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數(shù)字信號處理課后答案 高西全、丁美玉版 1.2 教材第一章習(xí)題解答 1. 用單位脈沖序列及其加權(quán)和表示題1圖所示的序列。 解： 2. 給定信號： （1）畫出序列的波形，標(biāo)上各序列的值； （2）試用延遲單位脈沖序列及其加權(quán)和表示序列； （3）令，試畫出波形； （4）令，試畫出波形； （5）令，試畫出波形。 解： （1）x(n)的波形如題2解圖（一）所示。 （2） （3）的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，畫出圖形如題2解圖（二）所示。 （4）的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，畫出圖形如題2解圖（三）所示。 （5）畫時，先畫x(-n)的波形，然后再右移2位，波形如題2解圖（四）所示。 3. 判斷下面的序列是否是周期的，若是周期的，確定其周期。 （1），A是常數(shù)； （2）。 解： （1），這是有理數(shù)，因此是周期序列，周期是T=14； （2），這是無理數(shù)，因此是非周期序列。 5. 設(shè)系統(tǒng)分別用下面的差分方程描述，與分別表示系統(tǒng)輸入和輸出，判斷系統(tǒng)是否是線性非時變的。 （1）； （3），為整常數(shù)； （5）； （7）。 解： （1）令：輸入為，輸出為 故該系統(tǒng)是時不變系統(tǒng)。 故該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。 （3）這是一個延時器，延時器是一個線性時不變系統(tǒng)，下面予以證明。 令輸入為，輸出為，因為 故延時器是一個時不變系統(tǒng)。又因為 故延時器是線性系統(tǒng)。 （5） 令：輸入為，輸出為，因為 故系統(tǒng)是時不變系統(tǒng)。又因為 因此系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。 （7） 令：輸入為，輸出為，因為 故該系統(tǒng)是時變系統(tǒng)。又因為 故系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。 6. 給定下述系統(tǒng)的差分方程，試判斷系統(tǒng)是否是因果穩(wěn)定系統(tǒng)，并說明理由。 （1）； （3）； （5）。 解： （1）只要，該系統(tǒng)就是因果系統(tǒng)，因為輸出只與n時刻的和n時刻以前的輸入有關(guān)。如果，則，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。 （3）如果，，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。系統(tǒng)是非因果的，因為輸出還和x(n)的將來值有關(guān). （5）系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，因為系統(tǒng)的輸出不取決于x(n)的未來值。如果，則，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 7. 設(shè)線性時不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)和輸入序列如題7圖所示，要求畫出輸出輸出的波形。 解： 解法（1）:采用圖解法 圖解法的過程如題7解圖所示。 解法（2）:采用解析法。按照題7圖寫出x(n)和h(n)的表達式: 因為 所以 將x(n)的表達式代入上式，得到 8. 設(shè)線性時不變系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)和輸入分別有以下三種情況，分別求出輸出。 （1）； （2）； （3）。 解： （1） 先確定求和域，由和確定對于m的非零區(qū)間如下： 根據(jù)非零區(qū)間，將n分成四種情況求解： ① ② ③ ④ 最后結(jié)果為 y(n)的波形如題8解圖（一）所示。 （2） y(n)的波形如題8解圖（二）所示. （3） y(n)對于m的非零區(qū)間為。 ① ② ③ 最后寫成統(tǒng)一表達式： 11. 設(shè)系統(tǒng)由下面差分方程描述： ； 設(shè)系統(tǒng)是因果的，利用遞推法求系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)。 解： 令： 歸納起來，結(jié)果為 12. 有一連續(xù)信號式中， （1）求出的周期。 （2）用采樣間隔對進行采樣，試寫出采樣信號的表達式。 （3）畫出對應(yīng)的時域離散信號(序列) 的波形，并求出的周期。 ————第二章———— 教材第二章習(xí)題解答 1. 設(shè)和分別是和的傅里葉變換，試求下面序列的傅里葉變換： （1）； （2）； （3）； （4）。 解： （1） 令，則 （2） （3） 令，則 （4） 證明： 令k=n-m，則 2. 已知 求的傅里葉反變換。 解： 3. 線性時不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)(傳輸函數(shù))如果單位脈沖響應(yīng)為實序列，試證明輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為 。 解： 假設(shè)輸入信號，系統(tǒng)單位脈沖相應(yīng)為h(n)，系統(tǒng)輸出為 上式說明，當(dāng)輸入信號為復(fù)指數(shù)序列時，輸出序列仍是復(fù)指數(shù)序列，且頻率相同，但幅度和相位決定于網(wǎng)絡(luò)傳輸函數(shù)，利用該性質(zhì)解此題。 上式中是w的偶函數(shù)，相位函數(shù)是w的奇函數(shù)， 4. 設(shè)將以4為周期進行周期延拓，形成周期序列，畫出和的波形，求出的離散傅里葉級數(shù)和傅里葉變換。 解： 畫出x(n)和的波形如題4解圖所示。 , 以4為周期，或者 , 以4為周期 5. 設(shè)如圖所示的序列的FT用表示，不直接求出，完成下列運算： （1）； （2）； （5） 解： （1） （2） （5） 6. 試求如下序列的傅里葉變換: （2）； （3） 解： （2） （3） 7. 設(shè): （1）是實偶函數(shù)， （2）是實奇函數(shù)，分別分析推導(dǎo)以上兩種假設(shè)下，的傅里葉變換性質(zhì)。 解： 令 （1）x(n)是實、偶函數(shù)， 兩邊取共軛，得到 因此 上式說明x(n)是實序列，具有共軛對稱性質(zhì)。 由于x(n)是偶函數(shù)，x(n)sinwn是奇函數(shù)，那么 因此 該式說明是實函數(shù)，且是w的偶函數(shù)。 總結(jié)以上x(n)是實、偶函數(shù)時，對應(yīng)的傅里葉變換是實、偶函數(shù)。 （2）x(n)是實、奇函數(shù)。 上面已推出，由于x(n)是實序列，具有共軛對稱性質(zhì)，即 由于x(n)是奇函數(shù)，上式中是奇函數(shù)，那么 因此 這說明是純虛數(shù)，且是w的奇函數(shù)。 10. 若序列是實因果序列，其傅里葉變換的實部如下式: 求序列及其傅里葉變換。 解： 12. 設(shè)系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)，輸入序列為，完成下面各題： （1）求出系統(tǒng)輸出序列； （2）分別求出、和的傅里葉變換。 解： （1） （2） 13. 已知，式中，以采樣頻率對進行采樣，得到采樣信號和時域離散信號，試完成下面各題： （1）寫出的傅里葉變換表示式； （2）寫出和的表達式； （3）分別求出的傅里葉變換和序列的傅里葉變換。 解： （1） 上式中指數(shù)函數(shù)的傅里葉變換不存在，引入奇異函數(shù)函數(shù)，它的傅里葉變換可以 表示成： （2） （3） 式中 式中 上式推導(dǎo)過程中，指數(shù)序列的傅里葉變換仍然不存在，只有引入奇異函數(shù)函數(shù)，才能寫出它的傅里葉變換表達式。 14. 求以下序列的Z變換及收斂域： （2）； （3）； （6） 解： （2） （3） （6） 16. 已知: 求出對應(yīng)的各種可能的序列的表達式。 解： 有兩個極點，因為收斂域總是以極點為界，因此收斂域有以下三種情況： 三種收斂域?qū)?yīng)三種不同的原序列。 （1）當(dāng)收斂域時， 令 ，因為c內(nèi)無極點，x(n)=0； ，C內(nèi)有極點0，但z=0是一個n階極點，改為求圓外極點留數(shù)，圓外極點有，那么 （2）當(dāng)收斂域時， ，C內(nèi)有極點0.5； ，C內(nèi)有極點0.5，0，但0是一個n階極點，改成求c外極點留數(shù)，c外極點只有一個，即2， 最后得到 （3）當(dāng)收斂域時， ，C內(nèi)有極點0.5，2； n<0，由收斂域判斷，這是一個因果序列，因此x(n)=0。 或者這樣分析，C內(nèi)有極點0.5，2，0，但0是一個n階極點，改成求c外極點留數(shù)，c外無極點，所以x(n)=0。 最后得到 17. 已知，分別求： （1）的Z變換； （2）的Z變換； （3）的z變換。 解： （1） （2） （3） 18. 已知，分別求： （1）收斂域?qū)?yīng)的原序列； （2）收斂域?qū)?yīng)的原序列。 解： （1）當(dāng)收斂域時，，內(nèi)有極點0.5， , c內(nèi)有極點0.5,0,但0是一個n階極點,改求c外極點留數(shù),c外極點只有2, , 最后得到 （2（當(dāng)收斂域時， c內(nèi)有極點0.5,2, c內(nèi)有極點0.5,2,0,但極點0是一個n階極點,改成求c外極點留數(shù),可是c外沒有極點,因此, 最后得到 25. 已知網(wǎng)絡(luò)的輸入和單位脈沖響應(yīng)分別為 ， 試： （1）用卷積法求網(wǎng)絡(luò)輸出； （2）用ZT法求網(wǎng)絡(luò)輸出。 解： （1）用卷積法求 ，, ，， 最后得到 （2）用ZT法求 令 ,c內(nèi)有極點 因為系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，,，最后得到 28. 若序列是因果序列，其傅里葉變換的實部如下式： 求序列及其傅里葉變換。 解： 求上式IZT，得到序列的共軛對稱序列。 因為是因果序列，必定是雙邊序列，收斂域?。?。 時，c內(nèi)有極點, n=0時，c內(nèi)有極點,0， 所以 又因為 所以 3.2 教材第三章習(xí)題解答 1. 計算以下諸序列的N點DFT,在變換區(qū)間內(nèi),序列定義為 （2）； （4）； （6）； （8）； （10）。 解： （2） （4） （6） （8）解法1 直接計算 解法2 由DFT的共軛對稱性求解 因為 所以 即 結(jié)果與解法1所得結(jié)果相同。此題驗證了共軛對稱性。 （10）解法1 上式直接計算較難，可根據(jù)循環(huán)移位性質(zhì)來求解X(k)。 因為 所以 等式兩邊進行DFT得到 故 當(dāng)時，可直接計算得出X（0） 這樣，X（k）可寫成如下形式： 解法2 時， 時， 所以， 即 2. 已知下列，求 （1）; （2） 解： （1） = （2） 3. 長度為N=10的兩個有限長序列 作圖表示、和。 解： 、和分別如題3解圖（a）、（b）、（c）所示。 14. 兩個有限長序列和的零值區(qū)間為: 對每個序列作20點DFT,即 如果 試問在哪些點上，為什么？ 解： 如前所示，記，而。 長度為27，長度為20。已推出二者的關(guān)系為 只有在如上周期延拓序列中無混疊的點上，才滿足所以 15. 用微處理機對實數(shù)序列作譜分析,要求譜分辨率，信號最高頻率為1kHZ，試確定以下各參數(shù)： （1）最小記錄時間； （2）最大取樣間隔； （3）最少采樣點數(shù)； （4）在頻帶寬度不變的情況下，將頻率分辨率提高一倍的N值。 解： （1）已知 （2） （3） （4）頻帶寬度不變就意味著采樣間隔T不變，應(yīng)該使記錄時間擴大一倍為0.04s實現(xiàn)頻率分辨率提高一倍（F變?yōu)樵瓉淼?/2） 18. 我們希望利用長度為N=50的FIR濾波器對一段很長的數(shù)據(jù)序列進行濾波處理，要求采用重疊保留法通過DFT來實現(xiàn)。所謂重疊保留法，就是對輸入序列進行分段（本題設(shè)每段長度為M=100個采樣點），但相鄰兩段必須重疊V個點，然后計算各段與的L點（本題取L=128）循環(huán)卷積，得到輸出序列，m表示第m段計算輸出。最后，從中取出Ｂ個，使每段取出的Ｂ個采樣點連接得到濾波輸出。 （1）求V； （2）求B； （3）確定取出的B個采樣應(yīng)為中的哪些采樣點。 解： 為了便于敘述，規(guī)定循環(huán)卷積的輸出序列的序列標(biāo)號為0，1，2，…,127。 先以與各段輸入的線性卷積考慮，中，第0點到48點（共49個點）不正確，不能作為濾波輸出，第49點到第99點（共51個點）為正確的濾波輸出序列的一段，即B=51。所以，為了去除前面49個不正確點，取出51個正確的點連續(xù)得到不間斷又無多余點的，必須重疊100-51=49個點，即V=49。 下面說明，對128點的循環(huán)卷積，上述結(jié)果也是正確的。我們知道 因為長度為 N+M-1=50+100-1=149 所以從n=20到127區(qū)域， ，當(dāng)然，第49點到第99點二者亦相等，所以，所取出的第51點為從第49到99點的。 綜上所述，總結(jié)所得結(jié)論 V=49,B=51 選取中第49~99點作為濾波輸出。 5.2 教材第五章習(xí)題解答 1. 設(shè)系統(tǒng)用下面的差分方程描述： ， 試畫出系統(tǒng)的直接型、級聯(lián)型和并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。 解： 將上式進行Z變換 （1）按照系統(tǒng)函數(shù)，根據(jù)Masson公式，畫出直接型結(jié)構(gòu)如題1解圖（一）所示。 （2）將的分母進行因式分解 按照上式可以有兩種級聯(lián)型結(jié)構(gòu)： (a) 畫出級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題1解圖（二）（a）所示 (b) 畫出級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題1解圖（二）（b）所示 （3）將進行部分分式展開 根據(jù)上式畫出并聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題1解圖（三）所示。 2. 設(shè)數(shù)字濾波器的差分方程為 ， 試畫出該濾波器的直接型、級聯(lián)型和并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。 解： 將差分方程進行Z變換，得到 （1）按照Massion公式直接畫出直接型結(jié)構(gòu)如題2解圖（一）所示。 （2）將的分子和分母進行因式分解： 按照上式可以有兩種級聯(lián)型結(jié)構(gòu)： (a) 畫出級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題2解圖（二）（a）所示。 (b) 畫出級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題2解圖（二）（b）所示●。 3. 設(shè)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為 ， 試畫出各種可能的級聯(lián)型結(jié)構(gòu)。 解： 由于系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母各有兩個因式，可以有兩種級聯(lián)型結(jié)構(gòu)。 （1） ， 畫出級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題3解圖（a）所示●。 （2） , 畫出級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題3解圖（b）所示。 4.圖中畫出了四個系統(tǒng)，試用各子系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)分別表示各總系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，并求其總系統(tǒng)函數(shù)。圖d 解： (d) 5. 寫出圖中流圖的系統(tǒng)函數(shù)及差分方程。圖d 解： (d) 6. 寫出圖中流圖的系統(tǒng)函數(shù)。圖f 解： (f) 8．已知FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)為，試用頻率采樣結(jié)構(gòu)實現(xiàn)該濾波器。設(shè)采樣點數(shù)N=5，要求畫出頻率采樣網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，寫出濾波器參數(shù)的計算公式。 解： 已知頻率采樣結(jié)構(gòu)的公式為 式中，N=5 它的頻率采樣結(jié)構(gòu)如題8解圖所示。 6.2 教材第六章習(xí)題解答 1. 設(shè)計一個巴特沃斯低通濾波器，要求通帶截止頻率，通帶最大衰減，阻帶截止頻率，阻帶最小衰減。求出濾波器歸一化傳輸函數(shù)以及實際的。 解： （1）求階數(shù)N。 將和值代入N的計算公式得 所以取N=5（實際應(yīng)用中，根據(jù)具體要求，也可能取N=4，指標(biāo)稍微差一點，但階數(shù)低一階，使系統(tǒng)實現(xiàn)電路得到簡化。） （2）求歸一化系統(tǒng)函數(shù)，由階數(shù)N=5直接查表得到5階巴特沃斯歸一化低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)為 或 當(dāng)然，也可以按（6.12）式計算出極點: 按（6.11）式寫出表達式 代入值并進行分母展開得到與查表相同的結(jié)果。 （3）去歸一化（即LP-LP頻率變換），由歸一化系統(tǒng)函數(shù)得到實際濾波器系統(tǒng)函數(shù)。 由于本題中，即，因此 對分母因式形式，則有 如上結(jié)果中，的值未代入相乘，這樣使讀者能清楚地看到去歸一化后，3dB截止頻率對歸一化系統(tǒng)函數(shù)的改變作用。 2. 設(shè)計一個切比雪夫低通濾波器，要求通帶截止頻率，通帶最在衰減速，阻帶截止頻率，阻帶最小衰減。求出歸一化傳輸函數(shù)和實際的。 解： （1）確定濾波器技術(shù)指標(biāo)： ， （2）求階數(shù)N和： 為了滿足指標(biāo)要求，取N=4。 （2）求歸一化系統(tǒng)函數(shù) 其中，極點由(6.2.38)式求出如下： （3）將去歸一化，求得實際濾波器系統(tǒng)函數(shù) 其中，因為，所以。將兩對共軛極點對應(yīng)的因子相乘，得到分母為二階因子的形式，其系數(shù)全為實數(shù)。 4. 已知模擬濾波器的傳輸函數(shù)為： (1)； (2)。式中，a,b為常數(shù)，設(shè)因果穩(wěn)定，試采用脈沖響應(yīng)不變法，分別將其轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。 解： 該題所給正是模擬濾波器二階基本節(jié)的兩種典型形式。所以，求解該題具有代表性，解該題的過程，就是導(dǎo)出這兩種典型形式的的脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換公式，設(shè)采樣周期為T。 （1） 的極點為： ， 將部分分式展開（用待定系數(shù)法）： 比較分子各項系數(shù)可知： A、B應(yīng)滿足方程： 解之得 所以 按照題目要求，上面的表達式就可作為該題的答案。但在工程實際中，一般用無復(fù)數(shù)乘法器的二階基本結(jié)構(gòu)實現(xiàn)。由于兩個極點共軛對稱，所以將的兩項通分并化簡整理，可得 用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器時，直接套用上面的公式即可，且對應(yīng)結(jié)構(gòu)圖中無復(fù)數(shù)乘法器，便于工程實際中實現(xiàn)。 （2） 的極點為： ， 將部分分式展開： 通分并化簡整理得 5. 已知模擬濾波器的傳輸函數(shù)為： （1）； （2）試用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法分別將其轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器，設(shè)T=2s。 解： （1）用脈沖響應(yīng)不變法 ① 方法1 直接按脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計公式，的極點為： ， 代入T=2s 方法2 直接套用4題(2)所得公式，為了套用公式，先對的分母配方，將化成4題中的標(biāo)準(zhǔn)形式： 為一常數(shù)， 由于 所以 對比可知，，套用公式得 ② 或通分合并兩項得 （2）用雙線性變換法 ① ② 7. 假設(shè)某模擬濾波器是一個低通濾波器，又知，數(shù)字濾波器的通帶中心位于下面的哪種情況？并說明原因。 （1） (低通)； （2）（高通）； （3）除0或外的某一頻率（帶通）。 解： 按題意可寫出 故 即 原模擬低通濾波器以為通帶中心，由上式可知，時，對應(yīng)于，故答案為（2）。 9. 設(shè)計低通數(shù)字濾波器，要求通帶內(nèi)頻率低于時，容許幅度誤差在1dB之內(nèi)；頻率在0.3到之間的阻帶衰減大于10dB；試采用巴特沃斯型模擬濾波器進行設(shè)計，用脈沖響應(yīng)不變法進行轉(zhuǎn)換，采樣間隔T=1ms。 解： 本題要求用巴特沃斯型模擬濾波器設(shè)計，所以，由巴特沃斯濾波器的單調(diào)下降特性，數(shù)字濾波器指標(biāo)描述如下： 采用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換，所以，相應(yīng)模擬低通巴特沃斯濾波器指標(biāo)為： （1）求濾波器階數(shù)N及歸一化系統(tǒng)函數(shù)： 取N=5，查表6.1的模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)的歸一化低通原型為： 將部分分式展開： 其中，系數(shù)為： （2）去歸一化求得相應(yīng)的模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)。 我們希望阻帶指標(biāo)剛好，讓通帶指標(biāo)留有富裕量，所以按(6.2.18)式求3dB截止頻率。 其中。 （3）用脈沖響應(yīng)不變法將轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)： 我們知道，脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點是存在頻率混疊失真，設(shè)計的濾波器阻帶指標(biāo)變差。另外，由該題的設(shè)計過程可見，當(dāng)N較大時，部分分式展開求解系數(shù)或相當(dāng)困難，所以實際工作中用得很少，主要采用雙線性變換法設(shè)計。 17364829304321