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機械零件的承載能力計算 一、零件的強度和剛度條件 （一） 拉（壓）桿的強度計算 在進行強度計算中，為確保軸向拉伸（壓縮）桿件有足夠的強度，把許用應力作為桿件實際工作應力的最高限度，即要求工作應力不超過材料的許用應力。于是，強度條件為： ≤???????????????????????????????????????????????? （3-19） 應用強度條件進行強度計算時會遇到以下三類問題。 一是校核強度。已知構(gòu)件橫截面面積，材料的許用應力以及所受載荷，校核（3-31）式是否滿足，從而檢驗構(gòu)件是否安全。 二是設計截面。已知載荷及許用應力?，根據(jù)強度條件設計截面尺寸。 三是確定許可載荷。已知截面面積和許用應力，根據(jù)強度條件確定許可載荷。 例3-6? 某冷鐓機的曲柄滑塊機構(gòu)如圖3-49（a）所示。連桿接近水平位置時，鐓壓力=3.78MN ( l MN=106N)。連桿橫截面為矩形，高與寬之比（圖3-49（b）所示），材料為45號鋼，許用應力=90MPa，試設計截面尺寸和。 解? 由于鐓壓時連桿AB近于水平，連桿所受壓力近似等于鐓壓力，軸力=3.78MN。根據(jù)強度條件可得： A≥(mm2) 以上運算中將力的單位換算為，應力的單位為MPa或N/mm2，故得到的面積單位就是（mm2） 注意到連桿截面為矩形，且，故 (mm2) =173.2(mm)，=1.4=242(mm) 所求得的尺寸應圓整為整數(shù)，取=175mm，h=245mm。 1. 某張緊器（圖3-50）工作時可能出現(xiàn)的最大張力=30kN ( l kN=103N)，套筒和拉桿的材料均為鋼，=160MPa，試校核其強度。 解? 此張緊器的套筒與拉桿均受拉伸，軸力=30kN。由于截面面積有變化。必須找出最小截面。對拉桿，20螺紋內(nèi)徑=19.29mm，=292mm2，對套筒，內(nèi)徑=30mm，外徑=40mm，故=550mm2 。 最大拉應力為： 故強度足夠。 例3-7? 某懸臂起重機如圖3-51（a）所示。撐桿為空心鋼管，外徑105mm，內(nèi)徑95mm。鋼索1和2互相平行，且鋼索1可作為相當于直徑=25mm的圓桿計算。材料的許用應力同為=60MPa，試確定起重機的許可吊重。 解? 作滑輪的受力圖[圖3-51（b）]，假設撐桿受壓，其軸力為；鋼索1受拉，其拉力為。選取坐標軸和如圖所示。列出平衡方程如下： 若不計摩擦力，則鋼索2的拉力與吊重相等，以代入第一式，并解以上方程組，求得和為： ?????????????????????????????????????????? （a） ???????????????????????????????? (b) 所求得的和皆為正號，表示假設桿受壓，鋼索1受拉是正確的。 現(xiàn)在確定許可吊重。根據(jù)強度條件，撐桿的最大軸力為： ≤kN 代入（a）式得相應的吊重為： (kN) 同理，鋼索1允許的最大拉力是： ≤kN 代入（b）式得相應的吊重為： ( kN ) 比較以上結(jié)果，可知起重機的許可吊重應為17kN。 （二）剪切和擠壓的實用計算 各種連接件的剪切和擠壓強度計算的方法是相同的。下面介紹工程中通常采用的實用計算法。 1. 剪切的實用計算 以螺栓為例進行分析，其受力簡圖如圖3－52（a）所示，圖中以合力代替均勻分布的作用力。由于螺栓的剪切變形為截面的相對錯動，因此抵抗這種變形的內(nèi)力必然是沿著錯動的反方向作用的。仍用截面法求內(nèi)力。將螺栓假想地沿剪切面m—m切開，取左邊部分來研究[圖3－52（b）]，根據(jù)靜力平衡條件，在剪切面上必然有一個與平行的分布內(nèi)力系的合力作用，且 ??? 與剪切面m—m相切，稱為截面m—m上的剪力。 聯(lián)接件一般并非細長桿，而且實際受力和變形情況比較復雜，通過理論分析或?qū)嶒炑芯縼泶_定剪力在剪切面上的實際分布規(guī)律較為困難。因此在工程實際中，做出一些假設進行簡化計算，稱為實用計算，或假定計算。假設應力在剪切面內(nèi)是均勻分布的，若為剪切面面積，則應力為： ?????????????????????????????????? ??? ??????????? （3-20） 與剪切面相切，故為剪應力。以上計算是以假設剪應力在剪切面內(nèi)均勻分布為基礎的，實際上它只是剪切面內(nèi)的一個“平均應力”，所以也稱為名義剪應力。其值與剪切面上的最大剪應力大致相等。 2、擠壓實用計算 在第一節(jié)中已講過，聯(lián)接件除承受剪切外，在聯(lián)接件和被聯(lián)接件的接觸面上還將承受擠壓。所以對上面的聯(lián)接件還要進行擠壓強度計算。 把作用在螺栓擠壓面上的壓力稱為擠壓力，用表示，用表示擠壓面面積。擠壓面上單位面積內(nèi)承受的擠壓力稱為擠壓應力，用表示。在工程上也采用類似剪切的實用計算方法，假定擠壓應力是均勻分布的，則 ?????????????????????????????????????? ??? ??????? （3-21） 通常擠壓應力的分布情況如圖3－53（b），最大應力發(fā)生在半圓柱形接觸面的中點，它與實用計算所得的擠壓應力大致相等。 擠壓面面積為擠壓面的正投影面積。對于平鍵接觸面面積就是擠壓面面積；對于螺栓擠壓面面積就是直徑平面面積，其值為。 3、強度條件 為了保證構(gòu)件在剪切和擠壓的情況下能夠正常工作，必須限制其工作剪應力和擠壓應力不超過材料的許用剪應力和許用擠壓應力。因此剪切和擠壓的強度條件如下： 剪切強度條件：≤????????????????????????????????????????? （3-22） 擠壓強度條件：≤??????????????????????????????????? （3-23） 式中的許用剪應力和許用擠壓應力可從有關(guān)規(guī)范中查得，它們與材料拉伸許用應力有下列關(guān)系： 塑性材料： ????????? 脆性材料： 例3-8?? 圖3－54（a）所示聯(lián)接件中，已知P=200kN，t=20mm，螺栓之=80MPa，=200MPa（暫不考慮板的強度），求所需螺栓的最小直徑。 解? 螺栓受力情況如圖3－54（b）所示，可求得 ?? 先按剪切強度設計： ≤? ≤ d≥ 再用擠壓強度條件設計，擠壓力為，所以 ≤? ?≤ d≥ 最后得到螺栓的最小直徑為。 圖3－54的螺栓的中間部分有兩個剪切面[圖3－54（b）]稱為雙剪。 例3-9? 圖3－55（a）所示為鉚接接頭，板厚t=2mm，板寬b=15mm，板端部長a=8mm，鉚釘直徑d=4mm，拉力P=1.25kN，材料的許用剪切應力=100MPa，許用擠壓應力 1 1 ?=300MPa，拉伸許用應力=160MPa。試校核此接頭的強度。 解 （1）接頭強度分析：整個接頭的強度問題包含鉚釘?shù)募羟信c擠壓強度，拉板釘孔處的擠壓強度，拉板端部縱向截面積（圖c中的2-2截面）處的剪切強度以及拉板因釘孔削弱的拉伸強度四種情形。但是若端部長度大于鉚釘直徑的兩倍，則釘孔后面拉板縱截面的剪切強度是安全的，不會被“豁開”，所以只討論三種情形下的強度計算。 （2）鉚釘剪切與擠壓強度計算：鉚釘?shù)募羟忻鏋?-1截面[3－55（a）]，其上剪力為： Q=P 由（18-1）和（3－52）式得： 鉚釘所受的擠壓力為，有效擠壓面積為。根據(jù)（3-21）和（3-23）式得： 因拉板與鉚釘?shù)牟牧舷嗤?，故其擠壓強度計算與鉚釘相同。 （3）拉板被削弱截面的拉伸強度計算：拉板削弱處[圖3－55（b）]的截面面積為，故拉應力為： ??? 因此，本例接頭是安全的。 （三）圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度和剛度計算 1、圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度計算 為了保證受扭圓軸能正常工作，不會因強度不足而破壞，其強度條件為：最大工作應力不超過材料的許用剪應力，即 ≤ ???????????????????????????????????????????????????（3-24） 從軸的受力情況或由扭矩圖上可確定最大扭矩，最大剪應力就發(fā)生于所在截面的周邊各點處。由公式（3-12）可把公式（3-24）寫成： ≤??????????????????????????????????? ????????（3-25） 對階梯軸來說，各段的抗扭截面模量不同，因此要確定其最大工作應力，必須綜合考慮扭矩和兩種因素。 在靜載荷的情況下，扭轉(zhuǎn)許用剪應力與許用拉應力之間有如下關(guān)系： 鋼??? =（0.5~0.6） 鑄鐵? =（0.8~1） 但考慮到扭轉(zhuǎn)軸所受載荷多為動載荷，因此所取值應比上述許用剪應力值還要低些。 例3-10?? 如圖3-56所示汽車傳動軸AB，由45號鋼無縫鋼管制成，該軸的外徑D=90mm，壁厚t=2.5mm，工作時的最大扭矩Mn＝1.5kNm，材料的許用剪應力＝60MPa。求（1）試校核AB軸的強度；（2）將AB軸改為實心軸，試在強度相同的條件下，確定軸的直徑，并比較實心軸和空心軸的重量。 解? （1）校核AB軸的強度： 軸的最大剪應力為 ： (N/m2)＝51MPa﹤[τ] 故AB軸滿足強度要求。????????????????????????????????? ? （2）確定實心軸的直徑：按題意，要求設計的實心軸應與原空心軸強度相同，因此要求實心軸的最大剪應力也應該是 ： 設實心軸的直徑為，則 在兩軸長度相同，材料相同的情況下，兩軸重量之比等于其橫截面面積之比，即 上述結(jié)果表明，在載荷相同的條件下，空心軸所用材料只是實心軸的31％，因而節(jié)省了三分之二以上的材料。這是因為橫截面上的剪應力沿半徑線性分布，圓心附近的應力很小，材料沒有充分發(fā)揮作用。若把軸心附近的材料向邊緣移置，這樣可以充分發(fā)揮材料的強度性能；也可以使軸的抗扭截面模量大大增加，從而有效地提高了軸的強度。因此，在用料相同的條件下，空心軸比實心軸具有更高的承載能力，而且節(jié)省材料，降低消耗。因此工程上較大尺寸的傳動軸常被設計為空心軸。 2、圓軸扭轉(zhuǎn)時的剛度計算 在機械設計中，為使軸能正常工作，除了滿足強度要求外，往往還要考慮它的變形情況。例如車床的絲杠，扭轉(zhuǎn)變形過大，會影響螺紋的加工精度；鏜床的主軸扭轉(zhuǎn)變形過大，將會產(chǎn)生劇烈的振動而影響加工精度；發(fā)動機的凸輪軸，扭轉(zhuǎn)變形過大，會影響氣門的啟閉時間的準確性等等。所以，軸還應該滿足剛度要求。 由公式（3-17）表示的扭轉(zhuǎn)角與軸的長度有關(guān)，為了消除長度的影響，用對的變化率來表示扭轉(zhuǎn)變形的程度。用表示變化率，由公式（3-21）得出： ??????????????????????????????????????????????? （3-26） 式中為單位長度的扭轉(zhuǎn)角。單位為rad/m。若圓軸的截面不變，且只在兩端作用外力矩，則由公式（3-17）得： ????????????????????????????????????????????????? （3-27） 為了保證軸的剛度，工程上規(guī)定單位長度扭轉(zhuǎn)角不得超過規(guī)定的許用扭轉(zhuǎn)角。故軸的剛度條件可表示為： ≤rad/m????????????????????????????????????? （3-28） 在工程中，的單位習慣上用 o/m。故把公式（3-28）中的弧度換算為度，得 ≤o/m???? ?????????????????????????????（3-29） 許用扭轉(zhuǎn)角?的數(shù)值可根據(jù)軸的工作條件和機器的精度要求，按實際情況從有關(guān)手冊中查到。下面列舉幾個參考數(shù)據(jù)： 精密機器的軸： 一般傳動軸：?? 精度較低的軸： 最后討論一下關(guān)于空心軸的問題。由例3-10的討論知，在工程上，較大尺寸的傳動軸常被設計為空心軸，如飛機、輪船、汽車等運輸機械的某些軸，常采用空心軸以減輕軸的重量，提高運輸能力。再如車床的主軸，為了便于加工長的棒料也采用空心軸，等等。但空心軸加工工藝復雜，經(jīng)濟成本高，對一些又細又長的軸，如機床上的光桿及起重機的長傳動軸，由于加工不便，而多采用實心軸。另外空心軸的壁不允許過薄，以免局部屈曲而出現(xiàn)喪失穩(wěn)定的現(xiàn)象?？傊瑧鶕?jù)具體要求，全面分析，綜合考慮，合理設計。 例3-11?? 如圖3-57所示的階梯軸。段的直徑=4cm，段的直徑=7cm，外力偶矩＝0.8kNm，=1.5kNm，已知材料的剪切彈性模量＝80GPa，試計算和最大的單位長度扭轉(zhuǎn)角。 解 （1）畫扭矩圖：用截面法逐段求得： kNm?????????????????????????????????????????????? kNm???????????????????????????????????????????? 畫出扭矩圖[圖3-18（b）] （2）計算極慣性矩： （cm4） （cm4） （3）求相對扭轉(zhuǎn)角：由于段和段內(nèi)扭矩不等，且橫截面尺寸也不相同，故只能在兩段內(nèi)分別求出每段的相對扭轉(zhuǎn)角和，然后取和的代數(shù)和，即求得軸兩端面的相對扭轉(zhuǎn)角。 （rad） （rad） （rad）=1.37 (4)求最大的單位扭轉(zhuǎn)角：考慮在段和段變形的不同，需要分別計算其單位扭轉(zhuǎn)角。 段?? 段?? 負號表示轉(zhuǎn)向與相反。 所以??? ＝＝2.28o/m 例3-12? 實心軸如圖3-58所示。已知該軸轉(zhuǎn)速＝300r/min，主動輪輸入功率=40kW，從動輪的輸出功率分別為=10 kW，=12 kW，=18 kW。材料的剪切彈性模量＝80GPa，若＝50MPa，＝0.3o/m，試按強度條件和剛度條件設計此軸的直徑。 解 （1）求外力偶矩： (Nm) (Nm) ( Nm) ( Nm) 1. 求扭矩、畫扭矩圖： ?? (Nm) (Nm) (Nm) 根據(jù)以上三個扭矩方程，畫出扭矩圖[圖3-58（b）]。由圖可知，最大扭矩發(fā)生在段內(nèi)，其值為： Nm 因該軸為等截面圓軸，所以危險截面為段內(nèi)的各橫截面。 （3）按強度條件設計軸的直徑：由強度條件： ≤ 得? （4）按剛度條件設計軸的直徑：由剛度條件： ≤ 得d≥ 為使軸同時滿足強度條件和剛度條件，所設計軸的直徑應不小于64.2mm。 （四）彎曲正應力的強度條件及其應用 由式（3-14）知梁的最大正應力發(fā)生在最大彎矩截面的上、下邊緣處，故 = 這里Iz/ymax是只決定于截面的幾何形狀和尺寸的幾何量，以Wz表示，稱為截面對于中性軸z的抗彎截面模量。于是 （3-15） 對于矩形截面[圖3－59（a）] 對于圓形截面[圖3－59（b）]， 對于各種軋制型鋼，其慣性矩和抗彎截面模量可查型鋼表（附錄Ⅱ）。 彎曲時正應力的強度條件是： 還應指出，對于鑄鐵等脆性材料，由于它們的抗拉和抗壓強度不同，則應按拉伸和壓縮分別進行強度計算，即要求最大拉應力和最大壓應力不超過許用拉應力[σL]和許用壓應力[σy]。即 ﹙3-30﹚ 下面舉例說明強度條件的應用。 例3-13? 某車間安裝一簡易天車[圖3－60（a）]，起重量G=50kN，跨度l=9.5m，電葫蘆自重G=6.7kN，天車在起吊重物時多少承受一些突然加載的作用，故梁在中間承受的集中力（G+G1）應乘以動荷系數(shù)kd=1.2（根據(jù)設計規(guī)范），許用應力[σ]=140MPa,試選擇工字截面。 解? 在一般機械中，梁的自重較其承受的其它載荷小，故可先按集中力初選工字截面，集中力P值為： 由集中力在中間截面引起的彎矩是[圖3－60（b）]： 只考慮此彎矩時的強度條件為： 故 由型鋼表查找Wz比1150103 mm3 稍大一些的工字鋼號，查出40C工字鋼，其119010３mm3,此鋼號的自重q=801N/m。這時自重在中間截面引起的彎矩是[圖3－60（c）] 中間截面的總彎矩是： 于是考慮自重在內(nèi)的強度條件是： [] 雖大于許用應力[],但超出值在5%以內(nèi)，工程中是允許的。 當不考慮梁自重時，為： 考慮自重與不考慮自重相比，梁內(nèi)應力相差（143.3-135.7）/143.3。因此，對于像鋼這類強度較高的材料，計算應力時一般可忽略其自重的影響。 例3-14? 鑄鐵梁的載荷及截面尺寸如圖3－61（a）所示，C為T形截面的形心，慣性矩Iz=6031104mm4，材料的許用拉應力，許用壓應力，試校核梁的強度。 解? 梁彎矩圖如圖3－61(b)所示，絕對值最大的彎矩為負彎矩，發(fā)生在Ｂ截面上，應力分布如圖3－61(c)所示。 此截面最大拉應力發(fā)生于截面上邊緣各點處，大小為： 最大壓應力發(fā)生于截面下邊緣各點處，即 ? 雖然A截面彎矩的絕對值，但MA為正彎矩，應力分布如圖3－61(d)所示。最大拉應力發(fā)生于截面下邊緣各點，此截面上最大拉應力大于最大壓應力。因此，全梁最大拉應力究竟發(fā)生在哪個截面上，必須經(jīng)過計算才能確定： A截面最大拉應力為： ? 從以上計算可看出，最大壓應力發(fā)生于截面Ｂ下邊緣處，最大拉應力發(fā)生于A截面下邊緣處，都滿足強度條件，因此是安全的。