《數學文高考二輪專題復習與測試：第二部分 專題六滿分示范課 Word版含解析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《數學文高考二輪專題復習與測試：第二部分 專題六滿分示范課 Word版含解析（5頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 滿分示范課——函數與導數 函數與導數問題一般以函數為載體，以導數為工具，重點考查函數的一些性質，如含參函數的單調性、極值或最值的探求與討論，復雜函數零點的討論，函數不等式中參數范圍的討論，恒成立和能成立問題的討論等，是近幾年高考試題的命題熱點．對于這類綜合問題，一般是先求導，再變形、分離或分解出基本函數，再根據題意處理． 【典例】　(滿分12分)(2019·全國卷Ⅱ)已知函數f(x)＝ln x－. (1)討論f(x)的單調性，并證明f(x)有且僅有兩個零點； (2)設x0是f(x)的一個零點，證明曲線y＝ln x在點A(x0，ln x0)處的切線也是曲線y＝ex的切線． [規(guī)

2、范解答]　(1)f(x)的定義域為(0，1)∪(1，＋∞)． 因為f′(x)＝＋>0， 所以f(x)在(0，1)，(1，＋∞)單調遞增． 因為f(e)＝1－<0，f(e2)＝2－＝>0， 所以f(x)在(1，＋∞)有唯一零點x1(e

3、點A(x0，ln x0)處切線的斜率也是. 所以曲線y＝ln x在點A(x0，ln x0)處的切線也是曲線y＝ex的切線． 高考狀元滿分心得 1．得步驟分：抓住得分點的步驟，“步步為贏”，求得滿分．如第(1)問中，求導正確，判斷單調性．利用零點存在定理，定零點個數．第(2)問中，由f(x0)＝0定切點B，求切線的斜率． 2．得關鍵分：解題過程不可忽視關鍵點，有則給分，無則沒分，如第(1)問中，求出f(x)的定義域，f′(x)在(0，＋∞)上單調性的判斷；第(2)問中，找關系ln x0＝，判定兩曲線在點B處切線的斜率相等． 3．得計算分：解題過程中計算準確是得滿分的根本保證． 如第(

4、1)問中，求導f′(x)準確，否則全盤皆輸，判定f(x1)＝－f＝0；第(2)問中，正確計算kAB等，否則不得分． [解題程序]　第一步：求f(x)的定義域，計算f′(x)． 第二步：由f(x)在(1，＋∞)上的單調性與零點存在定理，判斷f(x)在(1，＋∞)上有唯一零點x0. 第三步：證明f＝0，從而f(x)在定義域內有兩個零點． 第四步：由第(1)問，求直線AB的斜率k＝. 第五步：求y＝ex在點A、B處的切線斜率k＝，得證． 第六步：檢驗反思，規(guī)范解題步驟． [跟蹤訓練] 1．已知函數f(x)＝ex－1，g(x)＝＋x，其中e是自然對數的底數，e＝2.718 28….

5、(1)證明：函數h(x)＝f(x)－g(x)在區(qū)間(1，2)上有零點； (2)求方程f(x)＝g(x)的根的個數，并說明理由； (1)證明：由題意可得h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－1－－x， 所以h(1)＝e－3＜0，h(2)＝e2－3－＞0， 所以h(1)·h(2)＜0， 所以函數h(x)在區(qū)間(1，2)上有零點． (2)解：由(1)可知，h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－1－－x. 由g(x)＝＋x知x∈[0，＋∞)， 且h(0)＝0，則x＝0為h(x)的一個零點． 又h(x)在(1，2)內有零點， 因此h(x)在[0，＋∞)上至少有兩個零點． h′(x)＝e

6、x－x－－1，記φ(x)＝ex－x－－1. 則φ′(x)＝ex＋x－， 當x∈(0，＋∞)時，φ′(x)＞0，則φ(x)在(0，＋∞)上遞增．易知φ(x)在(0，＋∞)內只有一個零點， 所以h(x)在[0，＋∞)上有且只有兩個零點， 所以方程f(x)＝g(x)的根的個數為2. 2．已知函數f(x)＝ln x＋，g(x)＝e－x＋bx，a，b∈R，e為自然對數的底數． (1)若函數y＝g(x)在R上存在零點，求實數b的取值范圍； (2)若函數y＝f(x)在x＝處的切線方程為ex＋y－2＋b＝0.求證：對任意的x∈(0，＋∞)，總有f(x)≥＋b. (1)解：易得g′(x)＝－e－

7、x＋b＝b－. 若b＝0，則g(x)＝∈(0，＋∞)，不合題意； 若b<0，則g(0)＝1>0，g＝e－1<0，滿足題設， 若b>0，令g′(x)＝－e－x＋b＝0，得x＝－ln b. 所以g(x)在(－∞，－ln b)上單調遞減； 在(－ln b，＋∞)上單調遞增， 則g(x)min＝g(－ln b)＝eln b－bln b＝b－bln b≤0， 所以b≥e. 綜上所述，實數b的取值范圍是(－∞，0)∪[e，＋∞)． (2)證明：易得f′(x)＝－， 則由題意，得f′＝e－ae2＝－e，解得a＝. 所以f(x)＝ln x＋，從而f ＝1， 即切點為. 將切點坐標代入ex＋y－2＋b＝0中，解得b＝0. 所以要證f(x)≥＋b， 只需證明ln x＋≥，即xln x≥－. 令φ(x)＝xln x，則φ′(x)＝ln x＋1. 由φ(x)>0，得x>；令φ′(x)<0，得0