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研究生“矩陣論”課程課外作業(yè) 姓名： 學(xué)號： 學(xué)院： 專業(yè)： 類別： 組數(shù)： 成績： 人口遷移問題和航班問題 (重慶大學(xué) 機械工程學(xué)院，機械傳動國家重點實驗室) 摘要：隨著人類文明的進程，一些關(guān)于數(shù)學(xué)類的問題越來越貼近我們的生活，越發(fā)覺得數(shù)學(xué)與我們息息相關(guān)。本文將利用矩陣?yán)碚摰闹R對人口遷移問題和航班問題進行分析。 人口遷移問題 假設(shè)有兩個地區(qū)——如南方和北方，之間發(fā)生人口遷移。每一年北方50%的人口遷移到南方，同時有25%的南方人口遷移到北方，直觀上可由下圖表示： N S 0.5 0.25 0.5 0.75 問題：如果這個移民過程持續(xù)下去，北方的人會不會全部都到南方？如果會請說明理由；如果不會，那么北方的最終人口分布會怎樣？ 解 設(shè)年后北方和南方的人口分別為和， 我們假設(shè)最初北方有人，南方有人。則我們可得，時，一年后北方和南方的人口為 (1-1) 將上述方程組(1-1)寫成矩陣的形式 其中 時，兩年后北方和南方的人口為 依次類推下去，年后北方和南方的人口為 (1-2) 現(xiàn)在只需求出就可得出若干年后北方和南方的人口數(shù)。 下面將使用待定系數(shù)法[1]求 所以 矩陣的最小多項式為 設(shè) 由此可得方程組 解方程組得 所以 所以由式(1-2),我們得到年后北方和南方的人口 北方: 南方: 當(dāng)時，得 由上面計算可以得到，如果移民過程持續(xù)下去，北方的人不會全部都到南方。最終北方的人口是移民前南北人口之和的1/3。南方人口是北方人口的兩倍。 結(jié)論 本文論述的南北方人口遷移問題是一個比較理想化的問題，但還是有一些實際的參考價值，通過本問題的演算過程，我們可以推論，若一個地區(qū)有人口遷出(遷出率<1)，那么只要有人口遷入，則該地區(qū)始終有人口住居。 航班問題 一家航空公司經(jīng)營A、B、C、D和H五個城市的航線業(yè)務(wù)，其中H為中心城市。各個城市間的路線見圖1。 圖 1 假設(shè)你想從A城市飛往B城市，因此要完成這次路線，至少需要兩個相連的航班，即AH和HB。如果沒有中轉(zhuǎn)站的話，就不得不要至少三個相連的航班。那么問題如下： (1)從A到B，有多少條路線剛好是三個相連的航班； (2)從A到B，有多少條路線要求不多于四個相連的航班。 解 為了方便計算，設(shè)1、2、3、4、5分別代表A、B、C、D、H五個城市。令，其中表示城市到城市單連航班的路線條數(shù)，若表示城市到城市的單連航班有1條，若表示城市到城市的單連航班有0條[2]。則表示城市到城市單連航班的路線條數(shù)用矩陣表示為 令，則表示城市到城市兩個相連航班的路線條數(shù) 令，則表示城市到城市三個相連航班的路線條數(shù) 令，則表示城市到城市四個相連航班的路線條數(shù) (1)由上面的計算可得，代表從A到B剛好是三個相連的航班路線條數(shù)。 所以，從A到B，有3條路線剛好是三個相連的航班。 (2)要求從A到B，不多于四個相連的航班路線條數(shù)，即是要把單個相連、兩個相連、三 個相連和四個相連的全部航班路線條數(shù)加起來。 即 所以，從A到B，有11條路線不多于四個相連的航班。 參考文獻 [1]李新,何傳江.矩陣?yán)碚摷捌鋺?yīng)用[M].重慶：重慶大學(xué)出版社,2005.8:117-120 [2]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.工程數(shù)學(xué).線性代數(shù)[M].北京：高等教育出版社,2007.5:30-37