《高中數(shù)學(xué)必修3教案：5_備課資料（3_2_2（整數(shù)值）隨機數(shù)（random numbers）的產(chǎn)生）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué)必修3教案：5_備課資料（3_2_2（整數(shù)值）隨機數(shù)（random numbers）的產(chǎn)生）（2頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 備課資料 1.蒙特卡羅方法（Monte Carlo method） 蒙特卡羅(Monte Carlo)方法,或稱計算機隨機模擬方法,是一種基于“隨機數(shù)”的計算方法.這一方法源于美國在第一次世界大戰(zhàn)研制原子彈的“曼哈頓計劃”.該計劃的主持人之一、數(shù)學(xué)家馮·諾伊曼用馳名世界的賭城——摩納哥的Monte Carlo——來命名這種方法,為它蒙上了一層神秘色彩. Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人們所發(fā)現(xiàn)和利用.早在17世紀(jì),人們就知道用事件發(fā)生的“頻率”來決定事件的“概率”.19世紀(jì)人們用投針試驗的方法來決定圓周率π.本世紀(jì)40年代電子計算機的出現(xiàn),特別是近年

2、來高速電子計算機的出現(xiàn),使得用數(shù)學(xué)方法在計算機上大量、快速地模擬這樣的試驗成為可能. 考慮平面上的一個邊長為1的正方形及其內(nèi)部的一個形狀不規(guī)則的“圖形”,如何求出這個“圖形”的面積呢？Monte Carlo方法是這樣一種“隨機化”的方法：向該正方形“隨機地”投擲N個點落于“圖形”內(nèi),則該“圖形”的面積近似為M/N. 可用民意測驗來作一個不嚴(yán)格的比喻.民意測驗的人不是征詢每一個登記選民的意見,而是通過對選民進(jìn)行小規(guī)模的抽樣調(diào)查來確定可能的優(yōu)勝者.其基本思想是一樣的. 科技計算中的問題比這要復(fù)雜得多.比如金融衍生產(chǎn)品（期權(quán)、期貨、掉期等）的定價及交易風(fēng)險估算,問題的維

3、數(shù)（即變量的個數(shù)）可能高達(dá)數(shù)百甚至數(shù)千.對這類問題,難度隨維數(shù)的增加呈指數(shù)增長,這就是所謂的“維數(shù)的災(zāi)難”(Course Dimensionality),傳統(tǒng)的數(shù)值方法難以對付（即使使用速度最快的計算機）.Monte Carlo方法能很好地用來對付維數(shù)的災(zāi)難,因為該方法的計算復(fù)雜性不再依賴于維數(shù).以前那些本來是無法計算的問題現(xiàn)在也能夠計算了.為提高方法的效率,科學(xué)家們提出了許多所謂的“方差縮減”技巧. 另一類形式與Monte Carlo方法相似,但理論基礎(chǔ)不同的方法——“擬蒙特卡羅方法”(Quasi-Monte Carlo方法)——近年來也獲得迅速發(fā)展.我國數(shù)學(xué)家華羅庚、王元提出的“

4、華—王”方法即是其中的一例.這種方法的基本思想是“用確定性的超均勻分布序列(數(shù)學(xué)上稱為Low Discrepancy Sequences)代替Monte Carlo方法中的隨機數(shù)序列.對某些問題該方法的實際速度一般可比Monte Carlo方法提出高數(shù)百倍,并可計算精確度. 蒙特卡羅方法在金融工程學(xué)、宏觀經(jīng)濟學(xué)、計算物理學(xué)(如粒子輸運計算、量子熱力學(xué)計算、空氣動力學(xué)計算)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛. 2.蒙特卡羅方法的基本原理 由概率定義知,某事件的概率可以用大量試驗中該事件發(fā)生的頻率來估算,當(dāng)樣本容量足夠大時,可以認(rèn)為該事件的發(fā)生頻率即為其概率.因此,可以先對影響其可靠度的隨機變

5、量進(jìn)行大量的隨機抽樣,然后把這些抽樣值一組一組地代入功能函數(shù)式,確定結(jié)構(gòu)是否失效,最后從中求得結(jié)構(gòu)的失效概率.蒙特卡羅法正是基于此思路進(jìn)行分析的. 設(shè)有統(tǒng)計獨立的隨機變量Xi(i=1,2,3,…,k),其對應(yīng)的概率密度函數(shù)分別為fx1,fx2,…,fxk,功能函數(shù)式為Z=g(x1,x2,…,xk). 各隨機變量的相應(yīng)分布,產(chǎn)生N組隨機數(shù)x1,x2,…,xk值,計算功能函數(shù)值Zi=g(x1,x2,…,xk)(i=1,2,…,N),若其中有L組隨機數(shù)對應(yīng)的功能函數(shù)值Zi≤0,則當(dāng)N→∞時,根據(jù)伯努利大數(shù)定理及正態(tài)隨機變量的特性有：結(jié)構(gòu)失效概率,可靠指標(biāo). 從蒙特卡羅方

6、法的思路可看出,該方法回避了結(jié)構(gòu)可靠度分析中的數(shù)學(xué)困難,不管狀態(tài)函數(shù)是否非線性、隨機變量是否非正態(tài),只要模擬的次數(shù)足夠多,就可得到一個比較精確的失效概率和可靠度指標(biāo).特別在巖土體分析中,變異系數(shù)往往較大,與JC法計算的可靠指標(biāo)相比,結(jié)果更為精確,并且由于思路簡單易于編制程序. 3.蒙特卡羅方法的工作過程 在解決實際問題的時候應(yīng)用蒙特·卡羅方法主要有兩部分工作： ·用蒙特卡羅方法模擬某一過程時,需要產(chǎn)生各種概率分布的隨機變量. ·用統(tǒng)計方法把模型的數(shù)字特征估計出來,從而得到實際問題的數(shù)值解. 4.蒙特卡羅方法分子模擬計算的步驟 使用蒙特卡羅方法進(jìn)行分子模擬計算是按照以

7、下步驟進(jìn)行的： ★使用隨機數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生一個隨機的分子構(gòu)型. 對此分子構(gòu)型的其中粒子坐標(biāo)作無規(guī)則的改變,產(chǎn)生一個新的分子構(gòu)型. 計算新的分子構(gòu)型的能量. ★比較新的分子構(gòu)型與改變前的分子構(gòu)型的能量,判斷是否接受該構(gòu)型. ★若新的分子構(gòu)型能量低于原分子構(gòu)型的能量,則接受新的構(gòu)型,使用這個構(gòu)型重復(fù)再做下一次迭代. ★若新的分子構(gòu)型能量高于原分子構(gòu)型的能量,則計算玻爾茲曼常數(shù),同時產(chǎn)生一個隨機數(shù). ★若這個隨機數(shù)大于所計算出的玻爾茲曼因子,則放棄這個構(gòu)型,重新計算. ★若這個隨機數(shù)小于所計算出的玻爾茲曼因子,則接受這個構(gòu)型,使用這個構(gòu)型重復(fù)再做下一次迭代. ★如此進(jìn)行迭代計算,直至最后搜索出低于所給能量條件的分子構(gòu)型結(jié)束. 5.蒙特卡羅方法在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 通常蒙特卡羅方法通過構(gòu)造符合一定規(guī)則的隨機數(shù)來解決數(shù)學(xué)上的各種問題.對于那些由于計算過于復(fù)雜而難以得到解析解或者根本沒有解析解的問題,蒙特卡羅方法是一種有效地求出數(shù)值解的方法.一般蒙特卡羅方法在數(shù)學(xué)中最常見的應(yīng)用就是蒙特·卡羅積分. （設(shè)計者：劉玉亭）