概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題及答案 第一章 1．略.見教材習(xí)題參考答案. 2.設(shè)A，B，C為三個(gè)事件，試用A，B，C的運(yùn)算關(guān)系式表示下列事件： （1） A發(fā)生，B，C都不發(fā)生； （2） A，B，C都發(fā)生； （3） A，B，C至少有一個(gè)發(fā)生； （4） A，B，C都不發(fā)生； （5） A，B，C不都發(fā)生； （6） A，B，C至多有1個(gè)不發(fā)生； 【解】（1） （2） （3） (4) = (5) (6) ∪∪∪ = 3.略.見教材習(xí)題參考答案 4.設(shè)A，B為隨機(jī)事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（）. 【解】 P（）=1-P（AB）=1-[P(A)-P(A-B)] =1-[0.7-0.3]=0.6 5.設(shè)A，B是兩事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求： （1） 在什么條件下P（AB）取到最大值？ （2） 在什么條件下P（AB）取到最小值？ 【解】（1） 當(dāng)AB=A時(shí)，,取到最大值為0.6. （2） 當(dāng)A∪B=Ω時(shí)，,取到最小值為0.3. 6.設(shè)A，B，C為三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件發(fā)生的概率. 【解】 因?yàn)镻（AB）=P（BC）=0，所以P(ABC)=0， 由加法公式可得 =++-= 7.從52張撲克牌中任意取出13張，問有5張黑桃，3張紅心，3張方塊，2張梅花的概率是多少？ 【解】 設(shè)表示“取出的13張牌中有5張黑桃，3張紅心，3張方塊，2張梅花”， 則樣本空間中樣本點(diǎn)總數(shù)為 , 中所含樣本點(diǎn) ,所求概率為 8.對(duì)一個(gè)五人學(xué)習(xí)小組考慮生日問題： （1） 求五個(gè)人的生日都在星期日的概率； （2） 求五個(gè)人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五個(gè)人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1） 設(shè)A1={五個(gè)人的生日都在星期日}，基本事件總數(shù)為75，有利事件僅1個(gè)，故 P（A1）==（）5 （亦可用獨(dú)立性求解，下同） （2） 設(shè)A2={五個(gè)人生日都不在星期日}，有利事件數(shù)為65，故 P（A2）==()5 (3) 設(shè)A3={五個(gè)人的生日不都在星期日} P（A3）=1-P(A1)=1-()5 9.略.見教材習(xí)題參考答案. 10.一批產(chǎn)品共N件，其中M件正品.從中隨機(jī)地取出n件（n0.試證明：不論ε>0如何小，只要不斷地獨(dú)立地重復(fù)做此試驗(yàn)，則A遲早會(huì)出現(xiàn)的概率為1. 【證】在n重獨(dú)立試驗(yàn)中,事件都不發(fā)生概率為： 由于為隨機(jī)事件發(fā)生的概率,而題目給定>0,因此其定義域?yàn)? 假設(shè)n足夠大,即，在 上,由極限定義可得 即假設(shè)n足夠大,n次獨(dú)立試驗(yàn)中都不發(fā)生的概率為時(shí), 因而在n足夠大時(shí), 至少發(fā)生一次的概率為 。 證畢。 46.袋中裝有m只正品硬幣，n只次品硬幣（次品硬幣的兩面均印有國(guó)徽）.在袋中任取一只，將它投擲r次，已知每次都得到國(guó)徽.試問這只硬幣是正品的概率是多少？ 【解】設(shè)A={投擲硬幣r次都得到國(guó)徽} B={這只硬幣為正品} 由題知 則由貝葉斯公式知 47.求n重貝努里試驗(yàn)中A出現(xiàn)奇數(shù)次的概率. 【解】 設(shè)在一次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的概率為p.則由 .................① .....................② ①—②，得所求概率為 若要計(jì)算在n重貝努里試驗(yàn)中A出現(xiàn)偶數(shù)次的概率，則只要將兩式相加，即得 . 48.某人向同一目標(biāo)獨(dú)立重復(fù)射擊每次射擊命中目標(biāo)的概率為，求此人第4次射擊恰好第2次命中目標(biāo)的概率。 【解】 根據(jù)獨(dú)立重復(fù)的伯努利試驗(yàn)，前3次射擊中1次成功2次失敗其概率為，再加上第4次射擊命中目標(biāo)，其概率為，根據(jù)獨(dú)立性，所求概率為 . 49. 設(shè)是隨機(jī)事件, 互不相容，,，求. 【解】因?yàn)榛ゲ幌嗳荩?當(dāng)然,于是 . 50.設(shè)A，B是任意兩個(gè)隨機(jī)事件，求P{（+B）（A+B）（+）（A+）}的值. 【解】因?yàn)椋ˋ∪B）∩（∪）=A∪B （∪B）∩（A∪）=AB∪ 所求  故所求值為0. 51.設(shè)兩兩相互獨(dú)立的三事件，A，B和C滿足條件： ABC=F，P(A)=P(B)=P(C)< 1/2，且P（A∪B∪C）=9/16，求P（A）. 【解】由 故或,按題設(shè)P（A）<,故P（A）=. 52.設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的事件A和B都不發(fā)生的概率為1/9，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相等，求P（A）. 【解】 ① ② 故 故 ③ 由A,B的獨(dú)立性，及①、③式有 故 故 或（舍去） 即P（A）=. 53.隨機(jī)地向半圓00,P(A|B)=1,試比較P(A∪B)與P(A)的大小. (2006研考) 解：因?yàn)? 所以 . 57.設(shè)隨機(jī)事件相互獨(dú)立，且求. 【解】 因?yàn)?相互獨(dú)立，所以 、相互獨(dú)立. 而 所以 因此 。