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習(xí)題14 14-1．如圖所示的弓形線框中通有電流，求圓心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。 解：圓弧在O點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度：，方向：； 直導(dǎo)線在O點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度：，方向：； ∴總場(chǎng)強(qiáng)：，方向。 14-2．如圖所示，兩個(gè)半徑均為R的線圈平行共軸放置，其圓心O1、O2相距為a，在兩線圈中通以電流強(qiáng)度均為I的同方向電流。 （1）以O(shè)1O2連線的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，求軸線上坐標(biāo)為x的任意點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大?。? （2）試證明：當(dāng)時(shí)，O點(diǎn)處的磁場(chǎng)最為均勻。 解：見書中載流圓線圈軸線上的磁場(chǎng)，有公式：。 （1）左線圈在x處點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度：， 右線圈在x處點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度：， 和方向一致，均沿軸線水平向右， ∴點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度：； （2）因?yàn)殡S變化，變化率為，若此變化率在處的變化最緩慢，則O點(diǎn)處的磁場(chǎng)最為均勻，下面討論O點(diǎn)附近磁感應(yīng)強(qiáng)度隨變化情況，即對(duì)的各階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行討論。 對(duì)求一階導(dǎo)數(shù)： 當(dāng)時(shí)，，可見在O點(diǎn)，磁感應(yīng)強(qiáng)度有極值。 對(duì)求二階導(dǎo)數(shù)： 當(dāng)時(shí)，， 可見，當(dāng)時(shí)，，O點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度有極小值， 當(dāng)時(shí)，，O點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度有極大值， 當(dāng)時(shí)，，說明磁感應(yīng)強(qiáng)度在O點(diǎn)附近的磁場(chǎng)是相當(dāng)均勻的，可看成勻強(qiáng)磁場(chǎng)。 【利用此結(jié)論，一般在實(shí)驗(yàn)室中，用兩個(gè)同軸、平行放置的匝線圈，相對(duì)距離等于線圈半徑，通電后會(huì)在兩線圈之間產(chǎn)生一個(gè)近似均勻的磁場(chǎng)，比長(zhǎng)直螺線管產(chǎn)生的磁場(chǎng)方便實(shí)驗(yàn)，這樣的線圈叫亥姆霍茲線圈】 14-3．無限長(zhǎng)細(xì)導(dǎo)線彎成如圖所示的形狀，其中部分是在 平面內(nèi)半徑為的半圓，試求通以電流時(shí)點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。 解：∵a段對(duì)O點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度可用求得， 有：，∴ b段的延長(zhǎng)線過點(diǎn)，， c段產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：，∴ 則：O點(diǎn)的總場(chǎng)強(qiáng)：，方向如圖。 14-4．如圖所示，半徑為R的木球上繞有密集的細(xì)導(dǎo)線，線圈平面彼此平行，且以單層線圈均勻覆蓋住半個(gè)球面。設(shè)線圈的總匝數(shù)為N，通過線圈的電流為I，求球心O的磁感強(qiáng)度。 解：從O點(diǎn)引出一根半徑線，與水平方向呈角，則有水平投影： ，圓環(huán)半徑：，取微元， 有環(huán)形電流：， 利用：，有： ， ∴。 14-5．無限長(zhǎng)直圓柱形導(dǎo)體內(nèi)有一無限長(zhǎng)直圓柱形空腔（如圖所示），空腔與導(dǎo)體的兩軸線平行，間距為，若導(dǎo)體內(nèi)的電流密度均勻?yàn)椋姆较蚱叫杏谳S線。求腔內(nèi)任意點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。 解：采用補(bǔ)償法，將空腔部分看成填滿了的電流，那么， 以導(dǎo)體的軸線為圓心，過空腔中任一點(diǎn)作閉合回路，利用 ，有：， ∴， 同理，還是過這一點(diǎn)以空腔導(dǎo)體的軸線為圓心作閉合回路： ，有：， 由圖示可知： 那么，。 14-6．在半徑的無限長(zhǎng)半圓柱形金屬片中，有電流自下而上通過，如圖所示。試求圓柱軸線上一點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小。 解：將半圓柱形無限長(zhǎng)載流薄板細(xì)分成寬為的長(zhǎng)直電流， 有：，利用。 在P點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：， ∴，而因?yàn)閷?duì)稱性， 那么，。 14-7．如圖所示，長(zhǎng)直電纜由半徑為R1的導(dǎo)體圓柱與同軸的內(nèi)外半徑分別為R2、R3的導(dǎo)體圓筒構(gòu)成，電流沿軸線方向由一導(dǎo)體流入，從另一導(dǎo)體流出，設(shè)電流強(qiáng)度I都均勻地分布在橫截面上。求距軸線為r處的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小（）。 解：利用安培環(huán)路定理分段討論。 （1）當(dāng)時(shí)，有： ∴； （2）當(dāng)時(shí)，有：，∴； （3）當(dāng)時(shí)，有：， ∴； （4）當(dāng)時(shí)，有：，∴。 則： 14-8．一橡皮傳輸帶以速度勻速向右運(yùn)動(dòng)，如圖所示，橡皮帶上均勻帶有電荷，電荷面密度為。 （1）求像皮帶中部上方靠近表面一點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大??； （2）證明對(duì)非相對(duì)論情形，運(yùn)動(dòng)電荷的速度及它所產(chǎn)生的磁場(chǎng)和電場(chǎng)之間滿足下述關(guān)系：（式中）。 解：（1）如圖，垂直于電荷運(yùn)動(dòng)方向作一個(gè)閉合回路，考慮到橡皮帶上等效電流密度為：，橡皮帶上方的磁場(chǎng)方向水平向外，橡皮帶下方的磁場(chǎng)方向水平向里，根據(jù)安培環(huán)路定理有： ， ∴磁感應(yīng)強(qiáng)度的大?。海? （2）非相對(duì)論情形下： 勻速運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的磁場(chǎng)為：， 點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)為：， ∴， 即為結(jié)論：（式中）。 14-9．一均勻帶電長(zhǎng)直圓柱體，電荷體密度為， 半徑為。若圓柱繞其軸線勻速旋轉(zhuǎn)，角速度為， 求：（1）圓柱體內(nèi)距軸線處的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大??； （2）兩端面中心的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小。 解：（1）考察圓柱體內(nèi)距軸線處到半徑的圓環(huán)等效電流。 ∵，∴， 選環(huán)路如圖所示， 由安培環(huán)路定理：， 有： ∴ （2）由上述結(jié)論，帶電長(zhǎng)直圓柱體旋轉(zhuǎn)相當(dāng)于螺線管，端面的磁感應(yīng)強(qiáng)度是中間磁感應(yīng)強(qiáng)度的一半，所以端面中心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度：。 14-10．如圖所示，兩無限長(zhǎng)平行放置的柱形導(dǎo)體內(nèi)通過等值、反向電流，電流在兩個(gè)陰影所示的橫截面的面積皆為，兩圓柱軸線間的距離，試求兩導(dǎo)體中部真空部分的磁感應(yīng)強(qiáng)度。 解：因?yàn)橐粋€(gè)陰影的橫截面積為，那么面電流密度為： ，利用補(bǔ)償法，將真空部分看成通有電流，設(shè) 其中一個(gè)陰影在真空部分某點(diǎn)處產(chǎn)生的磁場(chǎng)為，距離 為，另一個(gè)為、，有：。 利用安培環(huán)路定理可得： ，， 則：，， ∴。 即空腔處磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為，方向向上。 14-11．無限長(zhǎng)直線電流與直線電流共面，幾何位置如圖所示， 試求直線電流受到電流磁場(chǎng)的作用力。 解：在直線電流上任意取一個(gè)小電流元， 此電流元到長(zhǎng)直線的距離為，無限長(zhǎng)直線電流 在小電流元處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為： ， 再利用，考慮到，有：， ∴。 14-12．在電視顯象管的電子束中，電子能量為，這個(gè)顯像管的取向使電子沿水平方向由南向北運(yùn)動(dòng)。該處地球磁場(chǎng)的垂直分量向下，大小為，問：（1）電子束將偏向什么方向？（2）電子的加速度是多少？（3）電子束在顯象管內(nèi)在南北方向上通過時(shí)將偏轉(zhuǎn)多遠(yuǎn)？ 解：（1）根據(jù)可判斷出電子束將偏向東。 （2）利用，有：， 而，∴ （3）。 14-13．一半徑為的無限長(zhǎng)半圓柱面導(dǎo)體，載有與軸線上的 長(zhǎng)直導(dǎo)線的電流等值反向的電流，如圖所示，試求軸線上長(zhǎng) 直導(dǎo)線單位長(zhǎng)度所受的磁力。 解：設(shè)半圓柱面導(dǎo)體的線電流分布為， 如圖，由安培環(huán)路定理，電流在點(diǎn)處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為： ， 可求得：； 又∵， 故， 有：，而， 所以：。 14-14．如圖14-55所示，一個(gè)帶有電荷()的粒子， 以速度平行于均勻帶電的長(zhǎng)直導(dǎo)線運(yùn)動(dòng)，該導(dǎo)線的線電荷 密度為（），并載有傳導(dǎo)電流。試問粒子要以多大 的速度運(yùn)動(dòng)，才能使其保持在一條與導(dǎo)線距離為的平行線上？ 解：由安培環(huán)路定律知： 電流在處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：，方向； 運(yùn)動(dòng)電荷受到的洛侖茲力方向向左，大小：， 同時(shí)由于導(dǎo)線帶有線電荷密度為，在處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度可用高斯定律求得為： ，受到的靜電場(chǎng)力方向向右，大?。海? 欲使粒子保持在一條與導(dǎo)線距離為的平行線，需， 即：，可得。 14-15．截面積為、密度為的銅導(dǎo)線被彎成正方形的三邊， 可以繞水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖14-53所示。導(dǎo)線放在方向豎 直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，當(dāng)導(dǎo)線中的電流為時(shí)，導(dǎo)線離開原來 的豎直位置偏轉(zhuǎn)一個(gè)角度而平衡，求磁感應(yīng)強(qiáng)度。 解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，質(zhì)量為，。 平衡時(shí)重力矩等于磁力矩： 由，磁力矩的大?。?； 重力矩為： 平衡時(shí)：，∴。 14-16．有一個(gè)形導(dǎo)線，質(zhì)量為，兩端浸沒在水銀槽中， 導(dǎo)線水平部分的長(zhǎng)度為，處在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為的均勻 磁場(chǎng)中，如圖所示。當(dāng)接通電源時(shí)，導(dǎo)線就會(huì)從水銀槽中 跳起來。假定電流脈沖的時(shí)間與導(dǎo)線上升時(shí)間相比可忽略， 試由導(dǎo)線跳起所達(dá)到的高度計(jì)算電流脈沖的電荷量。 解：接通電流時(shí)有，而， 則：，積分有：； 又由機(jī)械能守恒：，有：，∴。 14-17．半徑為的半圓形閉合線圈，載有電流，放在均勻磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向與線圈平面平行，如圖所示。求： （1）線圈所受力矩的大小和方向（以直徑為轉(zhuǎn)軸）； （2）若線圈受上述磁場(chǎng)作用轉(zhuǎn)到線圈平面與磁場(chǎng)垂直的位置，則力矩做功為多少？ 解：（1）線圈的磁矩為：， 由，此時(shí)線圈所受力矩的大小為： ； 磁力矩的方向由確定，為垂直于B的方向向上，如圖； （2）線圈旋轉(zhuǎn)時(shí)，磁力矩作功為： 。 【或：】 思考題 14-1．在圖（）和（）中各有一半徑相同的圓形回路、，圓周內(nèi)有電流、，其分布相同，且均在真空中，但在（）圖中回路外有電流，、為兩圓形回路上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則： ；； ；。 答：的環(huán)流只與回路中所包圍的電流有關(guān)，與外面的電流無關(guān)，但是回路上的磁感應(yīng)強(qiáng)度卻是所有電流在那一點(diǎn)產(chǎn)生磁場(chǎng)的疊加。所以（C）對(duì)。 14-2．哪一幅圖線能確切描述載流圓線圈在其軸線上任意點(diǎn)所產(chǎn)生的隨的變化關(guān)系？（坐標(biāo)軸垂直于圓線圈平面，原點(diǎn)在圓線圈中心） 答：載流圓線圈在其軸線上任意點(diǎn)所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度 ∴時(shí)，（），。 根據(jù)上述兩式可判斷（C）圖對(duì)。 14-3．取一閉合積分回路，使三根載流導(dǎo)線穿過它所圍成的面．現(xiàn)改變?nèi)鶎?dǎo)線之間的相互間隔，但不越出積分回路，則： (A)回路內(nèi)的不變，上各點(diǎn)的不變； (B)回路內(nèi)的不變，上各點(diǎn)的改變； (C)回路內(nèi)的改變，上各點(diǎn)的不變； (D)回路內(nèi)的 改變，上各點(diǎn)的改變. 答：（B）對(duì)。 14-4．一載有電流的細(xì)導(dǎo)線分別均勻密繞在半徑為和的長(zhǎng)直圓筒上形成兩個(gè)螺線管()，兩螺線管單位長(zhǎng)度上的匝數(shù)相等．兩螺線管中的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小和應(yīng)滿足： ；；；. 答：對(duì)于長(zhǎng)直螺線管：，由于兩螺線管單位長(zhǎng)度上的匝數(shù)相等，所以兩螺線管磁感應(yīng)強(qiáng)度相等。（B）對(duì)。 14-5．均勻磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度垂直于半徑為的圓面。今以該圓周為邊線，作一半球面，則通過面的磁通量的大小為多少？ 答：。 14-6．如圖，勻強(qiáng)磁場(chǎng)中有一矩形通電線圈，它的平面與磁場(chǎng)平行，在磁場(chǎng)作用下，線圈向什么方向轉(zhuǎn)動(dòng)？ 答：受力方向垂直紙面向里，受力外，在力偶矩的作用下，垂直紙面向里運(yùn)動(dòng)，垂直紙面向外運(yùn)動(dòng)，從上往下看，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。 14-7．一均勻磁場(chǎng)，其磁感應(yīng)強(qiáng)度方向垂直于紙面，兩帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，則 （A） 兩粒子的電荷必然同號(hào)； （B） 粒子的電荷可以同號(hào)也可以異號(hào)； （C） 兩粒子的動(dòng)量大小必然不同； （D） 兩粒子的運(yùn)動(dòng)周期必然不同。 答：選（B）