《天津市高中數(shù)學(xué)《四種命題及其相互關(guān)系》（2）課件 新人教版A版必修2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《天津市高中數(shù)學(xué)《四種命題及其相互關(guān)系》（2）課件 新人教版A版必修2（26頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、高二數(shù)學(xué)高二數(shù)學(xué) 選修選修1-11.1.2-1.1.3 1.1.2-1.1.3 四種命題與四種命題與四種命題間的相互關(guān)系四種命題間的相互關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)：1：掌握四種命題的相互關(guān)系2：掌握四種命題的真假性定理，互為逆否命題的等價性定理重點：四種命題的相互關(guān)系，四種命 題的真假性定理難點：四種命 題的真假性定理的應(yīng)用復(fù)習(xí)引入復(fù)習(xí)引入二、從構(gòu)成來看，所有的命題都具由條件二、從構(gòu)成來看，所有的命題都具由條件p和結(jié)論和結(jié)論q兩部分構(gòu)成兩部分構(gòu)成l“若若p則則q”形式的命題是命題的一種形式而不是唯一的形式形式的命題是命題的一種形式而不是唯一的形式,也可寫成也可寫成“如果如果p,那么那么q” “只要只要p,就

2、有就有q”等形式。等形式。l其中其中p和和q可以是命題也可以不是命題可以是命題也可以不是命題.一、命題的定義：一般地，我們把用語言、符號或式子表達(dá)一、命題的定義：一般地，我們把用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題的，可以判斷真假的陳述句叫做命題 定義的要點：能判斷定義的要點：能判斷真假的陳述句真假的陳述句 判斷為真的語句叫做真命題。判斷為真的語句叫做真命題。 判斷為假的語句叫做假命題。判斷為假的語句叫做假命題。 下列四個命題中，命題下列四個命題中，命題(1)與命題與命題(2)(3)(4)的條件和的條件和結(jié)論之間分別有什么關(guān)系？結(jié)論之間分別有什么關(guān)系？1.若若f(x)是正弦函數(shù)

3、，則是正弦函數(shù)，則f(x)是周期函數(shù)；是周期函數(shù)；2.若若f(x)是周期函數(shù)，則是周期函數(shù)，則f(x)是正弦函數(shù)；是正弦函數(shù)；3.若若f(x)不是正弦函數(shù)，則不是正弦函數(shù)，則f(x)不是周期函數(shù)；不是周期函數(shù)；4.若若f(x)不是周期函數(shù)，則不是周期函數(shù)，則f(x)不是正弦函數(shù)。不是正弦函數(shù)。觀察命題觀察命題(1)與命題與命題(2)的條件和結(jié)論之間分別有什么的條件和結(jié)論之間分別有什么關(guān)系？關(guān)系？1.若若f(x)是正弦函數(shù)，則是正弦函數(shù)，則f(x)是周期函數(shù)；是周期函數(shù)；2.若若f(x)是周期函數(shù)，則是周期函數(shù)，則f(x)是正弦函數(shù)；是正弦函數(shù)；互逆命題互逆命題：一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個

4、命題的：一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，這兩個命題叫做互逆命題。結(jié)論和條件，這兩個命題叫做互逆命題。原原 命命 題題：其中一個命題叫做原命題。：其中一個命題叫做原命題。逆逆 命命 題題：另一個命題叫做原命題的逆命題。：另一個命題叫做原命題的逆命題。pqqp即即 原命題原命題:若若p,則則q逆命題逆命題:若若q,則則p例如，命題例如，命題“同位角相等，兩直線平行同位角相等，兩直線平行”的逆命題是的逆命題是“ ”。兩直線平行，同位角相等兩直線平行，同位角相等觀察命題觀察命題(1)與命題與命題(3)的條件和結(jié)論之間分別有什么的條件和結(jié)論之間分別有什么關(guān)系？關(guān)系？1.若若f(x)是正

5、弦函數(shù)，則是正弦函數(shù)，則f(x)是周期函數(shù)；是周期函數(shù)；3. 若若f(x)不是正弦函數(shù)，則不是正弦函數(shù)，則f(x)不是周期函數(shù)不是周期函數(shù).pqp 原命題原命題:若若p,則則qq 為書寫簡便為書寫簡便,常把條件常把條件p的否定和結(jié)論的否定和結(jié)論q的否定分別記作的否定分別記作 “p” “q”，讀作讀作“非非”“”“非非q”。否命題否命題:若若p,則則q互否命題：互否命題：如果第一個命題的條件和結(jié)論是第二個命題的條如果第一個命題的條件和結(jié)論是第二個命題的條件和結(jié)論的否定，那么這兩個命題叫做件和結(jié)論的否定，那么這兩個命題叫做互否命題互否命題。如果把其。如果把其中一個命題叫做中一個命題叫做原命題原命題

6、，那么另一個叫做，那么另一個叫做原命題的否命題原命題的否命題。例如，命題例如，命題“同位角相等，兩直線平行同位角相等，兩直線平行”的否命的否命題是題是“ ”。同位角不相等，兩直線不平行同位角不相等，兩直線不平行觀察命題觀察命題(1)與命題與命題(4)的條件和結(jié)論之間分別有什么的條件和結(jié)論之間分別有什么關(guān)系？關(guān)系？1.若若f(x)是正弦函數(shù)，則是正弦函數(shù)，則f(x)是周期函數(shù)；是周期函數(shù)；4. 若若f(x)不是周期函數(shù)，則不是周期函數(shù)，則f(x)不是正弦函數(shù)不是正弦函數(shù).pqq 原命題原命題: 若若p, 則則qp逆否命題逆否命題: 若若q, 則則p互為逆否命題：互為逆否命題：如果第一個命題的條件

7、和結(jié)論分別是如果第一個命題的條件和結(jié)論分別是第二個命題的結(jié)論的否定和條件的否定，那么這兩個第二個命題的結(jié)論的否定和條件的否定，那么這兩個命題叫做命題叫做互為逆否命題互為逆否命題。例如，命題例如，命題“同位角相等，兩直線平行同位角相等，兩直線平行”的逆否命題是的逆否命題是“ ”。 兩直線不平行，同位角不相等兩直線不平行，同位角不相等原命題原命題, ,逆命題逆命題, ,否命題否命題, ,逆否命題逆否命題四種命題形式四種命題形式: : 原命題原命題: : 逆命題逆命題: : 否命題否命題: : 逆否命題逆否命題: :若若 p, p, 則則 q q 若若 q q, , 則則 p p若若p p, , 則

8、則q q若若q, q, 則則p p1：要寫出一個命題的另外三個命題關(guān)鍵是要寫出一個命題的另外三個命題關(guān)鍵是分清命題的題設(shè)分清命題的題設(shè)和結(jié)論（即把原命題寫成和結(jié)論（即把原命題寫成“若若P則則q”的形式）的形式）2：（1）“或或”的否定為的否定為“且且”，（，（2）“且且”的否的否定為定為“或或”， （3）“都都”的否定為的否定為“不都不都”。注意：注意：三種命題中最難寫三種命題中最難寫 的是否命題的是否命題。2）原命題：若）原命題：若a=0, 則則ab=0。逆命題：若逆命題：若ab=0, 則則a=0。否命題：若否命題：若a 0, 則則ab0。逆否命題：若逆否命題：若ab0,則則a0。(真真)(

9、假假)(假假)(真真)(真真)例例1 1 寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷它們的真假：斷它們的真假：1）原命題：若）原命題：若x=2或或x=3, 則則x2-5x+6=0。逆命題：若逆命題：若x2-5x+6=0, 則則x=2或或x=3。否命題：若否命題：若x2且且x3, 則則x2-5x+60 。逆否命題：若逆否命題：若x2-5x+60，則，則x2且且x3。(真真)(真真)(真真)3) 原命題：若原命題：若a b, 則則 ac2bc2。逆命題：若逆命題：若ac2bc2,則則ab。否命題：若否命題：若ab,則則ac2bc2。逆否命題：若逆否命

10、題：若ac2bc2,則則ab。（假）（假）（真）（真）（真）（真）（假）（假）例例2 若若m0或或n0，則，則m+n0。寫出其逆命題、。寫出其逆命題、否命題、逆否命題，并分別指出其假。否命題、逆否命題，并分別指出其假。分析：搞清四種命題的定義及其關(guān)系，注意分析：搞清四種命題的定義及其關(guān)系，注意“且且” “或或”的的否定為否定為“或或” “且且”。解：逆命題：若解：逆命題：若m+n0，則，則m0或或n0。否命題：若否命題：若m0且且n0, 則則m+n0.逆否命題：若逆否命題：若m+n0, 則則m0且且n0.（真）（真）（真）（真）（假）（假）小結(jié)：在判斷四種命題的真假時，只需判斷兩種命題的小結(jié)：

11、在判斷四種命題的真假時，只需判斷兩種命題的真假。因為逆命題與否命題真假等價，逆否命題與原命真假。因為逆命題與否命題真假等價，逆否命題與原命題真假等價。題真假等價。原命題原命題逆命題逆命題否命題否命題逆否命題逆否命題真真真真真真真真真真假假假假真真假假真真真真假假假假假假假假假假一般地一般地, ,四種命題的真假性四種命題的真假性, ,有而且僅有下面四種有而且僅有下面四種情況情況: :四種命題的真假性關(guān)系如下：四種命題的真假性關(guān)系如下：1.1.兩個命題兩個命題互為逆否命題互為逆否命題，它們有，它們有相同相同的真假性；的真假性；2.2.兩個命題為互逆命題或互否命題兩個命題為互逆命題或互否命題, ,它

12、們的真假性沒它們的真假性沒有關(guān)系。有關(guān)系。四種命題之間的關(guān)系四種命題之間的關(guān)系原命題原命題若若p則則q逆命題逆命題若若q則則p否命題否命題若若 p則則 q逆否命題逆否命題若若 q則則p互為逆否互為逆否 同同真真同同假假互為逆否互為逆否 同同真真同同假假互逆命題互逆命題 真假真假無關(guān)無關(guān)互逆命題互逆命題 真假真假無關(guān)無關(guān)互否命題真假互否命題真假無關(guān)無關(guān)互否命題真假互否命題真假無關(guān)無關(guān)1.判斷下列說法是否正確。判斷下列說法是否正確。1）一個命題的逆命題為真，它的逆否命題不一定為真；）一個命題的逆命題為真，它的逆否命題不一定為真；（對）（對）2）一個命題的否命題為真，它的逆命題一定為真。）一個命題的

13、否命題為真，它的逆命題一定為真。（對）（對）2.四種命題真假的個數(shù)可能為（四種命題真假的個數(shù)可能為（ ）個。）個。答：答：0個、個、2個、個、4個。個。3）一個命題的原命題為假，它的逆命題一定為假。）一個命題的原命題為假，它的逆命題一定為假。（錯）（錯）4）一個命題的逆否命題為假，它的否命題為假。）一個命題的逆否命題為假，它的否命題為假。（錯）（錯）練一練練一練3:寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題。寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題。(1)原命題：原命題： 若若 則則答答:逆命題：逆命題： 若若 則則 否命題：否命題： 若若 則則 逆否命題：逆否命題： 若若 則則 22baba 22

14、ba ba ba 22ba 22baba (2)原命題：若一個數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方是原命題：若一個數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方是0； 逆命題：逆命題：若一個數(shù)的平方是若一個數(shù)的平方是0，則它是負(fù)數(shù)；，則它是負(fù)數(shù)； 否命題：否命題：若一個數(shù)不是負(fù)數(shù)，則它的平方不是若一個數(shù)不是負(fù)數(shù)，則它的平方不是0；逆否命題：逆否命題：若一個數(shù)的平方不是若一個數(shù)的平方不是0，則它不是負(fù)數(shù)，則它不是負(fù)數(shù). 試判斷上面命題的真假試判斷上面命題的真假.真命題真命題假命題假命題假命題假命題真命題真命題假假假假假假假假4 4、把下列命題改寫成、把下列命題改寫成“若若p則則q”的形式，并寫出它們的形式，并寫出它們的逆命題、否命題與逆

15、否命題的逆命題、否命題與逆否命題. .并判斷真假。并判斷真假。解解：原命題原命題：若一個函數(shù)是奇函數(shù)若一個函數(shù)是奇函數(shù) , 則它的圖象則它的圖象關(guān)于原點中心對稱關(guān)于原點中心對稱;逆命題：逆命題：若一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點中心對稱若一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點中心對稱,則它是奇函數(shù)則它是奇函數(shù);否命題：否命題：若一個函數(shù)不是奇函數(shù)若一個函數(shù)不是奇函數(shù) , 則它的圖象不則它的圖象不關(guān)于原點中心對稱關(guān)于原點中心對稱;逆否命題逆否命題:若一個函數(shù)的圖象不關(guān)于原點中心對若一個函數(shù)的圖象不關(guān)于原點中心對稱稱 , 則它不是奇函數(shù)則它不是奇函數(shù).課本課本P4練習(xí)練習(xí)(3)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點中心對稱奇函數(shù)的圖象關(guān)于原

16、點中心對稱.試判斷上面命題的真假試判斷上面命題的真假.真命題真命題真命題真命題真命題真命題真命題真命題l否命題否命題是用是用否定條件也否定結(jié)論否定條件也否定結(jié)論的方式構(gòu)成新命題。的方式構(gòu)成新命題。l命題的否定命題的否定是邏輯聯(lián)結(jié)詞是邏輯聯(lián)結(jié)詞“非非”作用于判斷作用于判斷, ,只否定結(jié)只否定結(jié)論不否定條件。論不否定條件。l對于原命題對于原命題: : 若若 p , p , 則則 q q 有有 否命題否命題: : 若若p , p , 則則q q 。 命題的否定命題的否定: : 若若 p p ，則則q q 。例例.命題：命題：ABC中，若中，若C90，則，則A、B都是銳角都是銳角.命題的否命題是（命題

17、的否命題是（ ），命題的否定是（），命題的否定是（ ）(A)ABC中，若中，若C90，則，則A、B都不是銳角都不是銳角(B)ABC中，若中，若C90，則，則A、B不都是銳角不都是銳角(C)ABC中，若中，若C90，則，則A、B都不一定是銳角都不一定是銳角(D) ABC中，若中，若C90，則，則A、B不都是銳角不都是銳角否命題與命題的否定否命題與命題的否定原詞語原詞語 否定詞否定詞 原詞語原詞語 否定詞否定詞 等于等于任意的任意的是是 至少有一個至少有一個 都是都是 至多有一個至多有一個 大于大于 至少有至少有n n個個 小于小于 至多有至多有n n個個 對所有對所有x,x,成立成立對任何對任何

18、x x，不成立不成立所有的所有的不是不是不都是不都是不大于不大于大于或等于大于或等于一個也沒有一個也沒有至少有兩個至少有兩個至多有（至多有（n-1)個個至少有（至少有（n+1)個個存在某存在某x，不成立不成立存在某存在某x， 成立成立不等于不等于某個某個某些某些下面是一些常見詞語的否定下面是一些常見詞語的否定證明命題的方法證明命題的方法l方法一：方法一：直接法，直接法，從命題的條件從命題的條件p p出發(fā)，經(jīng)出發(fā)，經(jīng)推理直接得出結(jié)論推理直接得出結(jié)論p p，證明其為真命題；，證明其為真命題；l方法二：方法二：等價法，等價法，證明命題（若證明命題（若p p，則，則q q）的等價命題的等價命題逆否命題

19、（若逆否命題（若q q，則，則q q）為真，則原命題也為真；為真，則原命題也為真；l方法三：方法三：反證法，反證法，證明證明命題的否定（若命題的否定（若p p，則則q q）為假命題，從而間接地證明了命題為假命題，從而間接地證明了命題（若（若p p，則，則q q）為真命題。）為真命題。例例1 1： 證明：證明：若若P PQ Q2 2，則，則P P2 2Q Q2 22.2. 證明一：要證證明一：要證“若若p pq q2 2，則，則p p2 2q q2 22”2” 只需證它的只需證它的逆否命題逆否命題“若若p p2 2q q2 22 2，則，則p pq2q2”成立。成立。 p p2 2q q2 2=

20、2=2，則，則2=p2=p2 2q q2 22pq pq12pq pq1 （p+qp+q）2 2 =p=p2 2q q2 2+2pq=2+2pq 4+2pq=2+2pq 4 p+qp+q 2 2 逆否命題為真命題，逆否命題為真命題， 故原命題也為真命題。故原命題也為真命題。 證明二：證明二：假設(shè)假設(shè)p p2 2q q2 2=2=2，則則2=p2=p2 2q q2 22pq pq12pq pq1 （p+qp+q）2 2 =p=p2 2q q2 2+2pq=2+2pq 4+2pq=2+2pq 4 p+qp+q 2 2，這與命題的條件，這與命題的條件p pq q2 2相矛盾相矛盾， 假設(shè)不成立假設(shè)不

21、成立，即，即p p2 2q q2 22 2， 故原命題為真命題。故原命題為真命題。（同題多解，學(xué)會等價法與反證法地靈活應(yīng)用）（同題多解，學(xué)會等價法與反證法地靈活應(yīng)用）關(guān)于反證法關(guān)于反證法證明二（反證法）：證明二（反證法）：假設(shè)假設(shè)p p2 2q q2 2=2=2， 則則2=p2=p2 2q q2 22pq pq12pq pq1 （p+qp+q）2 2 =p=p2 2q q2 2+2pq=2+2pq 4+2pq=2+2pq 4 p+qp+q 2 2， 這與命題的條件這與命題的條件p pq q2 2相矛盾相矛盾， 假設(shè)不成立假設(shè)不成立，即，即p p2 2q q2 22 2， 故原命題為真命題。故原

22、命題為真命題。例例1 1： 證明：證明：若若p pq q2 2，則，則p p2 2q q2 22.2.假設(shè)原命題結(jié)假設(shè)原命題結(jié)論的反面成立論的反面成立看能否推出原命題看能否推出原命題條件的反面成立條件的反面成立嘗試成功嘗試成功得證得證反證法的一般步驟：反證法的一般步驟：(1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立假設(shè)命題的結(jié)論不成立,即假即假 設(shè)結(jié)論的反面成立；設(shè)結(jié)論的反面成立； (2)從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；論證，得出矛盾； (3) 由矛盾判定假設(shè)不正確，由矛盾判定假設(shè)不正確， 從而肯定命題的結(jié)論正確。從而肯定命題的結(jié)論正確。 反設(shè)反設(shè)歸謬歸謬結(jié)論結(jié)論推理過程中一定要用

23、到才行顯而易見的矛盾(如和已知條件矛盾).1、反證法證題時關(guān)鍵在第二步，如何導(dǎo)出矛盾。、反證法證題時關(guān)鍵在第二步，如何導(dǎo)出矛盾。2、導(dǎo)出矛盾有四種可能：、導(dǎo)出矛盾有四種可能：（1）與原命題的條件（）與原命題的條件（題設(shè)）題設(shè)）矛盾；矛盾；（2）與定義、公理、定理等矛盾；）與定義、公理、定理等矛盾；（3）與結(jié)論的反面（）與結(jié)論的反面（反設(shè)）反設(shè)）成立矛盾。成立矛盾。（1 1）難于直接使用已知條件導(dǎo)出結(jié)論的命題；）難于直接使用已知條件導(dǎo)出結(jié)論的命題；（2 2）唯一性命題；）唯一性命題；（3 3）“至多至多”或或“至少至少”性命題；性命題；（4 4）否定性或肯定性命題。）否定性或肯定性命題。3 3、

24、反證法的使用范圍：、反證法的使用范圍：幾點注意：幾點注意：（4）在證明過程中，推出自相矛盾的結(jié)論。）在證明過程中，推出自相矛盾的結(jié)論。P8 習(xí)題習(xí)題1.1 B組組 例例2：求證：圓的兩條不是直徑的相交弦不能平分。：求證：圓的兩條不是直徑的相交弦不能平分。 已知：如圖，在已知：如圖，在O O中，弦中，弦ABAB、CDCD交于交于P P，且，且ABAB、CDCD不不是直徑是直徑. . 求證：弦求證：弦ABAB、CDCD不被不被P P平分平分. . 證明：假設(shè)證明：假設(shè)ABAB、CDCD被被P P平分，平分， 則則OPOP是等腰是等腰AOB, AOB, CODCOD的底邊上的中線，的底邊上的中線，

25、所以，所以，OPOPAB, OPAB, OPCDCD 但但ABAB和和CDCD都經(jīng)過點都經(jīng)過點P,P,且與且與OPOP 垂直，這是不可能的，垂直，這是不可能的， 所以假設(shè)不成立，所以假設(shè)不成立， 故弦故弦ABAB、CDCD不被不被P P平分，平分， 命題得證。命題得證。連結(jié)連結(jié)OA,OB,OC,ODOA,OB,OC,OD及及OP,OP,1.本節(jié)重點研究了四種命題的概念與相互關(guān)系。即如本節(jié)重點研究了四種命題的概念與相互關(guān)系。即如果果 原命題為：若原命題為：若p則則q，則它的逆命題為：若，則它的逆命題為：若q則則p，即交換原命題的條件和結(jié)論即得其逆命題；否命題為：即交換原命題的條件和結(jié)論即得其逆命題；否命題為：若若p則則q即同時否定原命題的條件和結(jié)論，即得其否命即同時否定原命題的條件和結(jié)論，即得其否命題；逆否命題為：若題；逆否命題為：若q則則p，即交換原命題的條件和結(jié)，即交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時否定，即得其逆否題；論，并且同時否定，即得其逆否題； 2.兩個互為逆否的命題同真或同假兩個互為逆否的命題同真或同假 3.反證法就是通過否定命題的結(jié)論而導(dǎo)出矛盾來達(dá)到反證法就是通過否定命題的結(jié)論而導(dǎo)出矛盾來達(dá)到肯定命題的結(jié)論，完成命題的論證的一種數(shù)學(xué)證明方肯定命題的結(jié)論，完成命題的論證的一種數(shù)學(xué)證明方法。法。