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萊布尼茨與微積分 今天,微積分已成為基本的數(shù)學(xué)工具而被廣泛地應(yīng)用于自然科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。恩格斯說過:“在一切理論成就中,未有像十七世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)明那樣被看作人類精神的最高勝利了,如果在某個(gè)地方我們看到人類精神的純粹的和唯一的功績,那就正是在這里?！苯酉聛砦覍奈鍌€(gè)方面來介紹萊布尼茨的生平事跡。 一、人物簡介 戈特弗里德威廉萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646年－1716年），德國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家。涉及的領(lǐng)域及法學(xué)、力學(xué)、光學(xué)、語言學(xué)等40多個(gè)范疇，被譽(yù)為十七世紀(jì)的亞里士多德。和牛頓先后獨(dú)立發(fā)明了微積分。 二、人物生平 早期（致力于哲學(xué)）： 1. 生于公元1646年7月1日書香之家，父親道德哲學(xué)教授，母親出身于教授家庭。 2. 8歲時(shí)，萊布尼茨進(jìn)入尼古拉學(xué)校，學(xué)習(xí)拉丁文、希臘文、修辭學(xué)、算術(shù)、邏輯、音樂以及《圣經(jīng)》、路德教義等。 3. 1661年，15歲的萊布尼茨進(jìn)入萊比錫大學(xué)學(xué)習(xí)法律。 4. 1663年5月，他以《論個(gè)體原則方面的形而上學(xué)爭論》一文獲學(xué)士學(xué)位。 晚期（致力于自然科學(xué)）： 1. 1667年2月，萊布尼茨發(fā)表了他的第一篇數(shù)學(xué)論文《論組合的藝術(shù)》 2. 1672年，萊布尼茨作為一名外交官出使巴黎，深受惠更斯的啟發(fā)，決心鉆研高等數(shù)學(xué)，并研究了笛卡兒、費(fèi)爾馬、帕斯卡等人的著作，開始微積分的創(chuàng)造性工作。 3. 1684年10月在《教師學(xué)報(bào)》上發(fā)表的論文《一種求極大極小和切線的新方法，它也適用于分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計(jì)算》，是最早的微積分文獻(xiàn)。 4. 1686年發(fā)表他的第一部積分學(xué)論文《深?yuàn)W的幾何與不可分量及無限的分析》，提出擺線方程 ，這篇論文中 第一次出現(xiàn)在印刷板物上。 5. 1713年，萊布尼茨發(fā)表了《微積分的歷史和起源》一文，總結(jié)了自己創(chuàng)立微積分學(xué)的思路，說明了自己成就的獨(dú)立性。 6.公元1716年11月14日，由于膽結(jié)石引起的腹絞痛臥床一周后，萊布尼茨孤寂地離開了人世，終年70歲。 三、個(gè)人成就 （一）微積分的創(chuàng)立 1．創(chuàng)立了很多微積分符號(hào) 1675年到1677年他創(chuàng)造出了這些符號(hào)，用表示相鄰兩個(gè)的差； 表示相鄰兩個(gè)的差，也是函數(shù)的微分；用表示成切線的斜率；代替了以前的和號(hào)“ ”（是的第一個(gè)字母）；表示面積。 2. 給出了的演算法則 加法和減法：如果 ，則 乘 法： 除 法： ，等。 3.微積分基本定理 萊布尼茲在手稿中闡述：給定一條曲線，其縱坐標(biāo)為，求該曲線下的面積。 他假設(shè)可以求出一條曲線（他稱之為割圓曲線），它的縱坐標(biāo)為，使得： 即 。他發(fā)現(xiàn)曲線的面積 ，萊布尼茲通常假設(shè)曲線通過原點(diǎn)。這就將求面積的問題轉(zhuǎn)化成了反切線的問題，即要求曲線的面積只需要找到一條曲線，使它的切線的斜率為 ，如果實(shí)在區(qū)間上，則只需用在 的面積減去的面積便得到。 問題的關(guān)鍵： 沒有發(fā)現(xiàn)微分和積分是互逆的兩種運(yùn)算，而這正是微積分建立的關(guān)鍵所在。只有確立了這一基本關(guān)系，才能在此基礎(chǔ)上構(gòu)建系統(tǒng)的微積分學(xué) 。 微積分創(chuàng)建工作的完成： 1、萊布尼茨1684年10月在《教師學(xué)報(bào)》上發(fā)表的論文《一種求極大極小的奇妙類型的計(jì)算》，是最早的微積分文獻(xiàn)。對(duì)微積分的創(chuàng)建有著劃時(shí)代的意義。 2、萊布尼茨從幾何問題出發(fā)，運(yùn)用分析學(xué)方法引進(jìn)微積分概念、得出微積分運(yùn)算法則。 3、萊布尼茨創(chuàng)建巧妙簡潔的微積分符號(hào) ，對(duì)微積分的發(fā)展有極大影響 。 4、1713年，萊布尼茨發(fā)表《微積分的歷史和起源》一文，總結(jié)了自己創(chuàng)建微積分的歷程。 牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立微積分的比較： 牛頓堅(jiān)持唯物論的經(jīng)驗(yàn)論,特別重視實(shí)驗(yàn)和歸納推理。他在研究經(jīng)典力學(xué)規(guī)律和萬有引力定律時(shí),遇到了一些無法解決的數(shù)學(xué)問題,，因此牛頓著手研究新的以求曲率、面積、曲線的長度、重心、最大最小值等問題的方法———流數(shù)法。“牛頓的研究采用了最初比和最后比的方法。他認(rèn)為流數(shù)是初生量的最初比或消失量的最后比。初生量的最初比就是在初生的瞬間的比值,消失量的最后比就是量在消失的瞬間的比值。”這個(gè)解釋太模糊了,算不上精確的數(shù)學(xué)概念,只不過是一種直觀的描述。最初比和最后比的物理原型是初速度與末速度的數(shù)學(xué)抽象,在物體作位置移動(dòng)的過程中的每一瞬間具有的速度是自明的,牛頓就是從這個(gè)客觀事實(shí)出發(fā)提出了最初比和最后比的直觀概念。這樣他就給出了極限的觀點(diǎn)。 萊布尼茲的微積分創(chuàng)造始于研究“切線問題”和“求積問題”,他從微分三角形認(rèn)識(shí)到:求曲線的切線依賴于縱坐標(biāo)之差與橫坐標(biāo)之差的比值;求曲邊圖形的面積則依賴于在橫坐標(biāo)的無限小區(qū)間上的縱坐標(biāo)之和或無限薄的矩形之和。萊布尼茲認(rèn)識(shí)到求和與求差運(yùn)算是可逆的。萊布尼茲用無窮小的思想給出了微積分的基本定理,并發(fā)展成為高階微分。萊布尼茲在微積分的研究過程中,連續(xù)性原則成為其工作的基石,而連續(xù)性原則是扎根于他哲學(xué)中無限的本質(zhì)的思想。 一、牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立微積分的相同點(diǎn)： 1、都使微積分不再是幾何學(xué)的延伸，建立在符號(hào)運(yùn)算的基礎(chǔ)上，具有一般性，使之成具有廣泛應(yīng)用的學(xué)科； 2、把求積問題歸結(jié)為微分問題的逆問題，從而建立了微積分基本定理； 3、把微積分建立在實(shí)無窮小的基礎(chǔ)上，后來他們?yōu)榛乇軣o窮小運(yùn)算上的矛盾，不自覺地使用了極限概念； 4、用代數(shù)的方法從過去的幾何形式中解脫出來;都研究了微分與反微分之間的互逆關(guān)系。 二、牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立微積分的不同點(diǎn)： 1、他們建立微積分的出發(fā)點(diǎn)不同。牛頓是在力學(xué)研究的基礎(chǔ)上，運(yùn)用幾何方法研究微積分的；萊布尼茲主要是在研究曲線的切線和面積的問題上，運(yùn)用分析學(xué)方法引進(jìn)微積分要領(lǐng)的。 2、微積分工作的側(cè)重點(diǎn)不同。牛頓關(guān)心微積分體系和基本方法的建立；而萊布尼茲運(yùn)算公式的建立與推廣。在積分上，牛頓偏重于求積分的逆運(yùn)算，即不定積分；而萊布尼茨側(cè)重于求微分的和，即定積分。牛頓在微積分的應(yīng)用上更多地結(jié)合了運(yùn)動(dòng)學(xué)，造詣精深；但萊布尼茲的表達(dá)形式簡潔準(zhǔn)確，勝過牛頓。 3、對(duì)微積分具體內(nèi)容的研究不同。牛頓先有導(dǎo)數(shù)概念，后有積分概念；萊布尼茲則先有積分概念，后有導(dǎo)數(shù)概念。 4、對(duì)無窮小認(rèn)識(shí)的程度不一樣。牛頓不分階，而萊氏分階，認(rèn)識(shí)比前者深刻。 雖然牛頓和萊布尼茲研究微積分的方法不同，但他們殊途同歸，各自獨(dú)立完成了創(chuàng)建微積分的盛業(yè)，正是因?yàn)橛辛伺ｎD與萊布尼茲的工作，才使微積分成為獨(dú)立的學(xué)科并給整個(gè)自然科學(xué)帶來革命性的影響。他們創(chuàng)立的微積分,對(duì)科學(xué)發(fā)展具有深遠(yuǎn)的影響 （二）數(shù)學(xué)上的貢獻(xiàn) 1、始創(chuàng)微積分。 2、對(duì)負(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的性質(zhì)的探討。 3、首次引入行列式的概念。 4、數(shù)理邏輯的首創(chuàng)者和真正奠基人。 （三）物理方面的貢獻(xiàn) 1、提出了能量守恒定律的雛形。 2、證明了永動(dòng)機(jī)的荒謬性。 3、提出馬里奧特——萊布尼茨理論。 4、利用微積分求極值的方法推導(dǎo)出折射定律。 （四）哲學(xué) v 突出了著名的“單子論” v “沒有兩片完全相同的樹葉，世界上沒有性格完全相同的人?！? ——萊布尼茨 （五） “乘法機(jī)”的發(fā)明 v 受八卦啟發(fā)，率先為計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)系統(tǒng)提出二進(jìn)制運(yùn)算法則，為計(jì)算機(jī)的現(xiàn)代發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。 v 能進(jìn)行乘除運(yùn)算的“乘法機(jī)”的發(fā)明。 四、著作目錄 v 1663年5月，以《論個(gè)體原則方面的形而上學(xué)爭論》一文獲學(xué)士學(xué)位 。 v 1664年1月，萊布尼茨完成了論文《論法學(xué)之艱難》，獲哲學(xué)碩士學(xué)位。 v 1667年2月 他以論文《論身份》獲法學(xué)博士學(xué)位 。 v 1667年發(fā)表了他的第一篇數(shù)學(xué)論文《論組合的藝術(shù)》。 v 1684年10月發(fā)表論文《一種求極大極小的奇妙類型的計(jì)算》，是最早的微積分文獻(xiàn)。 v 1677年，萊布尼茨發(fā)表《通向一種普通文字》，人們公認(rèn)他是世界語的先驅(qū)。 v 1677年，萊布尼茨發(fā)表《通向一種普通文字》，人們公認(rèn)他是世界語的先驅(qū)。 v 1693年，萊布尼茨發(fā)表《原始地球》一書一定程度上促進(jìn)了19世紀(jì)地質(zhì)學(xué)理論的發(fā)展。 v 1703發(fā)表論文《二進(jìn)位算術(shù)的闡述—關(guān)于只用0和1兼論其用處及伏羲氏所用數(shù)字的意義》，為二進(jìn)制的創(chuàng)立奠定了基礎(chǔ)。 v 1713年，萊布尼茨發(fā)表《微積分的歷史和起源》一文，總結(jié)了其獨(dú)立創(chuàng)建微積分的總過程。 五、評(píng)價(jià) “當(dāng)一個(gè)人考慮到自己并把自己的才能和萊布尼茨的才能來作比較時(shí)，就會(huì)弄到恨不得把書都丟了去找個(gè)世界上比較偏僻的角落藏起來以便安靜的死去。這個(gè)人是混亂的大敵：罪錯(cuò)綜復(fù)雜的事物一進(jìn)入他的心靈就弄得秩序井然。他把兩種幾乎不相容的品質(zhì)結(jié)合在一起了，這就是探索發(fā)現(xiàn)的精神和講求條理的精神；而他借以積累起最廣泛的各種不同種類知識(shí)最堅(jiān)毅又最五花八門的研究既沒有剝?nèi)踹@一品質(zhì)，也沒有剝?nèi)趿硪环N品質(zhì)。就哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家這兩個(gè)詞所能具有的最充分的意義來說，他是一位哲學(xué)家和一位數(shù)學(xué)家?！? ——狄德羅 六、總結(jié) 萊布尼茨是歷史上最偉大的符號(hào)學(xué)者之一，他所創(chuàng)設(shè)的微積分符號(hào)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓的符號(hào)，這對(duì)微積分的發(fā)展有極大的影響。現(xiàn)在我們使用的微積分通用符號(hào)就是當(dāng)時(shí)萊布尼茨精心選用的。 微積分學(xué)的創(chuàng)立，極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，過去很多初等數(shù)學(xué)束手無策的問題，運(yùn)用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分學(xué)的非凡威力。 萊布尼茨科學(xué)天才遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止我們這兒介紹的這么簡簡單單，他的研究成果還遍及力學(xué)、邏輯學(xué)、化學(xué)、地理學(xué)、解剖學(xué)、動(dòng)物學(xué)、植物學(xué)、氣體學(xué)、航海學(xué)、地質(zhì)學(xué)、語言學(xué)、法學(xué)、哲學(xué)、歷史、外交等等。他是單子論奠基人，微積分的創(chuàng)立者，數(shù)理邏輯的先驅(qū)，中西文化交流之倡導(dǎo)者。