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《完全平方公式》教學設(shè)計 【教材分析】 本節(jié)內(nèi)容是初中數(shù)學（北師大版）七年級下冊第一章《整式的運算》中的——1.8完全平方公式。 一、教材的地位和前后聯(lián)系：完全平方公式是初中數(shù)學中的重要公式，在整個中學數(shù)學中有著廣泛的應用. 一方面完全平方公式這一教學內(nèi)容是學生在已經(jīng)學習單項式乘法、多項式乘法及平方差公式基礎(chǔ)上的拓展，是對多項式乘法中出現(xiàn)的較為特殊的算式的一種歸納、總結(jié)；另一方面，又為學習《因式分解》《配方法》等知識奠定了基礎(chǔ)，是進一步研究《一元二次方程》《二次函數(shù)》 的工具性內(nèi)容。 二、教材設(shè)計的思想方法： 教材按照學生的認知規(guī)律，從具體到抽象，由直觀圖形引導學生觀察、實驗、猜測、進而論證，最后建立數(shù)學模型，使學生對公式從感性認識、直觀認識到本質(zhì)認識。逐步培養(yǎng)學生的邏輯推理能力和建模思想。由此，本節(jié)課不僅有著廣泛的實際應用，而且起著承前啟后的作用，它在本章中起著舉足輕重的作用。 【學情分析】 1．認知基礎(chǔ):學生已學習了整式的概念、整式的加減、冪的運算、整式的乘法、平方差公式，這些基礎(chǔ)知識的學習為本節(jié)課的學習奠定了基礎(chǔ)。但是對于幾何圖形如何用代數(shù)來表示，從而表示圖形的面積，學生會有一定困難，另外，在具體運用公式時，學生的感性認識往往表現(xiàn)比較突出，一部分學生總是會出現(xiàn)(a+b)2=a2+b2,(a-b)2=a2-b2的問題，對公式中a、b的理解，對“和”“差”符號的區(qū)別也會有些障礙。 2.活動經(jīng)驗基礎(chǔ)：在平方差公式一節(jié)中，學生已經(jīng)經(jīng)歷了探索與應用的過程，獲得了一些數(shù)學活動的經(jīng)驗，培養(yǎng)了一定的符號感和推理能力。 　　 3. 心理特征：初中階段的學生邏輯思維能力、觀察能力，記憶能力和想象能力都有一定的局限性，感性認識往往表現(xiàn)比較突出，很多學生還是處于模仿學習的思維階段，但同時，這一階段的學生好動，注意力易分散，愛發(fā)表見解，希望得到老師的表揚，所以在教學中應抓住這些特點，一方面運用直觀生動的圖形，引發(fā)學生的興趣，使他們的注意力始終集中在課堂上；另一方面，發(fā)揮學生學習的主動性，要創(chuàng)造條件和機會，讓學生發(fā)表見解，在辨別中提高認識。 【教學目標】 1、知識與技能： 體會公式的發(fā)現(xiàn)和推導過程，了解公式的幾何背景，理解公式的本質(zhì)，會應用公式進行簡單的計算。 2、 過程與方法： 通過讓學生經(jīng)歷探索完全平方公式的過程，培養(yǎng)學生觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納、概括、猜想等探究創(chuàng)新能力，發(fā)展推理能力和有條理的表達能力。培養(yǎng)學生的數(shù)形結(jié)合能力。 3、情感態(tài)度價值觀： 體驗數(shù)學活動充滿著探索性和創(chuàng)造性，并在數(shù)學活動中獲得成功的體驗與喜悅，樹立學習自信心。 【教學重點】 1、對公式的理解，包括它的推導過程、結(jié)構(gòu)特點、語言表述（學生自己的語言）、幾何解釋。 2、會運用公式進行簡單的計算。 【教學難點】 1、完全平方公式的推導及其幾何解釋。 2、完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點及其應用 【教學方法】“探究式學習”。 在教學中，突出學生的主動性、參與性，讓學生通過觀察特點——分析——歸納總結(jié)——得出結(jié)論，初步掌握探究的學習方法。 【學法指導】 積極參與交流探討，從學習中感受樂趣，及時地歸納總結(jié)、發(fā)現(xiàn)問題、解決問題。 【教學課型】新授課 【課時安排】一課時 【教學過程】 一、 復習舊知、引入新知 設(shè)計說明 問題1,2,3的設(shè)置目的在于使學生回顧舊知識的同時引導學生回顧平方差公式的學習過程，為本節(jié)課的類比學習奠定基礎(chǔ)。而問題4的設(shè)置目的在于教師根據(jù)學生的認知能力，預設(shè)到學生可能出現(xiàn)不同的結(jié)果。如：一部分學生得出： （1）（a+b）2 =a2+b2 （2）（a-b）2=a2-b2 一部分學生得出正確結(jié)果。不同的結(jié)果，可引發(fā)學生的爭議和思考，可激發(fā)學生強烈求知欲望，也為正確認識公式奠定了基礎(chǔ)。這樣，也創(chuàng)造機會，讓學生發(fā)表見解，有意識地培養(yǎng)學生有條理地思考和語言表達能力。 問題1：請說出平方差公式，說說它的結(jié)構(gòu)特點。 問題2：平方差公式是如何推導出來的？ 問題3：平方差公式可用來解決什么問題，舉例說明。 問題4：想一想、做一做，說出下列各式的結(jié)果。 （1）（a+b）2 （2） （a-b）2 （此時，教師可讓學生分別說說理由，并且不直接給出正確評價，還要繼續(xù)激發(fā)學生的學習興趣。） 二．創(chuàng)設(shè)問題情境、探究新知 設(shè)計說明 （a+b）2 =a2+b2 （a-b）2=a2-b2是學生學習完全平方公式時經(jīng)常出現(xiàn)的問題，并且很難以糾正，以下設(shè)置目的在于一方面通過讓學生經(jīng)歷探索完全平方公式的過程，培養(yǎng)學生觀察、猜想、發(fā)現(xiàn)、歸納、概括等探究創(chuàng)新能力，發(fā)展推理能力和有條理的表達能力。一方面使學生對公式第一次就有充分的感性認識。以免出現(xiàn)以上錯誤。也能使學生體會到猜想感覺得到的不一定正確，需要驗證。 一塊邊長為a米的正方形實驗田，因需要將其邊長增加b米，形成四塊實驗田，以種植不同的新品種。（如圖） a b ⑴ 四塊面積分別為： 、 、 、 ; b ⑵ 兩種形式表示實驗田的總面積： ① 整體看：邊長為 的大正方形，S= ； a a ②部分看：四塊面積的和，S= 。 a b 總結(jié) ： 通過以上探索你發(fā)現(xiàn)了什么？ 問題1：通過以上探索學習，同學們應該知道我們提出的問題4正確的結(jié)果是什么了吧？ 問題2：如果還有同學不認同這個結(jié)果，我們再看下面的問題，繼續(xù)探索。（a+b）2 表示的意義是什么？請你用多項式的乘法法則加以驗證。 （教學過程中教師要有意識地提到猜想、感覺得到的不一定正確，只有再通過驗證才能得出真知，但還是要鼓勵學生大膽猜想，發(fā)表見解，但要驗證） 問題3：你能說說（a+b）2=a2+2ab+b2 這個等式的結(jié)構(gòu)特點嗎？用自己的語言敘述。 （結(jié)構(gòu)特點：右邊是二項式（兩數(shù)和）的平方，右邊有三項，是兩數(shù)的平方和加上這兩數(shù)乘積的二倍） 問題4：你能根據(jù)以上等式的結(jié)構(gòu)特點說出（a-b）2等于什么嗎？請你再用多項式的乘法法則加以驗證。 總結(jié)：我們把（a+b）2=a2+2ab+b2 （a–b）2=a2–2ab+b2稱為完全平方公式。 問題：①　這兩個公式有何相同點與不同點？ ②　你能用自己的語言敘述這兩個公式嗎？ （學生交流，教師歸納總結(jié)：） 　　語言描述：兩數(shù)和（或差）的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（或減去）這兩數(shù)積的２倍。 強化記憶：首平方，尾平方，首尾二倍放中央，和是加來差是減。 〈三〉、例題講解，鞏固新知 例1：利用完全平方公式計算 設(shè)計說明 利用例題講解，幫助學生學會如何正確應用公式，使學生對公式的本質(zhì)能清晰的認識。并獲得解題技巧。 （1）（2x－3）2 （2） （4x+5y）2 （3） （mn－a）2 解：（2x－3）2 =（2x）2 －2(2x)3＋32 = 4x2－12x＋9 （4x+5y）2 =（4x）2 ＋2(4x)(5y)＋(5y)2 = 16x2＋40xy＋25y2 （mn－a）2 =（mn）2 －2(mn)a＋a2 = m2 n2 － 2mna ＋a2 交流總結(jié)：運用完全平方公式計算的一般步驟 （1）確定首、尾，分別平方； （2）確定中間系數(shù)與符號，得到結(jié)果。 四、練習鞏固 設(shè)計說明 使學生 親身經(jīng)歷應用公式的過程，加深學生對公式結(jié)構(gòu)的掌握，對公式本質(zhì)的理解，獲取解題的技巧。 練習1：利用完全平方公式計算 ① ② (3)(-2t-1)2 練習2：利用完全平方公式計算 （1）（n＋1）2 －n2 （2） 練習3：求的值，其中 （練習可采用多種形式，學生上黑板板演，師生共同評價。也可學生獨立完成后，學生互相批改，力求使學生對公式完全掌握，如有學生出現(xiàn)問題，學生、教師應及時幫助。） 五、變式練習 設(shè)計說明 本設(shè)計目的在于讓學生自我評價，是否完全掌握了本節(jié)知識，進一步加深對知識的理解。 1、下列計算是否正確？如不正確如何改正？ ① ② （3） 2、選擇 （1）代數(shù)式2xy-x2-y2=( ) A、（x-y）2 B、（-x-y）2 C、（y-x）2 D、-（x-y）2 （2）．等于（ ） A． B． C． D． （3）．若，那么A等于（ ） A． B． C．0 D． 六、暢談收獲，歸納總結(jié) 學生總結(jié)： 教師總結(jié)： 1、本節(jié)課我們又學習了乘法的完全平方公式: 2、我們在運用公式時，要注意以下幾點： （1）公式中的字母a、b可以是任意代數(shù)式； (2)公式的結(jié)果有三項，不要漏項和寫錯符號。 (3)可能出現(xiàn)① ② 這樣的錯誤。也不要與平方差公式混在一起。 七、作業(yè)設(shè)置 習題1.13 知識技能 1、2題 八、板書設(shè)計 1.8完全平方公式(1) 1、復習舊知，引入新知 3、完全平方公式： 4、例題講解 5、練習鞏固 （a+b）2=a2+2ab+b2 例1 6、變式練習 2、創(chuàng)設(shè)問題情境，探究新知 （a–b）2=a2–2ab+b2 強化記憶： 交流總結(jié)： 【教后反思】 乘法公式的學習是學生在初中學習遇到的又一個難點．因為公式代表的是一般形式，具有很高的抽象性，一時不能理解公式里每個字母的含義。在實際應用中，有的同學出現(xiàn)將平方差公式與完全平方公式混在一起的問題。 通過本節(jié)課的教學得到如下收獲： （1）這節(jié)課倡導了以學生為主，教師為輔的思想，留足了一定的時間讓學生去發(fā)現(xiàn)探索、以及做練習，使學生逐步對公式進行認識和理解，這種教學方式，學生學習效果明顯，三維目標順利達成。 （2）始終以問題引導學生學習，滿足了學生的心里需求，激發(fā)了學生的學習興趣。 （3）學生又一次體會了探究學習的方法。 下一步的要求： 學生還需要熟練掌握公式兩種形式的使用方法，以提高運算速度，鞏固完全平方公式兩種形式的應用。為完全平方公式第二課時的實際應用和提高應用做好充分的準備。