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1、物理教研室物理教研室振動是一種十分普遍的運動形式。其主要特征是物振動是一種十分普遍的運動形式。其主要特征是物理量隨時間作周期性變化。理量隨時間作周期性變化。波是振動在空間的傳播，同時也是能量的傳播。波是振動在空間的傳播，同時也是能量的傳播。盡管產(chǎn)生各類振動、波動具體機制不同，但可以分盡管產(chǎn)生各類振動、波動具體機制不同，但可以分析研究它們的共同特征、波動方程和普遍性質(zhì)。析研究它們的共同特征、波動方程和普遍性質(zhì)。本章主要研究機械振動和機械波，但其中的很多規(guī)本章主要研究機械振動和機械波，但其中的很多規(guī)律都適用于其他波。律都適用于其他波。物理教研室物理教研室“周期性周期性”是這種運動形式的典型特征是這

2、種運動形式的典型特征 物理量按余弦函數(shù)的規(guī)律隨時間變化物理量按余弦函數(shù)的規(guī)律隨時間變化 一個復雜的周期性運動可以分解成若干個簡諧振動的合成一個復雜的周期性運動可以分解成若干個簡諧振動的合成物理教研室物理教研室一根輕彈簧連接一個質(zhì)點，置于光滑水平面上。一根輕彈簧連接一個質(zhì)點，置于光滑水平面上。k 為為勁勁度度系數(shù)系數(shù)(coefficient of stiffness)xFx0kmkxF小幅振動滿足胡克定律：小幅振動滿足胡克定律：物體所受的合外力與和位移成正比，方向始終指向平衡位置，稱物體所受的合外力與和位移成正比，方向始終指向平衡位置，稱為為線性回復力線性回復力。 由牛頓第二定律：由牛頓第二定律

3、：kxma物理教研室物理教研室令令mk2微分方程的解微分方程的解0dd22xmktx0mak x即：即： 或：或：這樣的運動規(guī)律符合簡諧函數(shù)形式，叫做這樣的運動規(guī)律符合簡諧函數(shù)形式，叫做簡諧振動簡諧振動(simple harimonic vibration ) 。物理教研室物理教研室A 振幅振幅(amplitude) 離開平衡位置的最大位移離開平衡位置的最大位移三個重要的特征量三個重要的特征量 角頻率角頻率 （或稱圓頻率）（或稱圓頻率）(angular frequency)在在 2 秒時間內(nèi)完成全振動的次數(shù)秒時間內(nèi)完成全振動的次數(shù) 初相初相 (initial phase)反映初始時刻振動系統(tǒng)的

4、運動狀態(tài)反映初始時刻振動系統(tǒng)的運動狀態(tài)物理教研室物理教研室頻率頻率 ： 1 秒內(nèi)完成全振動的次數(shù)，單位：秒內(nèi)完成全振動的次數(shù)，單位：Hz。周期周期 T ： 完成一次全振動所經(jīng)歷的時間完成一次全振動所經(jīng)歷的時間, 單位單位 s。xtoA-AT物理教研室物理教研室t 稱為稱為振動的振動的 相位相位，t = 0 時刻的相位為時刻的相位為初相初相用用“相位相位”描述物體的運動狀態(tài)。描述物體的運動狀態(tài)。用用“相位相位”來比較兩個同頻率簡諧振動的來比較兩個同頻率簡諧振動的“步調(diào)步調(diào)”, ,相位差。相位差。1 1） 存在一一對應的關系存在一一對應的關系; ;),(vxt202 2）相位在相位在 內(nèi)變化，質(zhì)點

5、內(nèi)變化，質(zhì)點無相同無相同的運動狀態(tài)；的運動狀態(tài)； 3 3）初）初相位相位 描述質(zhì)點描述質(zhì)點初始初始時刻的運動狀態(tài)時刻的運動狀態(tài). . 0(0)t( ( 取取 或或 ) )002) (2nn相差相差 為整數(shù)為整數(shù) 質(zhì)點運動狀態(tài)質(zhì)點運動狀態(tài)全同全同. .（周期性）周期性）物理教研室物理教研室dsin()cos()d2xvAtAtt 22dcos()cos()dvaAtAtt 以上兩式表明，速度和加速度隨時間的變化也滿足簡諧運動以上兩式表明，速度和加速度隨時間的變化也滿足簡諧運動的規(guī)律，的規(guī)律，但與位移有相位差：但與位移有相位差：速度超前位移速度超前位移/2，加速度與位移反相，加速度與位移反相2ax

6、 222d0dxxt物體作簡物體作簡諧振動的動力學方程諧振動的動力學方程稱為稱為“速度幅速度幅”mvA稱為稱為“加速度幅加速度幅”2maA物理教研室物理教研室A ， 決定于系統(tǒng)的初始條件決定于系統(tǒng)的初始條件( t=0 ) cos(tAxcos0Ax )sin(tAvsin0Av在在02內(nèi)為內(nèi)為多值函多值函數(shù)，注意取舍！數(shù)，注意取舍！解析法：解析法：0cosxA0sinvA物理教研室物理教研室cos0A2 0sin0Av2 0sin取取0, 0, 0vxt已知已知 求求討論討論xvo)2 cos(tAxAAxT2Tto物理教研室物理教研室旋 轉(zhuǎn) 矢 量 與 X-T曲 線 .SWFyxPtA旋轉(zhuǎn)矢

7、量的模為旋轉(zhuǎn)矢量的模為A， t =0 時，時，旋轉(zhuǎn)矢量與旋轉(zhuǎn)矢量與 x 軸的夾角為軸的夾角為 ，旋轉(zhuǎn)矢量的角速度為旋轉(zhuǎn)矢量的角速度為 。矢量端點在矢量端點在 x 軸上的投軸上的投影點作簡諧振動！影點作簡諧振動！)cos(tAxP旋轉(zhuǎn)矢量的某一位置對應簡諧振動的一個運動狀態(tài)旋轉(zhuǎn)矢量的某一位置對應簡諧振動的一個運動狀態(tài)物理教研室物理教研室利用旋轉(zhuǎn)矢量很容易求出簡諧振動的位相和初位相利用旋轉(zhuǎn)矢量很容易求出簡諧振動的位相和初位相例例4. 已知位相求狀態(tài)已知位相求狀態(tài)如：位相如：位相3t1 ，問狀態(tài)？，問狀態(tài)？3 xxx2Ax,且向且向 負向運動。負向運動。位相位相23t2 ，問狀態(tài)？，問狀態(tài)？0 x，

8、且向，且向 正向運動。正向運動。x例例5. 已知狀態(tài)求位相（特別是初位相）已知狀態(tài)求位相（特別是初位相），求，求 ？如：如：0t2Ax0 0v03 或或35 如：如：0t，2Ax0，0v 0) cos(tAx ) cos(12. 0txm物理教研室物理教研室3 cos210sin0Av3 振動表達式為振動表達式為 由初始條件由初始條件用用解析法解析法求初相求初相 ) cos(tAx)sin(tAvcos 12. 006. 0由由 v0 0 決定取舍決定取舍)3cos(12.0txm物理教研室物理教研室由初始條件由初始條件用用旋轉(zhuǎn)矢量法旋轉(zhuǎn)矢量法求初相求初相 當當 t = 0 時時, 位移為位移

9、為 6 cm ，且向且向 x 軸正方向運動軸正方向運動OxAA/233 物理教研室物理教研室15 . 05 . 05 . 0ms 189. 0)3sin(12. 0ddtttttxv25 . 025 . 05 . 0ms 103. 0)3cos(12. 0ddtttttva 2. t = 0.5 s 時質(zhì)點的位移、速度和加速度時質(zhì)點的位移、速度和加速度m 104. 0)3cos(12. 05 . 05 . 0tttx物理教研室物理教研室yx343. 質(zhì)點從質(zhì)點從 x = - 6 cm 向向 x 軸負方向運動，第一次軸負方向運動，第一次回到平衡位置所需要的時間?；氐狡胶馕恢盟枰臅r間。3223

10、 x = - 6 cm 向向 x 軸負方向運動軸負方向運動第一次回到平衡位置第一次回到平衡位置所需要的時間所需要的時間s 83. 0s 6532231t物理教研室物理教研室 兩質(zhì)點作兩質(zhì)點作同方向、同頻率同方向、同頻率的簡諧振動，振幅相等。的簡諧振動，振幅相等。當質(zhì)點當質(zhì)點 1 在在 x1 = A/2 處，處，向向 x 軸負方向運動時，另一個軸負方向運動時，另一個質(zhì)點質(zhì)點 2 在在 x2 = 0 處，向處，向x 軸正方向運動。求這兩質(zhì)點振軸正方向運動。求這兩質(zhì)點振動的相位差。動的相位差。Ox3 12 , 23 265) 2 (3 21質(zhì)點質(zhì)點 1 的振動超前質(zhì)點的振動超前質(zhì)點 2 的振動的振動

11、 65 物理教研室物理教研室例例7. 已知已知 x t 曲線，寫出振動方程，曲線，寫出振動方程，并求它們的位相差？并求它們的位相差？x 解：解：m2 . 0A)s/1(2T2 231 或或2 )23t2cos(2 . 0 x1 352 3 或或)35t2cos(2 . 0 x2 6233512 m/xs/ to1234561 . 02 . 012s4T 1A2Am1 . 0物理教研室物理教研室6233512 （1）位相差反映了兩振動達到同一狀態(tài)有時間差）位相差反映了兩振動達到同一狀態(tài)有時間差 t)s3126( 討論：討論：物理教研室物理教研室xokx運動學特征運動學特征mk 簡諧振動的動力學簡

12、諧振動的動力學 1. 特征特征pNF動力學特征動力學特征 合合Fxxmka2 由由 kxmaF合合微分方程特征微分方程特征 0 xdtxd222 x可代表任意物理量可代表任意物理量kxm以彈簧振子為例得出普遍結論：以彈簧振子為例得出普遍結論：物理教研室物理教研室1、運動表達式為、運動表達式為 ，其中，其中 A 、 和和 是常數(shù)。是常數(shù)。) cos(tAx2、作用力的形式為、作用力的形式為 ，k 為常系數(shù)。為常系數(shù)。kxF3、動力學方程可寫成、動力學方程可寫成 ， 為常系數(shù)，其平方根即為角頻率。為常系數(shù)，其平方根即為角頻率。0 dd22xtx物理教研室物理教研室22ddsintsmmgsl22d

13、dsintmlmgsin在小幅振動時：在小幅振動時：0dd22lgtOl smgT物理教研室物理教研室02020m)( 角振幅角振幅（2）0t初角位移初角位移0 00初角速度初角速度，0tg00 0 ？)tcos(m 振動方程振動方程 cos001cos 故應取初位相故應取初位相0 )tlgcos(0 振動方程振動方程物理教研室物理教研室mglM22ddtJmgl222ddtJmgl2令令oC*l（C點為質(zhì)心）點為質(zhì)心）mg物理教研室物理教研室 （或（或T ） 決定于振動系統(tǒng)的動力學性質(zhì)，叫做系統(tǒng)的決定于振動系統(tǒng)的動力學性質(zhì)，叫做系統(tǒng)的固有角頻率固有角頻率（或（或固有周期固有周期 ） 前述的彈

14、簧振子例子：前述的彈簧振子例子： ， A ， A ， 決定于系統(tǒng)的初始條件決定于系統(tǒng)的初始條件( t=0 ) cos(tAxcos0Ax )sin(tAvsin0Av在在02內(nèi)為內(nèi)為多值函多值函數(shù)，注意取舍！數(shù)，注意取舍！物理教研室物理教研室v)(sin21212222ktAmmvE)(cos2121222ptkAkxEkm2 振子動能振子動能振子勢能振子勢能0 xxkm振子的總能量為常量！振子的總能量為常量！物理教研室物理教研室txtE1、簡諧振動系統(tǒng)的機械能守恒。、簡諧振動系統(tǒng)的機械能守恒。2、簡諧振動系統(tǒng)的總能量與振幅的平方成正比。、簡諧振動系統(tǒng)的總能量與振幅的平方成正比。E pE k物

15、理教研室物理教研室22k011sin ()d2TEkAttT22p011cos ()d2TEkAttT簡諧振動系統(tǒng)的勢能和動能的平均值，簡諧振動系統(tǒng)的勢能和動能的平均值，皆等于總能量的一半。皆等于總能量的一半。物理教研室物理教研室聲源聲源1聲源聲源2PP 點的運動就是兩個同方向振動的合成點的運動就是兩個同方向振動的合成物理教研室物理教研室A)cos(111tAx)cos(222tAx21xxx若兩個若兩個 x 方向的簡諧振動的角頻率都是方向的簡諧振動的角頻率都是 同方向、同頻率簡諧振動的合成仍是簡諧振動：同方向、同頻率簡諧振動的合成仍是簡諧振動：x1A2A12物理教研室物理教研室2211221

16、1coscossinsintanAAAAAx1A2A12 物理教研室物理教研室, 2, 1, 0 212kk21AAA21AAA1 1、若兩振動、若兩振動 同相同相21(21) 0, 1, 2,kk 2 2、若兩振動、若兩振動 反相反相合振幅最大合振幅最大合振幅最小合振幅最小物理教研室物理教研室例題例題 兩個同方向的簡諧振動曲線（兩個同方向的簡諧振動曲線（ 如圖所示）如圖所示） 1 1、求合振動的振幅。、求合振動的振幅。2 2、求合振動的振動表達式。、求合振動的振動表達式。12AAA兩個簡諧振動同方向，同頻率兩個簡諧振動同方向，同頻率 =2/T ，反相，反相合振動振幅：合振動振幅：合振動初相：

17、合振動初相：2x1A2AA2A1AxT)(1tx)(2txt解解)22cos(12tTAAx合振動的振動表達式：合振動的振動表達式：物理教研室物理教研室因為振動頻率不同，參與合成的兩個振動的相位差不再恒因為振動頻率不同，參與合成的兩個振動的相位差不再恒定，因此，定，因此，合成的旋轉(zhuǎn)矢量的長度和轉(zhuǎn)動角速度也將不斷合成的旋轉(zhuǎn)矢量的長度和轉(zhuǎn)動角速度也將不斷改變改變，合成后的運動不再是簡諧振動合成后的運動不再是簡諧振動，如圖所示。，如圖所示。ty教材教材P.79P.79還給出了上述兩個簡諧振動在另外兩種不同初相位差還給出了上述兩個簡諧振動在另外兩種不同初相位差情況下的合成運動曲線情況下的合成運動曲線與

18、初相位差還有關系！與初相位差還有關系！1A2A 2 1物理教研室物理教研室現(xiàn)考慮兩個頻率非常接近、振幅相等、初相位相同現(xiàn)考慮兩個頻率非常接近、振幅相等、初相位相同的振動合成問題：的振動合成問題：tAtAxxx21212cos2costtAx22cos22cos21212因為頻率差很小，所以上述表達式可看成因為頻率差很小，所以上述表達式可看成振幅振幅隨時間緩慢變化的近似諧振動隨時間緩慢變化的近似諧振動拍現(xiàn)象。拍現(xiàn)象。物理教研室物理教研室拍：振動的振幅作拍：振動的振幅作周期性變化的現(xiàn)象周期性變化的現(xiàn)象 拍頻：振動的振幅拍頻：振動的振幅變化的頻率。變化的頻率。 ttAx22cos22cos21212

19、x1x2xttt減弱減弱加強物理教研室物理教研室)cos(22tAy)cos(11tAx)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx兩個頻率相同的簡諧振動在相兩個頻率相同的簡諧振動在相互垂直的兩個方向上：互垂直的兩個方向上：yx求兩者的合振動：消去求兩者的合振動：消去t 得到得到上式為橢圓方程，注意上式與兩者的相位差有關。上式為橢圓方程，注意上式與兩者的相位差有關。物理教研室物理教研室李薩如圖1.SWF012124243452347物理教研室物理教研室李薩如圖2.SWF兩個相互垂直的簡諧兩個相互垂直的簡諧振動的頻率成簡單整振動的頻率成簡單整數(shù)比，此時的合振動數(shù)比，此時的合振

20、動具有穩(wěn)定封閉的軌跡具有穩(wěn)定封閉的軌跡圖形：圖形：李薩如圖形李薩如圖形物理教研室物理教研室()( )xx tTx t ，以，以=2/T為其振動角頻率，例如為其振動角頻率，例如方方波波 u(t) , 稱為基頻。稱為基頻。tu(t)0TT/2-T/2-TU-U物理教研室物理教研室01122( )cossincos2sin2x tbbtctbtct上述傅里葉級數(shù)中的系數(shù)上述傅里葉級數(shù)中的系數(shù)b0、b1、c1等是常量，代表等是常量，代表了相應的簡諧振動在合振動了相應的簡諧振動在合振動 x(t) 中所占的比重。中所占的比重。例如，前述方波，就可以分解為以下的傅里葉級數(shù)：例如，前述方波，就可以分解為以下的

21、傅里葉級數(shù)：411( )(sinsin3sin5)35Uu tttt即該方波分解成了基頻即該方波分解成了基頻、倍頻、倍頻3、 5等無窮多個等無窮多個簡諧振動的合成。簡諧振動的合成。物理教研室物理教研室tu(t)0TT/2-T/2U-Utu(t)0T/2-T/20強度35911物理教研室物理教研室 x(t) 可以是一段有限長度的波列，也可以是非周期性的運可以是一段有限長度的波列，也可以是非周期性的運動，都可以對它們進行傅里葉分析。此時的傅里葉分解的動，都可以對它們進行傅里葉分析。此時的傅里葉分解的頻率可以從零到無限大的任意連續(xù)值。頻率可以從零到無限大的任意連續(xù)值。 1( )( )d2i tx t

22、GeG() 叫做叫做 x(t) 的傅里葉變換。的傅里葉變換。x(t)叫做叫做G()的傅里葉逆變換。的傅里葉逆變換。tt強度物理教研室物理教研室txvfrdd txkxtxmdd dd22Oxrfkxf物理教研室物理教研室xt小阻尼小阻尼過阻尼過阻尼臨界阻尼臨界阻尼物理教研室物理教研室系統(tǒng)受周期性外力的作用系統(tǒng)受周期性外力的作用tFFsin0FtFtxkxtxmsindddd022Oxrfkxf物理教研室物理教研室0A無阻尼無阻尼小阻尼小阻尼共振：當策動力的頻率等于振動系統(tǒng)的本征頻率時，共振：當策動力的頻率等于振動系統(tǒng)的本征頻率時，振幅振幅 A 取極大值，產(chǎn)生共振。取極大值，產(chǎn)生共振。物理教研室

23、物理教研室兩個條件：波源兩個條件：波源(wave source)（振動）、（振動）、 彈性介質(zhì)彈性介質(zhì)(elastic medium)機械波機械波電磁波電磁波波動波動機械振動在機械振動在彈性彈性介質(zhì)中的傳播介質(zhì)中的傳播. .交變電磁場在空間的傳播交變電磁場在空間的傳播. .物理教研室物理教研室機械波的傳播需有傳播振動的介質(zhì)機械波的傳播需有傳播振動的介質(zhì); ;電磁波的傳播不需介質(zhì)。電磁波的傳播不需介質(zhì)。都是振動狀態(tài)的傳播都是振動狀態(tài)的傳播都是能量傳播都是能量傳播都能發(fā)生反射、折射、干涉、衍射都能發(fā)生反射、折射、干涉、衍射物理教研室物理教研室質(zhì)點的振動方向和波動的傳播方質(zhì)點的振動方向和波動的傳播方

24、向垂直，交替出現(xiàn)波峰和波谷。向垂直，交替出現(xiàn)波峰和波谷。質(zhì)點的振動方向和波動的傳播質(zhì)點的振動方向和波動的傳播方向平行，疏密相間。方向平行，疏密相間。介質(zhì)中各質(zhì)點都作簡諧振動介質(zhì)中各質(zhì)點都作簡諧振動物理教研室物理教研室物理教研室物理教研室物理教研室物理教研室物理教研室物理教研室1、波動是振動狀態(tài)的傳播。介質(zhì)中各質(zhì)點在、波動是振動狀態(tài)的傳播。介質(zhì)中各質(zhì)點在 平衡位置附近振動，并未平衡位置附近振動，并未“隨波逐流隨波逐流”。2、波動是相位的傳播。在波的傳播方向上，、波動是相位的傳播。在波的傳播方向上， 各質(zhì)點的振動相位依次落后。各質(zhì)點的振動相位依次落后。3、波動是能量的傳播。、波動是能量的傳播。xy

25、1t2t物理教研室物理教研室波長波長 ：在同一：在同一波線上兩個相鄰的、相位差為波線上兩個相鄰的、相位差為 2的的 振動質(zhì)點之間的距離。振動質(zhì)點之間的距離。波長反映了波動在空波長反映了波動在空 間上的周期性間上的周期性xy 波的周期波的周期 T：波前進一個波長的距離所需的時間。：波前進一個波長的距離所需的時間。波的頻率波的頻率 ：周期的倒數(shù)周期的倒數(shù)周期和頻率反映了波動在時間上的周期性。周期和頻率反映了波動在時間上的周期性。22T物理教研室物理教研室波速波速 u ：振動的傳播速度。在一個時間周期：振動的傳播速度。在一個時間周期T內(nèi)波向外內(nèi)波向外 傳播了一個空間周期傳播了一個空間周期，因此波速為

26、：，因此波速為：波速和波長由介質(zhì)的性質(zhì)決定，波速和波長由介質(zhì)的性質(zhì)決定，波的頻率與介質(zhì)的性質(zhì)無關，由波源決定。波的頻率與介質(zhì)的性質(zhì)無關，由波源決定。物理教研室物理教研室波線：波線： 表示波的傳播方向的直線表示波的傳播方向的直線波陣面：振動相位相同的點組成的面波陣面：振動相位相同的點組成的面波前波前 ： 某一時刻最前面的波陣面某一時刻最前面的波陣面球面波球面波波源波源波前波前波線波線u波陣面平面波平面波波線波線波前波前u波陣面物理教研室物理教研室介質(zhì)中波前上各點都可以當作獨立的波源，發(fā)出球面子介質(zhì)中波前上各點都可以當作獨立的波源，發(fā)出球面子波（波（wavelet），在其后的任一時刻，這些子波的包

27、絡就），在其后的任一時刻，這些子波的包絡就形成新的波前形成新的波前。O1R2Rtu球面波的傳播球面波的傳播平面波的傳播平面波的傳播物理教研室物理教研室平面簡諧波：波陣面為平面的簡諧波。平面簡諧波：波陣面為平面的簡諧波。xyO設平面簡諧波以速度設平面簡諧波以速度 u 沿沿 Ox 方向傳播。方向傳播。已知已知 t=t0 時的波動情況，要給出波線上任意坐標時的波動情況，要給出波線上任意坐標x 處處的質(zhì)點的質(zhì)點P的位移的位移 y 隨時間隨時間 t 的變化規(guī)律的變化規(guī)律波方程波方程 y ( x , t )函數(shù)形式函數(shù)形式。uPt=t0 時刻時刻物理教研室物理教研室0( )cos()oytAt設設 O 點

28、的振動點的振動表達式為：表達式為：振動從振動從 O 點傳波到點傳波到 P 點需點需時間時間 ，所以：所以：t 時刻在時刻在 x 處的處的P點的振動情況與點的振動情況與O點處的點處的t t時刻的情況相同時刻的情況相同，因此，因此P點的運動表達式應該為：點的運動表達式應該為：tx u ( , )()cos()Pooxxyx ty tAtuuxyOuPt=t0 時刻時刻t+t 時刻時刻物理教研室物理教研室2( , )cos()oxy x tAtTucos2 ()otxAT也可改用周期也可改用周期T、頻率、頻率和波長和波長表示：表示：物理教研室物理教研室xyOuPt=t0 時刻時刻物理教研室物理教研室

29、u00( , )cos( )xy xtAt同樣可得在同樣可得在 x 軸正方向傳播的平面簡諧波的波動方程：軸正方向傳播的平面簡諧波的波動方程：uxxtPx00 xyOPx0物理教研室物理教研室1、體現(xiàn)波動在時間上和空間上都具有周期性、體現(xiàn)波動在時間上和空間上都具有周期性2、分別用、分別用 x = x1 、 x = x2 （定值）代入，（定值）代入， 得得 x1、 x2 點的振動表達式點的振動表達式 1122(, )cos()oy x tAtxT2222(, )cos()oy xtAtxT物理教研室物理教研室在波的傳播方向上，在波的傳播方向上，兩定點兩定點 x1 和和 x2的振動相位依的振動相位依

30、次落后，次落后，相位差為相位差為: 在波線上，對應一個波長的間距，相位差為在波線上，對應一個波長的間距，相位差為 2 .3、用、用 t = t1（定值）代入，得（定值）代入，得 t1 時刻的波形圖：時刻的波形圖： yxo t1 t1+t utu物理教研室物理教研室平面波的波動力學方程平面波的波動力學方程1、由平面簡諧波的波函數(shù)對、由平面簡諧波的波函數(shù)對 x 和和 t 求偏導數(shù)可得這一方程，求偏導數(shù)可得這一方程， 但方程的解并不僅限于平面簡諧波的波函數(shù)。前述的簡諧但方程的解并不僅限于平面簡諧波的波函數(shù)。前述的簡諧 波的表達式只是它的一個解。波的表達式只是它的一個解。2、任何物理量、任何物理量 y

31、 ，不管是力學量、電學量或其他量，只要它，不管是力學量、電學量或其他量，只要它 與時間和坐標的關系滿足這一方程，則這一物理量就按波與時間和坐標的關系滿足這一方程，則這一物理量就按波 的形式傳播。方程中的的形式傳播。方程中的 u 就是這種波的傳播速度。就是這種波的傳播速度。物理教研室物理教研室cm/ycm/x5 . 0102581114s/cm10u xp例例. 波形如圖波形如圖0t cm1A cm12 s2 . 11012uT s/rad35T2 先寫先寫 點振動方程點振動方程o0 3 y3 )3t35cos()tcos(Ay00 波動方程波動方程3)10 xt (35cos3)uxt (35

32、cosy s ,g,cm(制制)（1）寫出波動方程。）寫出波動方程。關鍵確定關鍵確定由圖可知由圖可知解：（解：（1）o物理教研室物理教研室cm/ycm/x5 . 0102581114s/cm10u )uxt (cosAy011 )uxt (cosAy022 （2） 處處1x2x處處（2）求）求 兩處質(zhì)點振動位相差。兩處質(zhì)點振動位相差。 cm11x,cm5x21解：解：位相差位相差 )115(122)xx(2)xx(2)xx(u21121212x2 波程差波程差位相差位相差反位相反位相物理教研室物理教研室cm/ycm/x5 . 0102581114s/cm10u （3）畫）畫 時波形曲線，時波形

33、曲線， 此刻此刻 處質(zhì)點振處質(zhì)點振 動位移、速度、加速度？動位移、速度、加速度？4T3t cm2x cm/ycm/x5 . 0102581114s/cm10u 4T3t 0t 3)10 xt (35cosy 位移位移振動速度振動速度tyv振動加速度振動加速度03)1024T3(35cos)35(tya222 023cos3)1024T3(35cos s/cm23. 53523sin353)1024T3(35sin35 0t 物理教研室物理教研室cm/ycm/x5 . 0102581114s/cm10u （4）若圖為）若圖為 波形，波形， 波動方程如何？波動方程如何？s2 . 0t 方法方法1：

34、3t0 6Ts2 . 0t36TT20 00 )t35cos(yo )10 xt(35cosy 將波形倒退將波形倒退 得出得出 波形，再寫方程！波形，再寫方程！6 0t 波形波形cm/ycm/x5 . 0102581114s/cm10u 0t s2 . 0t 方法方法2：00 .解：關鍵是求解：關鍵是求o點的初位相點的初位相物理教研室物理教研室例題例題 已知已知 t = 0 時的波形曲線為時的波形曲線為，波沿，波沿 x 正向傳播，在正向傳播，在 t = 0.5 s 時波形變?yōu)榍€時波形變?yōu)榍€。已知波的周期。已知波的周期 T 1 s ，試根，試根據(jù)圖示條件求波動方程和據(jù)圖示條件求波動方程和 P

35、 點的振動表達式。點的振動表達式。（已知（已知 A = 0.01 m）m 01. 0Am 04. 01sm 02. 05 . 001. 0us 202. 004. 0uT1s2Ty(cm)x(cm)123456POu解解物理教研室物理教研室設坐標原點振動表達式：設坐標原點振動表達式：)cos() (0tAtycos0A根據(jù)初始條件，根據(jù)初始條件，0sinAv22y(cm)x(cm)123456POu0( )0.01cos()2ytt因此因此O點振動表達式：點振動表達式：物理教研室物理教研室)2cos(01. 0) (0tty( , )0.01cos()0.022xy x tt所以，可得波動方程

36、：所以，可得波動方程：P點振動表達式：點振動表達式：0.01( )0.01cos()0.022Pytt( )0.01cosPytt物理教研室物理教研室機械波傳播到彈性介質(zhì)中某處，該點介質(zhì)由不動機械波傳播到彈性介質(zhì)中某處，該點介質(zhì)由不動到振動，因而具有動能，同時該點介質(zhì)將產(chǎn)生形到振動，因而具有動能，同時該點介質(zhì)將產(chǎn)生形變，因而具有彈性勢能。介質(zhì)由近及遠地振動，變，因而具有彈性勢能。介質(zhì)由近及遠地振動，相應地，能量向外傳播。相應地，能量向外傳播。設有一平面簡諧波設有一平面簡諧波 ，以波速，以波速u在密度為在密度為的均勻介質(zhì)中傳播。在介質(zhì)中取體的均勻介質(zhì)中傳播。在介質(zhì)中取體積為積為V、質(zhì)量為、質(zhì)量為

37、m=V的介質(zhì)元，波傳播到的介質(zhì)元，波傳播到此體元時，體元具有動能此體元時，體元具有動能Ek和勢能和勢能Ep。 ( , )cos()xy x tAtu物理教研室物理教研室介質(zhì)元的總機械能：介質(zhì)元的總機械能：介質(zhì)元的總機械能隨時間作周期性變化，表明對介質(zhì)元的總機械能隨時間作周期性變化，表明對任意介質(zhì)元，都在不斷的接受和放出能量任意介質(zhì)元，都在不斷的接受和放出能量波動傳遞能量，波是能量傳播的一種形式。波動傳遞能量，波是能量傳播的一種形式?？梢宰C明：可以證明： 2221()sin()2kpxEEV Atu物理教研室物理教研室平均能量密度：能量密度在一個周期內(nèi)的平均值。平均能量密度：能量密度在一個周期內(nèi)

38、的平均值。機械波的平均能量密度與振幅的平方、頻率的平方機械波的平均能量密度與振幅的平方、頻率的平方及介質(zhì)的密度都成正比。及介質(zhì)的密度都成正比。能量密度：能量密度： 單位體積內(nèi)波的總能量。單位體積內(nèi)波的總能量。222sin()xAtu物理教研室物理教研室在在單位時間單位時間內(nèi)通過垂直于波線的內(nèi)通過垂直于波線的單位面積單位面積上的波的平上的波的平均能量，即為均能量，即為能流密度能流密度 I，也叫波的也叫波的強度強度：uuS單位時間內(nèi)通過介質(zhì)中某面積的能單位時間內(nèi)通過介質(zhì)中某面積的能量稱為通過該面積的量稱為通過該面積的能流能流。在圖中。在圖中垂直于波速垂直于波速u方向取面積方向取面積S，單位時，單位

39、時間內(nèi)通過間內(nèi)通過S面的能量，等于體積面的能量，等于體積uS中的能量。則一個周期內(nèi)通過中的能量。則一個周期內(nèi)通過S的平的平均能流為均能流為 。uS它是表征波動中能量傳播的一個重要物理量。它是表征波動中能量傳播的一個重要物理量。物理教研室物理教研室例題例題 試利用能流密度的概念求出球面波的表達式。試利用能流密度的概念求出球面波的表達式。解解 設在設在t1時刻球面波到達時刻球面波到達r1處，即球面波的波前是半處，即球面波的波前是半徑為徑為r1的球面（面積的球面（面積 ），在），在t2時刻波前半徑是時刻波前半徑是r2 （面積（面積 ） 。設介質(zhì)本身不吸收能量，則單位時間。設介質(zhì)本身不吸收能量，則單位

40、時間內(nèi)通過內(nèi)通過S1面的能量，必然通過面的能量，必然通過S2。因此有如下等式：。因此有如下等式：2114Sr2224Sr2222221122114422uAruAr式中的式中的A1和和A2分別表示兩球面波的振幅。由上式可得：分別表示兩球面波的振幅。由上式可得：1122A rA r即球面波的振幅與離開波源的即球面波的振幅與離開波源的距離成反比。距離成反比。波動方程可為：波動方程可為：物理教研室物理教研室?guī)琢胁梢员３指髯缘奶攸c（幾列波可以保持各自的特點（ 頻率、波長、振幅、振頻率、波長、振幅、振動方向等）同時通過同一介質(zhì)，即波的傳播具有獨立動方向等）同時通過同一介質(zhì)，即波的傳播具有獨立性。性。在

41、疊加區(qū)域內(nèi)，任一質(zhì)點振動的位移是各列波單在疊加區(qū)域內(nèi)，任一質(zhì)點振動的位移是各列波單獨存在時在該點產(chǎn)生的位移的合成。疊加過后原來的獨存在時在該點產(chǎn)生的位移的合成。疊加過后原來的方向繼續(xù)前進，好象沒有遇到過其他波一樣。方向繼續(xù)前進，好象沒有遇到過其他波一樣。物理教研室物理教研室干涉現(xiàn)象干涉現(xiàn)象: :幾列波在相遇的疊加區(qū)域內(nèi)，某些點的振動始幾列波在相遇的疊加區(qū)域內(nèi)，某些點的振動始終加強，而另有一些點的振動始終減弱。終加強，而另有一些點的振動始終減弱。S1S2相干條件：相干條件：1.波的振動頻率相同，波的振動頻率相同，2.振動方向相同，振動方向相同，3.振動相位相同或有恒振動相位相同或有恒定的相位差定

42、的相位差。能產(chǎn)生干涉現(xiàn)象的兩列波叫做能產(chǎn)生干涉現(xiàn)象的兩列波叫做相干波（相干波（coherent wave）物理教研室物理教研室物理教研室物理教研室設有兩相干設有兩相干波源波源S1、S2，振動方程為：，振動方程為：)cos(11001tAy)cos(22002tAy兩波在兩波在P點相遇，在點相遇，在P點點的振動分別為：的振動分別為：)2cos(1111rtAy)2cos(2222rtAyS1S2r2r1P兩振動在兩振動在P點的合成后的方程為：點的合成后的方程為：12cos()yyyAt其中：其中： 注意到注意到A的大小與的大小與 有關！有關！物理教研室物理教研室當：當： 21212()()2 0

43、,1,2,rrkk max12AAAA合振幅最大：合振幅最大： 干涉加強干涉加強 ！21 0,1,2,rrkk 干涉加強條件干涉加強條件對于初相相同的相干波源對于初相相同的相干波源 ，上述條件可簡化為：上述條件可簡化為：12 其中其中為為波波程差程差當：當： 21212()()(21) 0,1,2,rrkk min12AAAA合振幅最?。汉险穹钚。?干涉減弱干涉減弱 ！21 (21) 0,1,2,2rrkk 干涉減弱條件干涉減弱條件物理教研室物理教研室21 0,1,2,rrkk 干涉加強條件干涉加強條件21 (21) 0,1,2,2rrkk 干涉減弱條件干涉減弱條件當兩個初相相同的相干波源發(fā)

44、出的波疊加時：當兩個初相相同的相干波源發(fā)出的波疊加時：波程差等于波長整數(shù)倍的各點，合振動振幅最大，波程差等于波長整數(shù)倍的各點，合振動振幅最大，干涉加強；波程差等于半波長奇數(shù)倍的各點，合振干涉加強；波程差等于半波長奇數(shù)倍的各點，合振動振幅最小，干涉減弱。動振幅最小，干涉減弱。波的干涉是波的重要特征，在光學、聲學、現(xiàn)代信息波的干涉是波的重要特征，在光學、聲學、現(xiàn)代信息工程、近代物理等許多學科中有著重要的應用。工程、近代物理等許多學科中有著重要的應用。物理教研室物理教研室頻率相同、振動方向相同、振幅相同而傳播方向相反的兩頻率相同、振動方向相同、振幅相同而傳播方向相反的兩列波相疊加，形成駐波。駐波是一

45、種特殊的干涉現(xiàn)象。列波相疊加，形成駐波。駐波是一種特殊的干涉現(xiàn)象。繩繩 A A設兩列波的方程為設兩列波的方程為)(2cos1xTtAy沿正方向傳播：沿正方向傳播：)(2cos2xTtAy沿負方向傳播：沿負方向傳播：兩列波重疊處的合振動為：兩列波重疊處的合振動為：)(2cos)(2cos21xTtAxTtAyyy物理教研室物理教研室tTxAy2cos2cos21. 此表達式不表示行波，它表示了此表達式不表示行波，它表示了各個不同位置處（坐各個不同位置處（坐標標 x）的點在不同時刻的振動情況。）的點在不同時刻的振動情況。2. 注意到不同位置處各質(zhì)點做不等幅但注意到不同位置處各質(zhì)點做不等幅但同頻率的

46、簡諧振同頻率的簡諧振動動，并且在某些點處的，并且在某些點處的振幅為零，形成波節(jié)振幅為零，形成波節(jié)，在某些點，在某些點處的處的振幅最大，形成波腹振幅最大，形成波腹。3. 駐波沒有能量的定向傳播駐波沒有能量的定向傳播.物理教研室物理教研室1. 兩個波節(jié)（或波幅）的間距為兩個波節(jié)（或波幅）的間距為 。22. 同一段上的各點的振動同相，而隔開一個波節(jié)的各同一段上的各點的振動同相，而隔開一個波節(jié)的各點的振動反相。點的振動反相。2波節(jié)波節(jié)波腹波腹x振幅大小振幅大小的包絡線的包絡線物理教研室物理教研室在介質(zhì)的分界面處出現(xiàn)波節(jié)，必須入射波和反射波在在介質(zhì)的分界面處出現(xiàn)波節(jié)，必須入射波和反射波在分界面處的相位相

47、反。分界面處的相位相反。考慮繩子兩端固定的駐波：考慮繩子兩端固定的駐波：當波從一種介質(zhì)垂直入射到當波從一種介質(zhì)垂直入射到第二種介質(zhì)時，如果第二中介質(zhì)的密度與波速的乘積大第二種介質(zhì)時，如果第二中介質(zhì)的密度與波速的乘積大于第一中介質(zhì)的于第一中介質(zhì)的密度與波速的乘積密度與波速的乘積（前者稱（前者稱波密介質(zhì)波密介質(zhì)，后者稱后者稱波疏介質(zhì)波疏介質(zhì)），即），即 ，則分界面處將，則分界面處將出現(xiàn)波節(jié)，這時入射波與反射波在分界面有出現(xiàn)波節(jié)，這時入射波與反射波在分界面有的相位突的相位突變，從波長的角度考慮有變，從波長的角度考慮有/2的波長差，此現(xiàn)象稱的波長差，此現(xiàn)象稱半波半波損失。損失。1122uu B （b）

48、 波疏 波密 /2 B （a） 波密 波疏物理教研室物理教研室聲波聲波(sound wave)： 頻率范圍頻率范圍 2020000 Hz內(nèi)的聲振動。內(nèi)的聲振動。超聲波超聲波(ultrasonic)： 頻率高于此范圍。頻率高于此范圍。次聲波次聲波(infrasound)： 頻率低于此范圍。頻率低于此范圍。聲波是機械振動在彈性介質(zhì)中傳播的縱波。聲波是機械振動在彈性介質(zhì)中傳播的縱波。 物理教研室物理教研室聲強級公式：單位用分貝聲強級公式：單位用分貝(decibel, dB)表示：表示：聲強：聲強：聲波的能流密度。它是單位時間內(nèi)通過垂直于聲聲波的能流密度。它是單位時間內(nèi)通過垂直于聲波傳播方向的單位面積

49、的聲波能量。即：波傳播方向的單位面積的聲波能量。即： 。uAI2221人耳是很靈敏的感覺器官，所能感受的聲音的強度范圍非常大，人耳是很靈敏的感覺器官，所能感受的聲音的強度范圍非常大，數(shù)量級相差數(shù)量級相差1012倍。如：倍。如：1000Hz聲音，聲音，10-12Wm-2 I 1 Wm-2，它也無法將這樣大范圍的聲音由弱到強分辨出它也無法將這樣大范圍的聲音由弱到強分辨出1012個等級來。個等級來。在聲學中普遍使用對數(shù)標度來量度聲強，叫在聲學中普遍使用對數(shù)標度來量度聲強，叫聲強級（聲強級（I. L.）。I 0=10-12Wm-2，是聞閾的聲強，是聞閾的聲強，因此聞閾的聲強為因此聞閾的聲強為0dB，而

50、痛閾，而痛閾的聲強為的聲強為120dB.注意：聲強級不能用代數(shù)相加。注意：聲強級不能用代數(shù)相加。 物理教研室物理教研室122210W/m1 W/m物理教研室物理教研室當鳴笛的火車開向站臺，站臺上當鳴笛的火車開向站臺，站臺上的觀察者聽到的笛聲變尖，即頻的觀察者聽到的笛聲變尖，即頻率升高；相反，當火車離開站臺，率升高；相反，當火車離開站臺，聽到的笛聲頻率降低。聽到的笛聲頻率降低。 波源與觀察者之間有相對運動時，波源與觀察者之間有相對運動時，觀察者接受到的波的頻率觀察者接受到的波的頻率 R與波源與波源的振動頻率的振動頻率 s不同，這種現(xiàn)象稱為不同，這種現(xiàn)象稱為多普勒效應多普勒效應。機械波的多普勒效機

51、械波的多普勒效應稱為經(jīng)典多普勒效應。應稱為經(jīng)典多普勒效應。J.C.Doppler物理教研室物理教研室Svo觀察者向波源運動時，觀察者向波源運動時，1 s 內(nèi)接收到更多的波峰，內(nèi)接收到更多的波峰， 即即觀測到的波的頻率增高。觀測到的波的頻率增高。Svs波源向觀察者運動時，波源向觀察者運動時， 觀察觀察者更快接收到下一個波峰，者更快接收到下一個波峰， 即觀測到的頻率增高。即觀測到的頻率增高。利用聲波的多普勒效應可以測定流體的流速、潛艇的速度，還可利用聲波的多普勒效應可以測定流體的流速、潛艇的速度，還可以用來報警和監(jiān)測車速。在醫(yī)學上，利用超聲波的多普勒效應對以用來報警和監(jiān)測車速。在醫(yī)學上，利用超聲波

52、的多普勒效應對心臟跳動情況進行診斷，做成超聲心動、多普勒血流儀等。心臟跳動情況進行診斷，做成超聲心動、多普勒血流儀等。物理教研室物理教研室物理教研室物理教研室機械波的機械波的多普勒效應計算公式：多普勒效應計算公式：“相互接近相互接近”即相向運動時即相向運動時 , vo 、vs 取取正號，觀察所正號，觀察所得頻率高于實際頻率。得頻率高于實際頻率。 “相互遠離相互遠離”即相背運動時，即相背運動時，vo 、vs 取取負號，觀察所負號，觀察所得頻率低于實際頻率。得頻率低于實際頻率。 voSvsO物理教研室物理教研室天文學上的天文學上的“紅移紅移”就是電磁波的就是電磁波的多普勒效應。多普勒效應。分子、原

53、子的發(fā)光光譜的分子、原子的發(fā)光光譜的多普勒展寬多普勒展寬，會使得光譜的單，會使得光譜的單色性變差。色性變差。對光波也存在多普勒效應。但是光的傳播不依賴彈性介對光波也存在多普勒效應。但是光的傳播不依賴彈性介質(zhì)，而重要的是相對運動速度質(zhì)，而重要的是相對運動速度vr，并應用相對論處理。，并應用相對論處理。當光源和觀察者之間的相對運動速度當光源和觀察者之間的相對運動速度vr，彼此遠離時，觀察所得頻率，彼此遠離時，觀察所得頻率小小于光源頻率于光源頻率：當光源和觀察者之間的相對運動速度當光源和觀察者之間的相對運動速度v ，彼此接近時，觀察所得頻率，彼此接近時，觀察所得頻率大大于光源頻率于光源頻率：物理教研

54、室物理教研室超聲波的頻率在超聲波的頻率在 2104 Hz 1012 Hz 范圍內(nèi)，不能引起人耳聲音范圍內(nèi)，不能引起人耳聲音有聲音的感覺。將壓電晶體置于高頻電場中，利用其壓電伸縮的有聲音的感覺。將壓電晶體置于高頻電場中，利用其壓電伸縮的性質(zhì)，即可在媒質(zhì)中產(chǎn)生超聲波。超聲波具有以下一些特點：性質(zhì)，即可在媒質(zhì)中產(chǎn)生超聲波。超聲波具有以下一些特點：方向性強方向性強：超聲波頻率高、波長短，醫(yī)用超聲波頻率可達數(shù)百萬：超聲波頻率高、波長短，醫(yī)用超聲波頻率可達數(shù)百萬赫茲，衍射現(xiàn)象不明顯，近似直線定向傳播。利用這一特性，可赫茲，衍射現(xiàn)象不明顯，近似直線定向傳播。利用這一特性，可進行探測與定位。進行探測與定位。

55、強度大：強度大：超聲波頻率高，超聲波頻率高， ，超聲波強度大。，超聲波強度大。2212IcA 穿透本領強：穿透本領強：對固體、液體容易穿透，對氣體不易穿透。對固體、液體容易穿透，對氣體不易穿透。強反射作用：強反射作用：頻率高、波長短，在遇到雜質(zhì)或不同媒質(zhì)的界面頻率高、波長短，在遇到雜質(zhì)或不同媒質(zhì)的界面時會產(chǎn)生顯著的反射效果。超聲波在遇到人體中的病變組織、時會產(chǎn)生顯著的反射效果。超聲波在遇到人體中的病變組織、鋼材中的氣泡都能引起明顯反射，超聲診斷和超聲探傷中正是鋼材中的氣泡都能引起明顯反射，超聲診斷和超聲探傷中正是利用這一性質(zhì)，并由回波所形成的超聲影像來探測和定位。利用這一性質(zhì)，并由回波所形成的超聲影像來探測和定位。 物理教研室物理教研室次聲波的頻率低于次聲波的頻率低于20 Hz ，和聲波相比，大氣對次聲波的吸，和聲波相比，大氣對次聲波的吸收式很小的。收式很小的。次聲波的傳播速度和聲波相同，隨著各種次聲波探測器的次聲波的傳播速度和聲波相同，隨著各種次聲波探測器的發(fā)展，次聲成為研究地球、海洋、大氣等大規(guī)模運動的有發(fā)展，次聲成為研究地球、海洋、大氣等大規(guī)模運動的有力工具，同時也可應用于軍事活動。力工具，同時也可應用于軍事活動。1883年蘇門答臘和爪哇之間的一次火山爆發(fā)產(chǎn)生的次聲波，年蘇門答臘和爪哇之間的一次火山爆發(fā)產(chǎn)生的次聲波，繞地球三周，歷時繞地球三周，歷時108小時。小時。