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截長補(bǔ)短法 例1. 已知，如圖1-1，在四邊形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC. 求證：∠BAD +∠BCD=180. 分析：因?yàn)槠浇堑扔?80，因而應(yīng)考慮把兩個(gè)不在一起的通過全等轉(zhuǎn)化成為平角，圖中缺少全等的三角形，因而解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造直角三角形，可通過“截長補(bǔ)短法”來實(shí)現(xiàn). 證明：過點(diǎn)D作DE垂直BA的延長線于點(diǎn)E，作DF⊥BC于點(diǎn)F，如圖1-2 圖1-1 ∵BD平分∠ABC，∴DE=DF， 圖1-2 在Rt△ADE與Rt△CDF中， ∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL),∴∠DAE=∠DCF. 又∠BAD+∠DAE=180，∴∠BAD+∠DCF=180， 即∠BAD+∠BCD=180 例2. 已知，如圖3-1，∠1=∠2，P為BN上一點(diǎn)，且PD⊥BC于點(diǎn)D，AB+BC=2BD. 求證：∠BAP+∠BCP=180. 分析：與例1相類似，證兩個(gè)角的和是180，可把它們移到一起，讓它們是鄰補(bǔ)角，即證明∠BCP=∠EAP，因而此題適用“補(bǔ)短”進(jìn)行全等三角形的構(gòu)造. 證明：過點(diǎn)P作PE垂直BA的延長線于點(diǎn)E，如圖3-2 圖3-1 ∵∠1=∠2，且PD⊥BC，∴PE=PD， 在Rt△BPE與Rt△BPD中， 圖3-2 ∴Rt△BPE≌Rt△BPD(HL),∴BE=BD. ∵AB+BC=2BD，∴AB+BD+DC=BD+BE，∴AB+DC=BE即DC=BE-AB=AE. 在Rt△APE與Rt△CPD中, ∴Rt△APE≌Rt△CPD(SAS),∴∠PAE=∠PCD 又∵∠BAP+∠PAE=180,∴∠BAP+∠BCP=180 例3. 如圖2-1，AD∥BC，點(diǎn)E在線段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB. 求證：CD=AD+BC. 分析：結(jié)論是CD=AD+BC，可考慮用“截長補(bǔ)短法”中的“截長”，即在CD上截取CF=CB，只要再證DF=DA即可，這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問題，從而達(dá)到簡化問題的目的. 圖2-1 證明：在CD上截取CF=BC，如圖2-2 在△FCE與△BCE中， ∴△FCE≌△BCE（SAS）,∴∠2=∠1. 又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180，∴∠DCE+∠CDE=90， 圖2-2 ∴∠2+∠3=90，∠1+∠4=90，∴∠3=∠4. 在△FDE與△ADE中， ∴△FDE≌△ADE（ASA），∴DF=DA， ∵CD=DF+CF，∴CD=AD+BC. 圖4-1 例4. 已知：如圖4-1，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2. 求證：AB=AC+CD. 分析：從結(jié)論分析，“截長”或“補(bǔ)短”都可實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，即延長AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC. 證明：方法一（補(bǔ)短法） 圖4-2 延長AC到E，使DC=CE，則∠CDE＝∠CED，如圖4-2 ∴∠ACB＝2∠E， ∵∠ACB＝2∠B，∴∠B＝∠E， 在△ABD與△AED中, ∴△ABD≌△AED（AAS）,∴AB=AE. 又AE=AC+CE=AC+DC，∴AB=AC+DC. 方法二（截長法） 圖4-3 在AB上截取AF=AC，如圖4-3 在△AFD與△ACD中, ∴△AFD≌△ACD（SAS）,∴DF=DC，∠AFD＝∠ACD. 又∵∠ACB＝2∠B，∴∠FDB＝∠B，∴FD=FB. ∵AB=AF+FB=AC+FD，∴AB=AC+CD.