)過相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；⑤存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體；⑥棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)． 其中正確命題的序號(hào)是________． 變式遷移1　下

6、列結(jié)論正確的是________(填序號(hào))． ①各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐； ②以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐； ③棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則此棱錐可能是六棱錐； ④圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線都是母線． 探究點(diǎn)二　空間幾何體的直觀圖 例2　一個(gè)平面四邊形的斜二測(cè)畫法的直觀圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形，則原平面四邊形的面積等于________． 變式遷移2　等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝，下底AB＝3，以下底所在直線為x軸，則由斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖A′B′C′D′的面積為________．

7、 探究點(diǎn)三　簡(jiǎn)單組合體的有關(guān)計(jì)算 例3　棱長(zhǎng)為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過該球球心的一個(gè)截面如圖所示，求圖中三角形(正四面體的截面)的面積． 變式遷移3 如圖，一個(gè)正方體內(nèi)接于高為40 cm，底面半徑為30 cm的圓錐，則正方體的棱長(zhǎng)是________cm. 1．熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征與對(duì)應(yīng)直觀圖之間的相互轉(zhuǎn)化，正確地識(shí)別和畫出空間幾何體的直觀圖是解決空間幾何體問題的基礎(chǔ)和保證． 2．棱柱的分類(按側(cè)棱與底面的位置關(guān)系)：棱柱 3．正棱錐問題常歸結(jié)到它的高、側(cè)棱、斜高、底面正多邊形、內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑、底面邊長(zhǎng)的一半構(gòu)成的

8、直角三角形中解決． 4．圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球應(yīng)抓住它們是旋轉(zhuǎn)體這一特點(diǎn)，弄清旋轉(zhuǎn)軸、旋轉(zhuǎn)面、軸截面． 5．用斜二測(cè)畫法畫出的平面圖形的直觀圖的面積S′與原平面圖形的面積S之間的關(guān)系是S′＝S. (滿分：90分) 一、填空題(每小題6分，共48分) 1．下列命題正確的是________(填序號(hào))． ①有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱； ②有一個(gè)面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體叫棱錐； ③有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫棱柱． 2．如圖為一個(gè)簡(jiǎn)單多面體的表面展開圖(沿虛線折疊即可還原)則這個(gè)多面體的頂點(diǎn)數(shù)

9、為________． 3．圓臺(tái)的一個(gè)底面周長(zhǎng)是另一個(gè)底面周長(zhǎng)的3倍，軸截面的面積等于392 cm2，母線與軸的夾角為45°，則這個(gè)圓臺(tái)的高為________cm，母線長(zhǎng)為________cm，上、下底面半徑分別為________cm和________cm. 4．如圖所示的幾何體是從一個(gè)圓柱中挖去一個(gè)以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐而得到的，現(xiàn)用一個(gè)平面去截這個(gè)幾何體，若這個(gè)平面垂直于圓柱底面所在的平面，那么所截得的圖形可能是圖中的________．(把所有可能的圖的序號(hào)都填上) 5．已知水平放置的△ABC的直觀圖△A′B′C′(斜二測(cè)畫法)是邊長(zhǎng)為a的正三角形，則

10、原△ABC的面積為_________________________________________________________． 6．棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD—A1B1C1D1的8個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，E、F分別是棱AA1、DD1的中點(diǎn)，則直線EF被球O截得的線段長(zhǎng)為________． 7．(2011·四川)如圖，半徑為R的球O中有一內(nèi)接圓柱．當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差是________． 8．(2011·連云港模擬)棱長(zhǎng)為a的正四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)均在一個(gè)球面上，則此球的半徑R為________． 二、解答題(共42分) 9．(12

11、分)正四棱臺(tái)AC1的高是17 cm，兩底面的邊長(zhǎng)分別是4 cm和16 cm，求這個(gè)棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)和斜高． 10．(14分)用斜二測(cè)畫法畫出如圖中水平放置的四邊形OABC的直觀圖． 11．(16分)一個(gè)圓錐的底面半徑為2，高為6，在其中有一個(gè)高為x的內(nèi)接圓柱． (1)用x表示圓柱的軸截面面積S； (2)當(dāng)x為何值時(shí)，S最大？ 學(xué)案38　空間幾何體 答案 自主梳理 1．(1)平行　平行　長(zhǎng)度相等　全等　垂直　正多邊形　(2)公共頂點(diǎn)　正多邊形　底面中心　

12、(3)平行于棱錐底面 相似　正棱錐　2.圓柱　圓錐　圓臺(tái)　軸　底面　球面　球體　球　3.斜二測(cè)　(2)45°(或135°)　(3)x′軸、y′軸或z′軸　(4)不變　原來的一半 自我檢測(cè) 1．③ 2．球體 3．60° 解析　設(shè)母線長(zhǎng)為l，底面半徑為r，則πl(wèi)＝2πr. ∴＝，∴母線與高的夾角為30°. ∴圓錐的頂角為60°. 4. 解析　長(zhǎng)方體的外接球的直徑長(zhǎng)為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，即2R＝，所以R＝. 5.＋2 解析　把直觀圖還原為平面圖形得： 直角梯形ABCD中，AB＝2， BC＝＋1，AD＝1， ∴面積為×(2＋)×2＝2＋. 課堂活動(dòng)區(qū) 例1　解題導(dǎo)

13、引　解決這種判斷題的關(guān)鍵是：①準(zhǔn)確理解棱柱、棱錐、棱臺(tái)的概念；②正確運(yùn)用平行、垂直的判定及性質(zhì)定理進(jìn)行判斷，整體把握立體幾何知識(shí)． 答案?、邰堍茛? 解析　 ①錯(cuò)誤，因?yàn)槔庵牡酌娌灰欢ㄊ钦噙呅?；②錯(cuò)誤，必須用平行于底面的平面去截棱錐，才能得到棱臺(tái)；③正確，因?yàn)槿齻€(gè)側(cè)面構(gòu)成的三個(gè)平面的二面角都是直二面角；④正確，因?yàn)閮蓚€(gè)過相對(duì)側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；⑤正確，如圖所示，正方體AC1中的四棱錐C1—ABC，四個(gè)面都是直角三角形；⑥正確，由棱臺(tái)的概念可知．因此，正確命題的序號(hào)是③④⑤⑥. 變式遷移1　④ 解析　 ①錯(cuò)誤．如圖所示，由兩個(gè)結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起

14、構(gòu)成的幾何體，各面都是三角形，但它不是棱錐． ②錯(cuò)誤．如下圖，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊，所得的幾何體都不是圓錐． ③錯(cuò)誤．若六棱錐的所有棱長(zhǎng)都相等，則底面多邊形是正六邊形．由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長(zhǎng)必然要大于底面邊長(zhǎng)．④正確． 例2　解題導(dǎo)引　本題是已知直觀圖，探求原平面圖形，考查逆向思維能力．要熟悉運(yùn)用斜二測(cè)畫法畫水平放置的直觀圖的基本規(guī)則，注意直觀圖中的線段、角與原圖中的對(duì)應(yīng)線段、角的關(guān)系． 答案　2a2 解析　根據(jù)斜二測(cè)畫法畫平面圖形的直觀圖的規(guī)則可知，在x軸上(或與x軸平行)的線段，其長(zhǎng)度保持不變；在y軸上(或與y軸平行)的

15、線段，其長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉淼囊话?，且∠x′O′y′＝45°(或135°)，所以，若設(shè)原平面圖形的面積為S，則其直觀圖的面積為S′＝··S＝S.可以得出一個(gè)平面圖形的面積S與它的直觀圖的面積S′之間的關(guān)系是S′＝S，本題中直觀圖的面積為a2，所以原平面四邊形的面積S＝＝2a2. 變式遷移2　 解析　 ∵OE＝＝1，∴O′E′＝，E′F＝， ∴直觀圖A′B′C′D′的面積為S′＝×(1＋3)×＝. 例3　解題導(dǎo)引　解決這類問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確分析出組合體的結(jié)構(gòu)特征，發(fā)揮自己的空間想象能力，把立體圖和截面圖對(duì)照分析，有機(jī)結(jié)合，找出幾何體中的數(shù)量關(guān)系，為了增加圖形的直觀性，常常畫一個(gè)截面圓作為襯托

16、． 解　如圖所示，△ABE為題中的三角形， 由已知得AB＝2，BE＝2×＝，BF＝BE＝， AF＝＝ ＝ ， ∴△ABE的面積為 S＝×BE×AF＝×× ＝. ∴所求的三角形的面積為. 變式遷移3 120(3－2) 解析　作軸截面， PO＝40 cm，OA＝30 cm， 設(shè)BC＝x，則O1C＝x， ∴＝，即＝， ∴x＝120(3－2)． 課后練習(xí)區(qū) 1．③ 2．7 解析　沿虛線折疊還原得幾何體的直觀圖如下，則這個(gè)多面體的頂點(diǎn)數(shù)為7. 3．14　14　7　21 解析　畫出圓臺(tái)的軸截面，如圖，設(shè)O′、O分別是上、下底面的中心，作AE⊥DC于E，則

17、有∠DAE＝45°.由于下底面周長(zhǎng)是上底面周長(zhǎng)的3倍，所以下底面半徑是上底面半徑的3倍，若設(shè)AE＝x，則DE＝x，AB＝x，CD＝3x，AD＝x，于是軸截面的面積為： ·x·(3x＋x)＝392，解得x＝14，則圓臺(tái)的高等于14 cm，母線長(zhǎng)為14cm，上、下底面半徑分別為7 cm和21 cm. 4．①③ 5.a2 解析　在斜二測(cè)畫法中原圖面積與直觀圖面積之比為1∶，則易知S＝(a)2，∴S＝a2. 6. 解析　由題知球O半徑為，球心O到直線EF的距離為，由垂徑定理可知直線EF被球O截得的線段長(zhǎng) d＝2×＝. 7．2πR2 解析　方法一　設(shè)圓柱的軸與球的半徑的夾角為α，則圓柱

18、高為2Rcos α，圓柱底面半徑為Rsin α，∴S圓柱側(cè)＝2π·Rsin α·2Rcos α＝2πR2sin 2α.當(dāng)sin 2α＝1時(shí)，S圓柱側(cè)最大為2πR2，此時(shí)，S球表－S圓柱側(cè)＝4πR2－2πR2＝2πR2. 方法二　設(shè)圓柱底面半徑為r，則其高為2. ∴S圓柱側(cè)＝2πr·2， S′圓柱側(cè)＝4π－. 令S′圓柱側(cè)＝0，得r＝R.當(dāng)00； 當(dāng)R

19、(當(dāng)且僅當(dāng)r2＝R2－r2，即r＝R時(shí)取“＝”)．∴當(dāng)r＝R時(shí)，S圓柱側(cè)最大為2πR2. 此時(shí)S球表－S圓柱側(cè)＝4πR2－2πR2＝2πR2. 8.a 解析　 如圖所示，設(shè)正四面體ABCD內(nèi)接于球O，由D點(diǎn)向底面ABC作垂線，垂足為H，連結(jié)AH，OA， 則可求得AH＝a， DH＝＝， 在Rt△AOH中，2＋2＝R2， 解得R＝a. 9．解　 如圖所示，設(shè)棱臺(tái)的兩底面的中心分別是O1、O，B1C1和BC的中點(diǎn)分別是E1和E，連結(jié)O1O、E1E、O1B1、OB、O1E1、OE，則四邊形OBB1O1和OEE1O1都是直角梯形．(4分) ∵A1B1＝4 cm，AB＝16

20、cm， ∴O1E1＝2 cm，OE＝8 cm， O1B1＝2 cm，OB＝8 cm，(8分) ∴B1B2＝O1O2＋(OB－O1B1)2＝361 cm2， E1E2＝O1O2＋(OE－O1E1)2＝325 cm2，(10分) ∴B1B＝19 cm，E1E＝5 cm. 答　這個(gè)棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為19 cm，斜高為5 cm. (12分) 10．解　(1)畫x′軸，y′軸，使∠x′O′y′＝45°.(4分) (2)在O′x′軸上取D′、B′，使O′D′＝OD，O′B′＝OB(如圖所示)，在O′y′軸上取C′，使O′C′＝OC. 在O′x′軸下方過點(diǎn)D′作D′A′∥O′y′， 使D′A′＝DA.(10分) (3)連結(jié)O′A′，A′B′，C′B′，所得四邊形O′A′B′C′就是四邊形OABC的直觀圖．(14分) 11. 解　(1)畫出圓柱和圓錐的軸截面，如圖，設(shè)圓柱的底面半徑為r，則由三角形相似可得＝，解得r＝2－.(6分) 圓柱的軸截面面積 S＝2r·x＝2(2－)·x ＝－x2＋4x.(12分) (2)∵S＝－x2＋4x＝－(x－3)2＋6 ∴當(dāng)x＝3時(shí)，S的最大值為6.(16分)