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第一章數(shù)和數(shù)的運(yùn)算 一 概念 （一）整數(shù) 1 整數(shù)的意義 自然數(shù)和 0 都是整數(shù)。 2 自然數(shù) 我們在數(shù)物體的時(shí)候，用來表示物體個(gè)數(shù)的 1，2，3……叫做自然數(shù)。 一個(gè)物體也沒有，用 0 表示。0 也是自然數(shù)。 3 計(jì)數(shù)單位 一（個(gè)）、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬、億……都是計(jì)數(shù)單位。 每相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率都是 10。這樣的計(jì)數(shù)法叫做十進(jìn)制計(jì)數(shù) 法。 4 數(shù)位 計(jì)數(shù)單位按照一定的順序排列起來，它們所占的位置叫做數(shù)位。 5 數(shù)的整除 整數(shù) a 除以整數(shù) b(b ≠ 0），除得的商是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說 a 能 被 b 整除，或者說 b 能整除 a 。 如果數(shù) a 能被數(shù) b（b ≠ 0）整除，a 就叫做 b 的倍數(shù)，b 就叫做 a 的因數(shù) （或約數(shù)）。倍數(shù)和因數(shù)是相互依存的。因?yàn)?35 能被 7 整除，所以 35 是 7 的倍數(shù)，7 是 35 的因數(shù)。 一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，其中最小的因數(shù)是 1，最大的因數(shù)是它本身。例如：10 的因數(shù)有 1、2、5、10，其中最小的因數(shù)是 1，最大的因數(shù)是10。 一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的，其中最小的倍數(shù)是它本身。3 的倍數(shù)有： 3、6、9、12……其中最小的倍數(shù)是 3 ，沒有最大的倍數(shù)。 個(gè)位上是 0、2、4、6、8 的數(shù)，都能被2整除，例如：202、480、304 都能被 2 整除。 個(gè)位上是 0 或 5 的數(shù)，都能被 5 整除，例如：5、30、405 都能被 5 整除。 一個(gè)數(shù)的各位上的數(shù)的和能被 3 整除，這個(gè)數(shù)就能被 3 整除，例如：12、 108、204 都能被 3 整除。 一個(gè)數(shù)各位數(shù)上的和能被 9 整除，這個(gè)數(shù)就能被 9 整除。 能被 3 整除的數(shù)不一定能被 9 整除， 但是能被 9 整除的數(shù)一定能被 3 整除。 一個(gè)數(shù)的末兩位數(shù)能被 4（或 25）整除，這個(gè)數(shù)就能被 4（或 25）整除。 例如：16、404、1256 都能被 4 整除，50、325、500、1675 都能被 25 整 除。 一個(gè)數(shù)的末三位數(shù)能被 8（或 125）整除，這個(gè)數(shù)就能被 8（或 125）整除。 例如：1168、4600、5000、12344 都能被 8 整除，1125、13375、5000 都 能被 125 整除。 能被 2 整除的數(shù)叫做偶數(shù)。 不能被 2 整除的數(shù)叫做奇數(shù)。 0 也是偶數(shù)。自然數(shù)按能否被 2 整除的特征可分為奇數(shù)和偶數(shù)。 一個(gè)數(shù)，如果只有 1 和它本身兩個(gè)因數(shù)，這樣的數(shù)叫做素?cái)?shù)（或素?cái)?shù)）， 100 以內(nèi)的素?cái)?shù)有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、 43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 一個(gè)數(shù)，如果除了 1 和它本身還有別的因數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)，例如 4、 6、8、9、12 都是合數(shù)。 1 不是素?cái)?shù)也不是合數(shù)，自然數(shù)除了 1 外，不是素?cái)?shù)就是合數(shù)。如果把自然數(shù)按其因數(shù)的個(gè)數(shù)的不同分類，可分為素?cái)?shù)、合數(shù)和 1。 每個(gè)合數(shù)都可以寫成幾個(gè)素?cái)?shù)相乘的形式。其中每個(gè)素?cái)?shù)都是這個(gè)合數(shù)的因數(shù)，叫做這個(gè)合 數(shù)的素因數(shù)，例如 15=3×5，3 和 5 叫做 15 的 素因數(shù)。 把一個(gè)合數(shù)用素因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解素因數(shù)。 （ 例如把 28 分解素因數(shù) ） 幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)。其中最大的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，例如 12 的因數(shù)有 1、2、3、4、6、12； 18 的因數(shù)有 1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6 是 12 和 1 8 的公因數(shù)，6 是它們 的最大公因數(shù)。 公因數(shù)只有 1 的兩個(gè)數(shù)，叫做互素?cái)?shù)，成互素關(guān)系的兩個(gè)數(shù)，有下列幾種情況： 1 和任何自然數(shù)互素。 相鄰的兩個(gè)自然數(shù)互素。 兩個(gè)不同的素?cái)?shù)互素。 當(dāng)合數(shù)不是素?cái)?shù)的倍數(shù)時(shí)，這個(gè)合數(shù)和這個(gè)素?cái)?shù)互素。 兩個(gè)合數(shù)的公因數(shù)只有 1 時(shí)，這兩個(gè)合數(shù)互素，如果幾個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)都互素，就說這幾個(gè)數(shù)兩兩互素。 如果較小數(shù)是較大數(shù)的因數(shù)，那么較小數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。 如果兩個(gè)數(shù)是互素?cái)?shù)，它們的最大公因數(shù)就是 1。 幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，如 2 的倍數(shù)有 2、4、6 、8、10、12、14、16、18 …… 3 的倍數(shù)有 3、6、9、12、15、18 …… 其中 6、12、18……是 2、3 的公 倍數(shù)，6 是它們的最小公倍數(shù)。 如果較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)，那么較大數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。 如果兩個(gè)數(shù)是互素?cái)?shù)，那么這兩個(gè)數(shù)的積就是它們的最小公倍數(shù)。 幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，而幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的。 （二）小數(shù) 1 小數(shù)的意義 把整數(shù) 1 平均分成 10 份、100 份、1000 份…… 得到的十分之幾、百分之 幾、千分之幾…… 可以用小數(shù)表示。 一位小數(shù)表示十分之幾，兩位小數(shù)表示百分之幾，三位小數(shù)表示千分之 幾…… 一個(gè)小數(shù)由整數(shù)部分、小數(shù)部分和小數(shù)點(diǎn)部分組成。數(shù)中的圓點(diǎn)叫做小數(shù)點(diǎn)，小數(shù)點(diǎn)左邊的數(shù)叫做整數(shù)部分，小數(shù)點(diǎn)左邊的數(shù)叫做整數(shù)部分，小數(shù)點(diǎn)右邊的數(shù)叫做小數(shù)部分。 在小數(shù)里，每相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率都是 10。小數(shù)部分的最高分?jǐn)?shù)單位“十分之一”和整數(shù)部分的最低單位“一”之間的進(jìn)率也是 10。 2 小數(shù)的分類 純小數(shù)：整數(shù)部分是零的小數(shù)，叫做純小數(shù)。例如： 0.25 、 0.368 都是純小數(shù)。 帶小數(shù)：整數(shù)部分不是零的小數(shù)，叫做帶小數(shù)。 例如： 3.25 、 5.26 都是帶小數(shù)。 有限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是有限的小數(shù)，叫做有限小數(shù)。 例如： 41.7 、 25.3 、 0.23 都是有限小數(shù)。 無限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是無限的小數(shù)，叫做無限小數(shù)。例如： 4.33 …… 3.1415926 …… 無限不循環(huán)小數(shù)：一個(gè)數(shù)的小數(shù)部分，數(shù)字排列無規(guī)律且位數(shù)無限，這樣的小數(shù)叫做無限不循環(huán)小數(shù)。 循環(huán)小數(shù)：一個(gè)數(shù)的小數(shù)部分，有一個(gè)數(shù)字或者幾個(gè)數(shù)字依次不斷重復(fù)出 現(xiàn)，這個(gè)數(shù)叫做循環(huán)小數(shù)。 如： 3.555 …… 0.0333 …… 12.109109 ……一個(gè)循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分， 依次不斷重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字叫做這個(gè)循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)。 例如： 3.99 ……的循環(huán)節(jié)是“ 9 ” ， 0.5454 ……的循環(huán)節(jié)是 “ 54 ” 。 純循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)從小數(shù)部分第一位開始的，叫做純循環(huán)小數(shù)。 例 如： 3.111 …… 0.5656 …… 混循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)不是從小數(shù)部分第一位開始的，叫做混循環(huán)小 數(shù)。 3.1222 …… 0.03333 …… 寫循環(huán)小數(shù)的時(shí)候，為了簡便，小數(shù)的循環(huán)部分只需寫出一個(gè)循環(huán)節(jié)，并 在這個(gè)循環(huán)節(jié)的首、末位數(shù)字上各點(diǎn)一個(gè)圓點(diǎn)。如果循環(huán)節(jié)只有 一個(gè)數(shù)字，就只在它的上面點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)。 （三）分?jǐn)?shù) 1 分?jǐn)?shù)的意義 把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)。 在分?jǐn)?shù)里，中間的橫線叫做分?jǐn)?shù)線；分?jǐn)?shù)線下面的數(shù)，叫做分母，表示把 單位“1”平均分成多少份；分?jǐn)?shù)線下面的數(shù)叫做分子，表示有這樣的多 少份。 把單位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)單位。 2 分?jǐn)?shù)的分類 真分?jǐn)?shù)：分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù)。真分?jǐn)?shù)小于 1。 假分?jǐn)?shù)：分子比分母大或者分子和分母相等的分?jǐn)?shù)，叫做假分?jǐn)?shù)。假分?jǐn)?shù)大于或等于 1。 帶分?jǐn)?shù)：假分?jǐn)?shù)可以寫成整數(shù)與真分?jǐn)?shù)合成的數(shù)，通常叫做帶分?jǐn)?shù)。 3 約分和通分 把一個(gè)分?jǐn)?shù)化成同它相等但是分子、分母都比較小的分?jǐn)?shù)，叫做約分。 分子分母是互素?cái)?shù)的分?jǐn)?shù)，叫做最簡分?jǐn)?shù)。 把異分母分?jǐn)?shù)分別化成和原來分?jǐn)?shù)相等的同分母分?jǐn)?shù)，叫做通分。 （四）百分?jǐn)?shù) 表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)叫做百分?jǐn)?shù),也叫做百分率或百分比。百分?jǐn)?shù)通常用"%"來表示。百分號(hào)是表示百分?jǐn)?shù)的符號(hào)。 二 方法 （一）數(shù)的讀法和寫法 1. 整數(shù)的讀法：從高位到低位，一級(jí)一級(jí)地讀。讀億級(jí)、萬級(jí)時(shí)，先按照個(gè)級(jí)的讀法去讀，再在后面加一個(gè)“億”或“萬”字。每一級(jí)末尾的 0 都不讀出來，其它數(shù)位連續(xù)有幾個(gè) 0 都只讀一個(gè)零。 2. 整數(shù)的寫法：從高位到低位，一級(jí)一級(jí)地寫，哪一個(gè)數(shù)位上一個(gè)單位也沒有，就在那個(gè)數(shù)位上寫 0。 3. 小數(shù)的讀法：讀小數(shù)的時(shí)候，整數(shù)部分按照整數(shù)的讀法讀，小數(shù)點(diǎn)讀作“點(diǎn)”，小數(shù)部分從左向右順次讀出每一位數(shù)位上的數(shù)字。 4. 小數(shù)的寫法：寫小數(shù)的時(shí)候，整數(shù)部分按照整數(shù)的寫法來寫，小數(shù)點(diǎn)寫在個(gè)位右下角，小數(shù)部分順次寫出每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字。 5. 分?jǐn)?shù)的讀法：讀分?jǐn)?shù)時(shí)，先讀分母再讀“分之”然后讀分子，分子和分母按照整數(shù)的讀法來讀。 6. 分?jǐn)?shù)的寫法：先寫分?jǐn)?shù)線，再寫分母，最后寫分子，按照整數(shù)的寫法來寫。 7. 百分?jǐn)?shù)的讀法：讀百分?jǐn)?shù)時(shí)，先讀百分之，再讀百分號(hào)前面的數(shù)，讀數(shù)時(shí)按照整數(shù)的讀法來讀。 8. 百分?jǐn)?shù)的寫法：百分?jǐn)?shù)通常不寫成分?jǐn)?shù)形式，而在原來的分子后面加上百分號(hào)“%”來表示。 （二）數(shù)的改寫 一個(gè)較大的多位數(shù)，為了讀寫方便，常常把它改寫成用“萬”或“億”作單位的數(shù)。有時(shí)還可以根據(jù)需要，省略這個(gè)數(shù)某一位后面的數(shù)，寫成近似數(shù)。 1. 準(zhǔn)確數(shù)：在實(shí)際生活中，為了計(jì)數(shù)的簡便，可以把一個(gè)較大的數(shù)改寫 成以萬或億為單位的數(shù)。改寫后的數(shù)是原數(shù)的準(zhǔn)確數(shù)。 例如把 1254300000 改寫成以萬做單位的數(shù)是 125430 萬；改寫成以億做單位的數(shù) 12.543 億。 2. 近似數(shù)：根據(jù)實(shí)際需要，我們還可以把一個(gè)較大的數(shù)，省略某一位后面的尾數(shù)，用一個(gè)近似數(shù)來表示。 例如： 1302490015 省略億后面的尾數(shù)是 13 億。 3. 四舍五入法：要省略的尾數(shù)的最高位上的數(shù)是 4 或者比 4 小，就把尾數(shù)去掉；如果尾數(shù)的最高位上的數(shù)是 5 或者比 5 大，就把尾數(shù)舍去，并向它的前一位進(jìn) 1。例如：省略 345900 萬后面的尾數(shù)約是 35 萬。省略 4725097420 億后面的尾數(shù)約是 47 億。 4. 大小比較 （1）比較整數(shù)大?。罕容^整數(shù)的大小，位數(shù)多的那個(gè)數(shù)就大，如果位數(shù)相同，就看最高位，最高位上的數(shù)大，那個(gè)數(shù)就大；最高位上的數(shù)相同， 就看下一位，哪一位上的數(shù)大那個(gè)數(shù)就大。 （2）比較小數(shù)的大?。合瓤此鼈兊恼麛?shù)部分，整數(shù)部分大的那個(gè)數(shù)就大；整數(shù)部分相同的，十分位上的數(shù)大的那個(gè)數(shù)就大；十分位上的數(shù)也相同的，百分位上的數(shù)大的那個(gè)數(shù)就大…… （3）比較分?jǐn)?shù)的大小:分母相同的分?jǐn)?shù)，分子大的分?jǐn)?shù)比較大；分子相同的數(shù)，分母小的分?jǐn)?shù)大。分?jǐn)?shù)的分母和分子都不相同的，先通分，再比較兩個(gè)數(shù)的大小。 （三）數(shù)的互化 1. 小數(shù)化成分?jǐn)?shù)：原來有幾位小數(shù)，就在 1 的后面寫幾個(gè)零作分母，把原來的小數(shù)去掉小數(shù)點(diǎn)作分子，能約分的要約分。 2. 分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：用分母去除分子。能除盡的就化成有限小數(shù)，有的不能除盡，不能化成有限小數(shù)的，一般保留三位小數(shù)。 3. 一個(gè)最簡分?jǐn)?shù)，如果分母中除了 2 和 5 以外，不含有其他的素因數(shù)， 這個(gè)分?jǐn)?shù)就能化成有限小數(shù)；如果分母中含有 2 和 5 以外的素因數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就不能化成有限小數(shù)。 4. 小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)：只要把小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位，同時(shí)在后面添上百分號(hào)。 5. 百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：把百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，只要把百分號(hào)去掉，同時(shí)把小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)兩位。 6. 分?jǐn)?shù)化成百分?jǐn)?shù)：通常先把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)（除不盡時(shí)，通常保留三位小數(shù))，再把小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)。 7. 百分?jǐn)?shù)化成分?jǐn)?shù)： 先把百分?jǐn)?shù)改寫成分?jǐn)?shù)， 能約分的要約成最簡分?jǐn)?shù)。 （四）數(shù)的整除 1. 把一個(gè)合數(shù)分解素因數(shù)，通常用短除法。先用能整除這個(gè)合數(shù)的素?cái)?shù)去除，一直除到商是素?cái)?shù)為止，再把除數(shù)和商寫成連乘的形式。 2. 求幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的方法是：先用這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)連續(xù)去除， 一直除到所得的商只有公因數(shù) 1 為止，然后把所有的除數(shù)連乘求積，這個(gè)積就是這幾個(gè)數(shù)的的最大公因數(shù) 。 3. 求幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的方法是：先用這幾個(gè)數(shù)（或其中的部分?jǐn)?shù)） 的公因數(shù)去除，一直除到互素（或兩兩互素）為止，然后把所有的除數(shù)和商連乘求積，這個(gè)積就是這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。 4. 成為互素關(guān)系的兩個(gè)數(shù)： 1 和任何自然數(shù)互素 ； 相鄰的兩個(gè)自然數(shù)互素； 當(dāng)合數(shù)不是素?cái)?shù)的倍數(shù)時(shí)，這個(gè)合數(shù)和這個(gè)素?cái)?shù)互素； 兩個(gè)合數(shù)的公因數(shù)只有 1 時(shí)，這兩個(gè)合數(shù)互素。 （五） 約分和通分 約分的方法：用分子和分母的公約數(shù)（1 除外）去除分子、分母；通常要除到得出最簡分?jǐn)?shù)為止。 通分的方法：先求出原來的幾個(gè)分?jǐn)?shù)分母的最小公倍數(shù)，然后把各分?jǐn)?shù)化成用這個(gè)最小公倍數(shù)作分母的分?jǐn)?shù)。 三 性素和規(guī)律 （一）商不變的規(guī)律 商不變的規(guī)律： 在除法里， 被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大或者同時(shí)縮小相同的倍， 商不變。 （二）小數(shù)的性素 小數(shù)的性素：在小數(shù)的末尾添上零或者去掉零小數(shù)的大小不變。 （三）小數(shù)點(diǎn)位置的移動(dòng)引起小數(shù)大小的變化 1. 小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)一位，原來的數(shù)就擴(kuò)大 10 倍；小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位， 原來的數(shù)就擴(kuò)大 100 倍；小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)三位，原來的數(shù)就擴(kuò)大 1000 倍…… 2. 小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)一位，原來的數(shù)就縮小 10 倍；小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)兩位， 原來的數(shù)就縮小 100 倍；小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)三位，原來的數(shù)就縮小 1000 倍…… 3. 小數(shù)點(diǎn)向左移或者向右移位數(shù)不夠時(shí)，要用“0"補(bǔ)足位。 （四）分?jǐn)?shù)的基本性素 分?jǐn)?shù)的基本性素： 分?jǐn)?shù)的分子和分母都乘以或者除以相同的數(shù) （零除外） ， 分?jǐn)?shù)的大小不變。 （五）分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系 1. 被除數(shù)÷除數(shù)= 被除數(shù)/除數(shù) 2. 因?yàn)榱悴荒茏鞒龜?shù)，所以分?jǐn)?shù)的分母不能為零。 3. 被除數(shù)相當(dāng)于分子，除數(shù)相當(dāng)于分母。 四 運(yùn)算的意義 （一）整數(shù)四則運(yùn)算 1 整數(shù)加法：把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算叫做加法。 在加法里，相加的數(shù)叫做加數(shù)，加得的數(shù)叫做和。加數(shù)是部分?jǐn)?shù)，和是總數(shù)。 加數(shù)+加數(shù)=和 一個(gè)加數(shù)=和 — 另一個(gè)加數(shù) 2整數(shù)減法：已知兩個(gè)加數(shù)的和與其中的一個(gè)加數(shù)，求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算叫做減法。 在減法里，已知的和叫做被減數(shù)，已知的加數(shù)叫做減數(shù)，未知的加數(shù)叫做差。被減數(shù)是總數(shù)，減數(shù)和差分別是部分?jǐn)?shù)。 加法和減法互為逆運(yùn)算。 3 整數(shù)乘法：求幾個(gè)相同加數(shù)的和的簡便運(yùn)算叫做乘法。 在乘法里，相同的加數(shù)和相同加數(shù)的個(gè)數(shù)都叫做因數(shù)。相同加數(shù)的和叫做積。 在乘法里，0 和任何數(shù)相乘都得 0. 1 和任何數(shù)相乘都的任何數(shù)。 一個(gè)因數(shù)× 一個(gè)因數(shù) =積 一個(gè)因數(shù)=積÷另一個(gè)因數(shù) 4 整數(shù)除法：已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算叫做除法 在除法里，已知的積叫做被除數(shù)，已知的一個(gè)因數(shù)叫做除數(shù)，所求的因數(shù)叫做商。 乘法和除法互為逆運(yùn)算。 在除法里，0 不能做除數(shù)。因?yàn)?0 和任何數(shù)相乘都得 0，所以任何一個(gè)數(shù)除以 0，均得不到一個(gè)確定的商。 被除數(shù)÷除數(shù)=商 除數(shù)=被除數(shù)÷商 被除數(shù)=商×除數(shù) （二）小數(shù)四則運(yùn)算 1. 小數(shù)加法：小數(shù)加法的意義與整數(shù)加法的意義相同。是把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算。 2. 小數(shù)減法：小數(shù)減法的意義與整數(shù)減法的意義相同。已知兩個(gè)加數(shù)的和與其中的一個(gè)加數(shù)，求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算. 3. 小數(shù)乘法：小數(shù)乘整數(shù)的意義和整數(shù)乘法的意義相同，就是求幾個(gè)相同加數(shù)和的簡便運(yùn)算；一個(gè)數(shù)乘純小數(shù)的意義是求這個(gè)數(shù)的十分之幾、百 分之幾、千分之幾……是多少。 4. 小數(shù)除法：小數(shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義相同，就是已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算。 5. 乘方 求幾個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫做乘方。 （三）分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算 1. 分?jǐn)?shù)加法：分?jǐn)?shù)加法的意義與整數(shù)加法的意義相同。 是把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算。 2. 分?jǐn)?shù)減法：分?jǐn)?shù)減法的意義與整數(shù)減法的意義相同。已知兩個(gè)加數(shù)的和與其中的一個(gè)加數(shù)，求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算。 3. 分?jǐn)?shù)乘法：分?jǐn)?shù)乘法的意義與整數(shù)乘法的意義相同，就是求幾個(gè)相同加數(shù)和的簡便運(yùn)算。 4. 乘積是 1 的兩個(gè)數(shù)叫做互為倒數(shù)。 5. 分?jǐn)?shù)除法：分?jǐn)?shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義相同。就是已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算。 （四）運(yùn)算定律 1. 加法交換律：兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，它們的和不變，即 a+b=b+a 。 2. 加法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，再加上第三個(gè)數(shù)；或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，再和第一個(gè)數(shù)相加它們的和不變，即 （a+b)+c=a+(b+c) 。 3. 乘法交換律：兩數(shù)相乘，交換因數(shù)位置它們的積不變，即 a×b=b×a。 4. 乘法結(jié)合律：三數(shù)相乘，先把前兩數(shù)相乘，再乘以第三數(shù)；或者先把后兩數(shù)相乘， 再和第一數(shù)相乘， 它們的積不變， 即(a×b)×c=a×(b×c) 。 5. 乘法分配律：兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以把兩個(gè)加數(shù)分別與這個(gè)數(shù)相乘再把兩個(gè)積相加，即(a+b)×c=a×c+b×c 。 6. 減法的性素：從一個(gè)數(shù)里連續(xù)減去幾個(gè)數(shù)，可以從這個(gè)數(shù)里減去所有減數(shù)的和，差不變，即 a-b-c=a-(b+c) 。 （五）運(yùn)算法則 1. 整數(shù)加法計(jì)算法則：相同數(shù)位對(duì)齊，從低位加起，哪一位上的數(shù)相加滿十，就向前一位進(jìn)一。 2. 整數(shù)減法計(jì)算法則：相同數(shù)位對(duì)齊，從低位減起，哪一位上的數(shù)不夠減，就從它的前一位退一作十，和本位上的數(shù)合并在一起，再減。 3. 整數(shù)乘法計(jì)算法則：先把兩個(gè)因數(shù)的個(gè)位對(duì)齊，再用第二個(gè)因數(shù)從個(gè)位起依次和第一個(gè)因數(shù)的每個(gè)位相乘；從個(gè)位開始依次相乘，乘到哪一位，得數(shù)的個(gè)位就和哪一位對(duì)齊，然后把各次乘得的相加。 (整數(shù)末尾有0的乘法，先把0前面的整數(shù)相乘，再看各因數(shù)的末尾有幾個(gè)0，就在乘得的數(shù)的末尾加幾個(gè)0。） 4. 整數(shù)除法計(jì)算法則：先從被除數(shù)的高位除起，除數(shù)是幾位數(shù)，就看被除數(shù)的前幾位數(shù)； 如果不夠除，就多看一位，除到被除數(shù)的哪一位，商就寫在哪一位的上面。如果哪一位上不夠商 1，要補(bǔ)“0”占位。每次除得的余數(shù)要小于除數(shù)。 5. 小數(shù)乘法法則：先按照整數(shù)乘法的計(jì)算法則算出積，再看因數(shù)中共有幾位小數(shù)，就從積的右邊起數(shù)出幾位，點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)；如果位數(shù)不夠，就用 “0”補(bǔ)足。 6. 除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法計(jì)算法則：先按照整數(shù)除法的法則去除，商的小數(shù)點(diǎn)要和被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊；如果除到被除數(shù)的末尾仍有余數(shù)，就在余數(shù)后面添“0”，再繼續(xù)除。 7. 除數(shù)是小數(shù)的除法計(jì)算法則：先移動(dòng)除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)，使它變成整數(shù)， 同時(shí)被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)也向右移動(dòng)幾位（位數(shù)不夠的補(bǔ)“0”），然后按照除數(shù)是整數(shù)的除法法則進(jìn)行計(jì)算。 8. 同分母分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算方法:同分母分?jǐn)?shù)相加減，只把分子相加減，分母不變。 9. 異分母分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算方法:先通分， 然后按照同分母分?jǐn)?shù)加減法的的法則進(jìn)行計(jì)算。 10. 帶分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算方法:整數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分分別相加減，再把所得的數(shù)合并起來。 11. 分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算法則: 分?jǐn)?shù)乘整數(shù)，用分?jǐn)?shù)的分子和整數(shù)相乘的積作分子，分母不變； 分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。 12. 分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算法則:甲數(shù)除以乙數(shù)（0 除外），等于甲數(shù)乘乙數(shù)的 倒數(shù)。 （六） 運(yùn)算順序 1. 小數(shù)四則運(yùn)算的運(yùn)算順序和整數(shù)四則運(yùn)算順序相同。 2. 分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的運(yùn)算順序和整數(shù)四則運(yùn)算順序相同。 3. 沒有括號(hào)的混合運(yùn)算:同級(jí)運(yùn)算從左往右依次運(yùn)算；兩級(jí)運(yùn)算先算乘、除法，后算加減法。 4. 有括號(hào)的混合運(yùn)算:先算小括號(hào)里面的，再算中括號(hào)里面的，最后算括 號(hào)外面的。 5. 第一級(jí)運(yùn)算：加法和減法叫做第一級(jí)運(yùn)算。 6. 第二級(jí)運(yùn)算：乘法和除法叫做第二級(jí)運(yùn)算。 五 應(yīng)用 （一）整數(shù)和小數(shù)的應(yīng)用 1 簡單應(yīng)用題 （1） 簡單應(yīng)用題：只含有一種基本數(shù)量關(guān)系，或用一步運(yùn)算解答的應(yīng)用題，通常叫做簡單應(yīng)用題。 （2） 解題步驟： a 審題理解題意：了解應(yīng)用題的內(nèi)容，知道應(yīng)用題的條件和問題。讀題時(shí)，不丟字不添字邊讀邊思考，弄明白題中每句話的意思。也可以復(fù)述條件和問題，幫助理解題意。 b 選擇算法和列式計(jì)算： 這是解答應(yīng)用題的中心工作。 從題目中的已知什么， 要求什么著手，逐步根據(jù)所給的條件和問題，聯(lián)系四則運(yùn)算的含義，分析數(shù)量關(guān)系，確定算法，進(jìn)行解答并標(biāo)明正確的單位名稱。 c 檢驗(yàn)：就是根據(jù)應(yīng)用題的條件和問題進(jìn)行檢查看所列算式和計(jì)算過程是否正確，是否符合題意。如果發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，馬上改正。 d 答案：根據(jù)計(jì)算的結(jié)果，先口答，逐步過渡到筆答。 ( 3 ) 解答加法應(yīng)用題： a 求總數(shù)的應(yīng)用題：已知甲數(shù)是多少，乙數(shù)是多少，求甲乙兩數(shù)的和是多少。 b 求比一個(gè)數(shù)多幾的數(shù)應(yīng)用題：已知甲數(shù)是多少和乙數(shù)比甲數(shù)多多少，求乙數(shù)是多少。 (4 ) 解答減法應(yīng)用題： a 求剩余的應(yīng)用題：從已知數(shù)中去掉一部分，求剩下的部分。 b 求兩個(gè)數(shù)相差的多少的應(yīng)用題：已知甲乙兩數(shù)各是多少，求甲數(shù)比乙數(shù)多多少，或乙數(shù)比甲數(shù)少多少。 c 求比一個(gè)數(shù)少幾的數(shù)的應(yīng)用題：已知甲數(shù)是多少，，乙數(shù)比甲數(shù)少多少， 求乙數(shù)是多少。 (5 ) 解答乘法應(yīng)用題： a 求相同加數(shù)和的應(yīng)用題：已知相同的加數(shù)和相同加數(shù)的個(gè)數(shù)，求總數(shù)。 b 求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少的應(yīng)用題：已知一個(gè)數(shù)是多少，另一個(gè)數(shù)是它的幾倍，求另一個(gè)數(shù)是多少。 ( 6) 解答除法應(yīng)用題： a 把一個(gè)數(shù)平均分成幾份，求每一份是多少的應(yīng)用題：已知一個(gè)數(shù)和把這個(gè)數(shù)平均分成幾份的，求每一份是多少。 b 求一個(gè)數(shù)里包含幾個(gè)另一個(gè)數(shù)的應(yīng)用題：已知一個(gè)數(shù)和每份是多少，求可以分成幾份。 c 求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的的幾倍的應(yīng)用題：已知甲數(shù)乙數(shù)各是多少，求較大數(shù)是較小數(shù)的幾倍。 d 已知一個(gè)數(shù)的幾倍是多少，求這個(gè)數(shù)的應(yīng)用題。 （7）常見的數(shù)量關(guān)系： 總價(jià)= 單價(jià)×數(shù)量 路程= 速度×?xí)r間 工作總量=工作時(shí)間×工作效率 總產(chǎn)量=單產(chǎn)量×數(shù)量 2 復(fù)合應(yīng)用題 （1）有兩個(gè)或兩個(gè)以上的基本數(shù)量關(guān)系組成的，用兩步或兩步以上運(yùn)算解答的應(yīng)用題，通常叫做復(fù)合應(yīng)用題。 （2）含有三個(gè)已知條件的兩步計(jì)算的應(yīng)用題。 求比兩個(gè)數(shù)的和多（少）幾個(gè)數(shù)的應(yīng)用題。 比較兩數(shù)差與倍數(shù)關(guān)系的應(yīng)用題。 （3）含有兩個(gè)已知條件的兩步計(jì)算的應(yīng)用題。已知兩數(shù)相差多少（或倍數(shù)關(guān)系）與其中一個(gè)數(shù)，求兩個(gè)數(shù)的和（或差）已知兩數(shù)之和與其中一個(gè)數(shù)，求兩個(gè)數(shù)相差多少（或倍數(shù)關(guān)系）。 （4）解答連乘連除應(yīng)用題。 （5）解答三步計(jì)算的應(yīng)用題。 （6）解答小數(shù)計(jì)算的應(yīng)用題：小數(shù)計(jì)算的加法、減法、乘法和除法的應(yīng)用題，他們的數(shù)量關(guān)系、結(jié)構(gòu)、和解題方式都與正式應(yīng)用題基本相同，只是在已知數(shù)或未知數(shù)中間含有小數(shù)。 3 典型應(yīng)用題 具有獨(dú)特的結(jié)構(gòu)特征的和特定的解題規(guī)律的復(fù)合應(yīng)用題， 通常叫做典型應(yīng) 用題。 （1）平均數(shù)問題：平均數(shù)是等分除法的發(fā)展。 解題關(guān)鍵：在于確定總數(shù)量和與之相對(duì)應(yīng)的總份數(shù)。 算術(shù)平均數(shù)：已知幾個(gè)不相等的同類量和與之相對(duì)應(yīng)的份數(shù)，求平均每份是多少。數(shù)量關(guān)系式：數(shù)量之和÷數(shù)量的個(gè)數(shù)=算術(shù)平均數(shù)。 加權(quán)平均數(shù)：已知兩個(gè)以上若干份的平均數(shù)，求總平均數(shù)是多少。 數(shù)量關(guān)系式 （部分平均數(shù)×權(quán)數(shù)）的總和÷（權(quán)數(shù)的和）=加權(quán)平均數(shù)。 差額平均數(shù)：是把各個(gè)大于或小于標(biāo)準(zhǔn)數(shù)的部分之和被總份數(shù)均分， 求的是標(biāo)準(zhǔn)數(shù)與各數(shù)相差之和的平均數(shù)。 數(shù)量關(guān)系式：（大數(shù)－小數(shù)）÷2=小數(shù)應(yīng)得數(shù) ÷總份數(shù)=最大數(shù)應(yīng)給數(shù)得數(shù)。 例：明明開汽車以每小時(shí) 100 千米 的速度從甲地開往乙地，又以每小 時(shí) 60 千米的速度從乙地開往甲地。求這輛車的平均速度。 分析：求汽車的平均速度同樣可以利用公式。此題可以把甲地到乙地的路程設(shè)為 “1” ， 則汽車行駛的總路程為 “2” ， 從甲地到乙地的速度為 100 ， 所用的時(shí)間為 1÷100 =1/100（小時(shí)） ，汽車從乙地到甲地速度為 60 千 米 ，所用的時(shí)間是 1÷60 =1/60（小時(shí)），汽車共行的時(shí)間為 1/100+1/60 =2/75(小時(shí)), 汽車的平均速度為 2 ÷2/75 =75（千米/小時(shí)） （2） 歸一問題：已知相互關(guān)聯(lián)的兩個(gè)量，其中一種量改變，另一種量也隨之而改變，其變化的規(guī)律是相同的，這種問題稱之為歸一問題。根據(jù)求“單一量”的步驟的多少，歸一問題可以分為一次歸一問題，兩次歸一問題。根據(jù)求出單一量之后，解題采用乘法還是除法，歸一問題可以分為正歸一問題，反歸一問題。一次歸一問題，用一步運(yùn)算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“單歸一。” 最大數(shù)與各數(shù)之差的和最大數(shù)與個(gè)數(shù)之差的和÷總份數(shù)=最小數(shù)應(yīng) 兩次歸一問題，用兩步運(yùn)算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“雙歸一?！?正歸一問題：用等分除法求出“單一量”之后，再用乘法計(jì)算結(jié)果的歸一問題。 反歸一問題：用等分除法求出“單一量”之后，再用除法計(jì)算結(jié)果的歸一問題。 解題關(guān)鍵： 從已知的一組對(duì)應(yīng)量中用等分除法求出一份的數(shù)量 （單一量） ， 然后以它為標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)題目的要求算出結(jié)果。 數(shù)量關(guān)系式：單一量×份數(shù)=總數(shù)量（正歸一） 總數(shù)量÷單一量=份數(shù)（反歸一） 例： 一個(gè)織布工人，在七月份織布 4774 米 ， 照這樣計(jì)算，織布 6930 米 ， 需要多少天？ 分析必須先求出平均每天織布多少米，就是單一量。 6930 ÷ （ 4774 ÷ 31 ） =45（天） （3）歸總問題： 是已知單位數(shù)量和計(jì)量單位數(shù)量的個(gè)數(shù)，以及不同的單位數(shù)量（或單位數(shù)量的個(gè)數(shù)），通過求總數(shù)量求得單位數(shù)量的個(gè)數(shù)（或單位數(shù)量）。 特點(diǎn)：兩種相關(guān)聯(lián)的量，其中一種量變化，另一種量也跟著變化，不過變化的規(guī)律相反，和反比例算法彼此相通。 數(shù)量關(guān)系式：單位數(shù)量×單位個(gè)數(shù)÷另一個(gè)單位數(shù)量 = 另一個(gè)單位數(shù)量。 例： 修一條水渠，原計(jì)劃每天修 800 米 ， 6 天修完。實(shí)際 4 天修完，每天修了多少米？ 分析：因?yàn)橐蟪雒刻煨薜拈L度，就必須先求出水渠的長度。所以也把這類應(yīng)用題叫做“歸總問題”。不同之處是“歸一”先求出單一量，再求總 量，歸總問題是先求出總量，再求單一量。 800 × 6 ÷ 4=1200 （米） （4） 和差問題： 已知大小兩個(gè)數(shù)的和，以及他們的差，求這兩個(gè)數(shù)各是 多少的應(yīng)用題叫做和差問題。 解題關(guān)鍵： 是把大小兩個(gè)數(shù)的和轉(zhuǎn)化成兩個(gè)大數(shù)的和 （或兩個(gè)小數(shù)的和） ， 然后再求另一個(gè)數(shù)。 解題規(guī)律：（和＋差）÷2 = 大數(shù) （和－差）÷2=小數(shù) 大數(shù)－差=小數(shù) 和－小數(shù)= 大數(shù) 例：某加工廠甲班和乙班共有工人 94 人，因工作需要臨時(shí)從乙班調(diào) 46 人到甲班工作，這時(shí)乙班比甲班人數(shù)少 12 人，求原來甲班和乙班各有多少 人？ 分析： 從乙班調(diào) 46 人到甲班， 對(duì)于總數(shù)沒有變化， 現(xiàn)在把乙數(shù)轉(zhuǎn)化成 2 個(gè) 乙班，即 9 4 － 12 ，由此得到現(xiàn)在的乙班是（ 9 4 － 12 ）÷ 2=41 （人） ， 乙班在調(diào)出 46 人之前應(yīng)該為 41+46=87 （人），甲班為 9 4 － 87=7 （人） （5）和倍問題：已知兩個(gè)數(shù)的和及它們之間的倍數(shù) 關(guān)系，求兩個(gè)數(shù)各是多少的應(yīng)用題，叫做和倍問題。 解題關(guān)鍵：找準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)（即 1 倍數(shù)）一般說來，題中說是“誰”的幾倍， 把誰就確定為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)。求出倍數(shù)和之后，再求出標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)量是多少。根據(jù)另一個(gè)數(shù)（也可能是幾個(gè)數(shù)）與標(biāo)準(zhǔn)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，再去求另一個(gè)數(shù)（或 幾個(gè)數(shù)）的數(shù)量。 解題規(guī)律： 和÷倍數(shù)和=標(biāo)準(zhǔn)數(shù) 標(biāo)準(zhǔn)數(shù)×倍數(shù)=另一個(gè)數(shù) 例:汽車運(yùn)輸場有大小貨車 115 輛，大貨車比小貨車的 5 倍多 7 輛，運(yùn)輸場有大貨車和小汽車各有多少輛？ 分析：大貨車比小貨車的 5 倍還多 7 輛，這 7 輛也在總數(shù) 115 輛內(nèi)，為了使總數(shù)與（ 5+1 ）倍對(duì)應(yīng)，總車輛數(shù)應(yīng)（ 115-7 ）輛 。 列式為（ 115-7 ）÷（ 5+1 ） =18 （輛）， 18 × 5+7=97 （輛） （6）差倍問題：已知兩個(gè)數(shù)的差，及兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，求兩個(gè)數(shù)各是多少的應(yīng)用題。 解題規(guī)律：兩個(gè)數(shù)的差÷（倍數(shù)－1 ）= 標(biāo)準(zhǔn)數(shù) 標(biāo)準(zhǔn)數(shù)×倍數(shù)=另一個(gè)數(shù)。 例：甲乙兩根繩子， 甲繩長 63 米 ， 乙繩長 29 米 ， 兩根繩剪去同樣的長度， 結(jié)果甲所剩的長度是乙繩長的 3 倍，甲乙兩繩所剩長度各多少米？ 各減去多少米？ 分析：兩根繩子剪去相同的一段，長度差沒變，甲繩所剩的長度是乙繩的 3 倍，實(shí)比乙繩多（ 3-1 ）倍，以乙繩的長度為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)。列式（ 63-29 ） ÷（ 3-1 ） =17 （米）…乙繩剩下的長度， 17 × 3=51 （米）…甲繩剩 下的長度， 29-17=12 （米）…剪去的長度。 （7）行程問題：關(guān)于走路、行車等問題，一般都是計(jì)算路程、時(shí)間、速度，叫做行程問題。解答這類問題首先要搞清楚速度、時(shí)間、路程、方向、 速度和、速度差等概念，了解他們之間的關(guān)系，再根據(jù)這類問題的規(guī)律解答。 解題關(guān)鍵及規(guī)律： 同時(shí)同地相背而行：路程=速度和×?xí)r間。 同時(shí)相向而行：相遇時(shí)間=速度和×?xí)r間 同時(shí)同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及時(shí)間=追及路程÷速度差。 同時(shí)同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：路程=速度差×?xí)r間。 例：甲在乙的后面 28 千米 ，兩人同時(shí)同向而行，甲每小時(shí)行 16 千米 ，乙每小時(shí)行 9 千米 ，甲幾小時(shí)追上乙？ 分析：甲每小時(shí)比乙多行（ 16-9 ）千米，也就是甲每小時(shí)可以追近乙 （ 16-9 ）千米，這是速度差。 已知甲在乙的后面 28千米（追擊路程），28 千米里包含著幾個(gè) （ 16-9 ） 千米，也就是追擊所需要的時(shí)間。列式 2 8 ÷ （ 16-9 ） =4 （小時(shí)） （8）流水問題： 一般是研究船在“流水”中航行的問題。它是行程問題中比較特殊的一種類型，它也是一種和差問題。它的特點(diǎn)主要是考慮水速在逆行和順行中的不同作用。 船速：船在靜水中航行的速度。 水速：水流動(dòng)的速度。 順?biāo)俣龋捍樍骱叫械乃俣取?順?biāo)?船速＋水速 逆水速度：船逆流航行的速度。 逆速=船速－水速 解題關(guān)鍵：因?yàn)轫樍魉俣仁谴倥c水速的和，逆流速度是船速與水速的差，所以流水問題當(dāng)作和差問題解答。 解題時(shí)要以水流為線索。 解題規(guī)律：船行速度=（順?biāo)俣? 逆流速度）÷2 流水速度=（順流速度- 逆流速度）÷2 路程=順流速度× 順流航行所需時(shí)間 路程=逆流速度×逆流航行所需時(shí)間 例：一只輪船從甲地開往乙地順?biāo)?，每小時(shí)行 28 千米，到乙地后，又逆水航行，回到甲地。逆水比順?biāo)嘈?2 小時(shí)，已知水速每小時(shí) 4 千 米。求甲乙兩地相距多少千米？ 分析：此題必須先知道順?biāo)乃俣群晚標(biāo)枰臅r(shí)間，或者逆水速度和逆水的時(shí)間。已知順?biāo)俣群退魉俣龋虼瞬浑y算出逆水的速度，但順?biāo)玫臅r(shí)間，逆水所用的時(shí)間不知道，只知道順?biāo)饶嫠儆?2 小時(shí)，抓住這一點(diǎn)，就可以就能算出順?biāo)畯募椎氐揭业氐乃玫臅r(shí)間，這樣就能算出甲乙兩地的路程。列式為 28- 4 × 2=20 （千米） 2 0 × 2 =40 （千 米） 40 ÷（ 4 × 2 ） =5 （小時(shí)） 28 × 5=140 （千米）。 （9） 還原問題：已知某未知數(shù)，經(jīng)過一定的四則運(yùn)算后所得的結(jié)果，求這個(gè)未知數(shù)的應(yīng)用題，我們叫做還原問題。 解題關(guān)鍵：要弄清每一步變化與未知數(shù)的關(guān)系。 解題規(guī)律：從最后結(jié)果出發(fā)，采用與原題中相反的運(yùn)算（逆運(yùn)算）方法， 逐步推導(dǎo)出原數(shù)。 根據(jù)原題的運(yùn)算順序列出數(shù)量關(guān)系，然后采用逆運(yùn)算的方法計(jì)算推導(dǎo)出原數(shù)。 解答還原問題時(shí)注意觀察運(yùn)算的順序。若需要先算加減法，后算乘除法時(shí)別忘記寫括號(hào)。 例：某小學(xué)三年級(jí)四個(gè)班共有學(xué)生 168 人，如果四班調(diào) 3 人到三班，三班調(diào) 6 人到二班，二班調(diào) 6 人到一班，一班調(diào) 2 人到四班，則四個(gè)班的人數(shù)相等，四個(gè)班原有學(xué)生多少人？ 分析： 當(dāng)四個(gè)班人數(shù)相等時(shí)， 應(yīng)為 168 ÷ 4 ， 以四班為例， 它調(diào)給三班 3 人，又從一班調(diào)入 2 人，所以四班原有的人數(shù)減去 3 再加上 2 等于平均數(shù)。 四班原有人數(shù)列式為 168 ÷ 4-2+3=43 （人） 一班原有人數(shù)列式為 168 ÷ 4-6+2=38 （人）； 二班原有人數(shù)列式為 168 ÷ 4-6+6=42 （人） 三班原有人數(shù)列式為 168 ÷ 4-3+6=45 （人）。 （10）植樹問題：這類應(yīng)用題是以“植樹”為內(nèi)容。凡是研究總路程、株距、段數(shù)、棵樹四種數(shù)量關(guān)系的應(yīng)用題，叫做植樹問題。 解題關(guān)鍵：解答植樹問題首先要判斷地形，分清是否封閉圖形，從而確定是沿線段植樹還是沿周長植樹，然后按基本公式進(jìn)行計(jì)算。 解題規(guī)律：沿線段植樹 棵樹=段數(shù)+1 棵樹=總路程÷株距+1 株距=總路程÷（棵樹-1） 總路程=株距×（棵樹-1） 沿周長植樹 棵樹=總路程÷株距 株距=總路程÷棵樹 總路程=株距×棵樹 例：沿公路一旁埋電線桿 301 根，每相鄰的兩根的間距是 50 米 。后來全部改裝，只埋了 201 根。求改裝后每相鄰兩根的間距。 分析：本題是沿線段埋電線桿，要把電線桿的根數(shù)減掉一。列式為 50 × （ 301-1 ）÷（ 201-1 ） =75 （米） （11 ）盈虧問題：是在等分除法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。 他的特點(diǎn)是把一 定數(shù)量的物品，平均分配給一定數(shù)量的人，在兩次分配中，一次有余，一次不足（或兩次都有余，或兩次都不足），已知所余和不足的數(shù)量，求物品適量和參加分配人數(shù)的問題，叫做盈虧問題。 解題關(guān)鍵：盈虧問題的解法要點(diǎn)是先求兩次分配中分配者沒份所得物品數(shù)量的差，再求兩次分配中各次共分物品的差（也稱總差額），用前一個(gè)差去除后一個(gè)差，就得到分配者的數(shù)，進(jìn)而再求得物品數(shù)。 解題規(guī)律：總差額÷每人差額=人數(shù) 總差額的求法可以分為以下四種情況： 第一次多余，第二次不足，總差額=多余+ 不足 第一次正好，第二次多余或不足 ，總差額=多余或不足 第一次多余，第二次也多余，總差額=大多余-小多余 第一次不足，第二次也不足， 總差額= 大不足-小不足 例： 參加美術(shù)小組的同學(xué)， 每個(gè)人分的相同的支數(shù)的色筆， 如果小組 10 人， 則多 25 支，如果小組有 12 人，色筆多余 5 支。求每人分得幾支？共有多少支色鉛筆？ 分析： 每個(gè)同學(xué)分到的色筆相等。 這個(gè)活動(dòng)小組有 12 人， 比 10 人多 2 人， 而色筆多出了（ 25-5 ） =20 支 ， 2 個(gè)人多出 20 支，一個(gè)人分得 10 支。 列式為（ 25-5 ）÷（ 12-10 ） =10 （支） 10 × 12+5=125 （支）。 （12）年齡問題：將差為一定值的兩個(gè)數(shù)作為題中的一個(gè)條件，這種應(yīng)用題被稱為“年齡問題”。 解題關(guān)鍵：年齡問題與和差、和倍、 差倍問題類似，主要特點(diǎn)是隨著時(shí)間的變化， 年歲不斷增長， 但大小兩個(gè)不同年齡的差是不會(huì)改變的， 因此年齡問題是一種“差不變”的問題，解題時(shí)，要善于利用差不變的特點(diǎn)。 例：父親 48 歲，兒子 21 歲。問幾年前父親的年齡是兒子的 4 倍？ 分析：父子的年齡差為 48-21=27 （歲）。由于幾年前父親年齡是兒子的 4 倍，可知父子年齡的倍數(shù)差是（ 4-1 ）倍。這樣可以算出幾年前父子的年齡，從而可以求出幾年前父親的年齡是兒子的 4 倍。列式為： 21- （ 48-21 ）÷（ 4-1 ） =12 （年） （13）雞兔問題：已知“雞兔”的總頭數(shù)和總腿數(shù)。求“雞”和“兔”各 多少只的一類應(yīng)用題。通常稱為“雞兔問題”又稱雞兔同籠問題 解題關(guān)鍵：解答雞兔問題一般采用假設(shè)法，假設(shè)全是一種動(dòng)物（如全是 “雞”或全是“兔”，然后根據(jù)出現(xiàn)的腿數(shù)差，可推算出某一種的頭數(shù)。 解題規(guī)律： （總腿數(shù)－雞腿數(shù)×總頭數(shù)）÷一只雞兔腿數(shù)的差=兔子只數(shù) 兔子只數(shù)=（總腿數(shù)-2×總頭數(shù)）÷2 如果假設(shè)全是兔子，可以有下面的式子： 雞的只數(shù)=（4×總頭數(shù)-總腿數(shù)）÷2 兔的頭數(shù)=總頭數(shù)-雞的只數(shù) 例：雞兔同籠共 50 個(gè)頭， 170 條腿。問雞兔各有多少只？ 兔子只數(shù) （ 170-2 × 50 ）÷ 2 =35 （只） 雞的只數(shù) 50-35=15 （只） （二）分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用 1 分?jǐn)?shù)加減法應(yīng)用題： 分?jǐn)?shù)加減法的應(yīng)用題與整數(shù)加減法的應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)、數(shù)量關(guān)系和解題方法基本相同，所不同的只是在已知數(shù)或未知數(shù)中含有分?jǐn)?shù)。 2 分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題： 是指已知一個(gè)數(shù)，求它的幾分之幾是多少的應(yīng)用題。 特征：已知單位“1”的量和分率，求與分率所對(duì)應(yīng)的實(shí)際數(shù)量。 解題關(guān)鍵：準(zhǔn)確判斷單位“1”的量。找準(zhǔn)要求問題所對(duì)應(yīng)的分率，然后根據(jù)一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義正確列式。 3 分?jǐn)?shù)除法應(yīng)用題： 求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾（或百分之幾）是多少。 特征：已知一個(gè)數(shù)和另一個(gè)數(shù)，求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾或百分之幾?！耙粋€(gè)數(shù)”是比較量，“另一個(gè)數(shù)”是標(biāo)準(zhǔn)量。求分率或百分率， 也就是求他們的倍數(shù)關(guān)系。 解題關(guān)鍵：從問題入手，搞清把誰看作標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)也就是把誰看作了“單位一”，誰和單位一的量作比較，誰就作被除數(shù)。 甲是乙的幾分之幾（百分之幾）:甲是比較量，乙是標(biāo)準(zhǔn)量，用甲除以乙。 甲比乙多（或少）幾分之幾（百分之幾）：甲減乙比乙多（或少幾分之 幾）或（百分之幾）。關(guān)系式（甲數(shù)減乙數(shù)）/乙數(shù) 或（甲數(shù)減乙數(shù)）/ 甲數(shù) 。 已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾（或百分之幾 ） ,求這個(gè)數(shù)。 特征：已知一個(gè)實(shí)際數(shù)量和它相對(duì)應(yīng)的分率，求單位“1”的量。 解題關(guān)鍵：準(zhǔn)確判斷單位“1”的量把單位“1”的量看成 x 根據(jù)分?jǐn)?shù)乘 法的意義列方程，或者根據(jù)分?jǐn)?shù)除法的意義列算式，但必須找準(zhǔn)和分率相 對(duì)應(yīng)的已知實(shí)際 數(shù)量。 4 出勤率 發(fā)芽率=發(fā)芽種子數(shù)/試驗(yàn)種子數(shù)×100% 小麥的出粉率= 面粉的重量/小麥的重量×100% 產(chǎn)品的合格率=合格的產(chǎn)品數(shù)/產(chǎn)品總數(shù)×100% 職工的出勤率=實(shí)際出勤人數(shù)/應(yīng)出勤人數(shù)×100% 5 工程問題： 是分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的特例，它與整數(shù)的工作問題有著密切的聯(lián)系。它是探討工作總量、工作效率和工作時(shí)間三個(gè)數(shù)量之間相互關(guān)系的一種應(yīng)用題。 解題關(guān)鍵：把工作總量看作單位“1”，工作效率就是工作時(shí)間的倒數(shù)， 然后根據(jù)題目的具體情況，靈活運(yùn)用公式。 數(shù)量關(guān)系式： 工作總量=工作效率×工作時(shí)間 工作效率=工作總量÷工作時(shí)間 工作時(shí)間=工作總量÷工作效率 工作總量÷工作效率和=合作時(shí)間 6 納稅 納稅就是把根據(jù)國家各種稅法的有關(guān)規(guī)定，按照一定的比率把集體或個(gè)人收入的一部分繳納給國家。 繳納的稅款叫應(yīng)納稅款。 應(yīng)納稅額與各種收入的（銷售額、營業(yè)額、應(yīng)納稅所得額 ……）的比率叫做稅率。 利息 存入銀行的錢叫做本金。 取款時(shí)銀行多支付的錢叫做利息。 利息與本金的比值叫做利率。 利息=本金×利率×?xí)r間 第二章度量衡 一 長度 (一) 什么是長度 長度是一維空間的度量。 (二) 長度常用單位 公里(km) 米(m) 分米(dm) 厘米(cm) 毫米(mm) 微米(um) (三) 單位之間的換算 1 毫米 ＝1000 微米 1 厘米 ＝10 毫米 1 分米 ＝10 厘米 1 米 ＝1000 毫米 1 千米 ＝1000 米 二 面積 （一）什么是面積 面積就是物體所占平面的大小。對(duì)立體物體的表面的多少的測量一般稱 表面積。 （二）常用的面積單位 平方毫米 平方分米 平方厘米 平方米 平方千米 （三）面積單位的換算 1 平方厘米 ＝100 平方毫米 1 平方分米=100 平方厘米 1平方米 ＝100 平方分米 1 平方公里 ＝100 公頃 1 公傾 ＝10000 平方米 三 體積和容積 （一）什么是體積、容積 體積就是物體所占空間的大小。 箱子、油桶、倉庫等所能容納物體的體積，通常叫做它們的容積。 （二）常用單位 1 - 體積單位 立方米 立方分米 立方厘米 2 容積單位 升 毫升 （三）單位換算 1 體積單位 1 立方米=1000 立方分米 1 立方分米=1000 立方厘米 2 容積單位 * 1 升=1000 毫升 1 升=1 立方米 毫升=1 立方厘米 四 質(zhì)量 （一）什么是質(zhì)量 質(zhì)量，就是表示表示物體有多重。 （二）常用單位 噸 t 千克 kg 克g （三）常用換算 一噸=1000 千克 1 千克=1000 克 五 時(shí)間 （一）什么是時(shí)間 是指有起點(diǎn)和終點(diǎn)的一段時(shí)間 （二）常用單位 世紀(jì) 年 月 日 時(shí) 分 秒 （三）單位換算 1 世紀(jì)=100 年 一年=365 天 一、三、五、七、八、十、十二是大月 大月有31 天 四、六、九、十一是小月 小月有 30 天 平年 2 月有 28 天 閏年 2 月有 29 天 1 天= 24 小時(shí) 1 小時(shí)=60 分 一分=60 秒 六 貨幣 （一）什么是貨幣 貨幣是充當(dāng)一切商品的等價(jià)物的特殊商品。貨幣是價(jià)值的一般代表，可以購買任何別的商品。 （二）常用單位 元 角 分 （三）單位換算 1 元=10 角 1 角=10 分 第三章 代數(shù)初步知識(shí) 一、用字母表示數(shù) 1 用字母表示數(shù)的意義和作用 用字母表示數(shù)，可以把數(shù)量關(guān)系簡明的表達(dá)出來，同時(shí)也可以表示運(yùn)算的結(jié)果。 2 用字母表示常見的數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算定律和性素、幾何形體的計(jì)算公式 （1） 常見的數(shù)量關(guān)系 路程用 s 表示，速度 v 用表示，時(shí)間用 t 表示，三者之間的關(guān)系： s=vt v=s/t t=s/v 總價(jià)用 a 表示，單價(jià)用 b 表示，數(shù)量用 c 表示，三者之間的關(guān)系: a=bc b=a/c c=a/b （2）運(yùn)算定律和性素 加法交換律：a+b=b+a 加法結(jié)合律： （a+b）+c=a+(b+c) 減法的性素：a-(b+c) =a-b-c 乘法結(jié)合律：（ab）c=a(bc) 乘法交換律：ab=ba 乘法分配律：（a+b）c=ac+bc （3）用字母表示幾何形體的公式 長方形的長用 a 表示，寬用 b 表示，周長用 c 表示，面積用 s 表示： c=2(a+b) s=ab 正方形的邊長 a 用表示，周長用 c 表示，面積用 s 表示： c=4a s= a2 平行四邊形的底 a 用表示，高用 h 表示，面積用 s 表示： s=ah 三角形的底用 a 表示，高用 h 表示，面積用 s 表示： s=ah/2 梯形的上底用 a 表示，下底 b 表示，高用 h 表示，中位線用 m 表示，面積用 s 表示： s=(a+b)h/2 s=mh 圓的半徑用 r 表示，直徑用 d 表示，周長用 c 表示，面積用 s 表示: c=d=2πr s=πr 2 扇形的半徑用 r 表示，n 表示圓心角的度數(shù)，面積用 s 表： s=πnr 2 /360 長方體的長用 a 表示，寬用 b 表示，高用 h 表示，表面積用 s 表示，體 積用 v 表示： v=sh s=2(ab+ah+bh) v=abh 正方體的棱長用 a 表示，底面周長 c 用表示，底面積用 s 表示， 體積用 v 表示： s=6a2 v=a3 圓柱的高用 h 表示，底面周長用 c 表示，底面積用 s 表示， 體積用 v表示： s 側(cè)=ch s 表=s 側(cè)+2s 底 v=sh - 圓錐的高用 h 表示，底面積用 s 表示， 體積用 v 表示. - v=sh/3 3用字母表示數(shù)的寫法 數(shù)字和字母、字母和字母相乘時(shí)，乘號(hào)可以記作“.”或者省略 不寫， 數(shù)字要寫在字母的前面。 當(dāng)“1”與任何字母相乘時(shí)，“1”省略不寫。 在一個(gè)問題中， 同一個(gè)字母表示同一個(gè)量， 不同的量用不同的字母表示。 用含有字母的式子表示問題的答案時(shí)，除數(shù)一般寫成分母，如果式子中有加號(hào)或者減號(hào)，要先用括號(hào)把含字母的式子括起來，再在括號(hào)后面寫上單位的名稱。 4 將數(shù)值代入式子求值 把具體的數(shù)代入式子求值時(shí)，要注意書寫格式：先寫出字母等于幾，然后寫出原式， 再把數(shù)代入式子求值。 字母表示的是數(shù)， 后面不寫單位名稱。 同一個(gè)式子，式子中所含字母取不同的數(shù)值，那么所求出的式子的值也不相同。 二、簡易方程 （一）方程和方程的解 1 方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。 注意方程是等式，又含有未知數(shù)，兩者缺一不可。 方程和算術(shù)式不同。算術(shù)式是一個(gè)式子，它由運(yùn)算符號(hào)和已知數(shù)組成， 它表示未知數(shù)。方程是一個(gè)等式，在方程里的未知數(shù)可以參加運(yùn)算，并且只有當(dāng)未知數(shù)為特定的數(shù)值時(shí)，方程才成立 。 2 方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解。 三、解方程 解方程，求方程的解的過程叫做解方程。 四、列方程解應(yīng)用題 1 列方程解應(yīng)用題的意義 用方程式去解答應(yīng)用題求得應(yīng)用題的未知量的方法。 2 列方程解答應(yīng)用題的步驟 a弄清題意，確定未知數(shù)并用 x 表示； b找出題中的數(shù)量之間的等量關(guān)系； c列方程，解方程； d檢查或驗(yàn)算，寫出答案。 3 列方程解應(yīng)用題的方法 綜合法：先把應(yīng)用題中已知數(shù)（量）和所設(shè)未知數(shù)（量）列成有關(guān)的代數(shù)式，再找出它們之間的等量關(guān)系，進(jìn)而列出方程。這是從部分到整體的一種思維過程，其思考方向是從已知推理到未知。 分析法：先找出等量關(guān)系，再根據(jù)具體建立等量關(guān)系的需要，把應(yīng)用題中已知數(shù)（量）和所設(shè)的未知數(shù)（量）列成有關(guān)的代數(shù)式進(jìn)而列出方程。 這是從整體到部分的一種思維過程，其思考方向是從未知推理到已知。 4 列方程解應(yīng)用題的范圍 小學(xué)范圍內(nèi)常用方程解的應(yīng)用題： a 一般應(yīng)用題； b 和倍、差倍問題； c 幾何形體的周長、面積、體積計(jì)算 d 分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題； e 比和比例應(yīng)用題。 五 比和比例 1 比的意義和性素 （1） 比的意義 兩個(gè)數(shù)相除又叫做兩個(gè)數(shù)的比。 “：”是比號(hào)，讀作“比”。比號(hào)前面的數(shù)叫做比的前項(xiàng)，比號(hào)后面的 數(shù)叫做比的后項(xiàng)。比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)所得的商，叫做比值。 同除法比較， 比的前項(xiàng)相當(dāng)于被除數(shù)， 后項(xiàng)相當(dāng)于除數(shù)， 比值相當(dāng)于商。 比值通常用分?jǐn)?shù)表示，也可以用小數(shù)表示，有時(shí)也可能是整數(shù)。 比的后項(xiàng)不能是零。 根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，可知比的前項(xiàng)相當(dāng)于分子，后項(xiàng)相當(dāng)于分母，比值相當(dāng)于分?jǐn)?shù)值。 （2）比的性素 比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘上或者除以相同的數(shù)（0 除外），比值不變，這叫做比的基本性素。 （3）求比值和化簡比 求比