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承諾書 我們仔細閱讀了中國大學生數(shù)學建模競賽的競賽規(guī)則. 我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。 我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的,如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。 我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。 投資收益和風險問題的分析 摘 要 在現(xiàn)代商業(yè)、金融的投資中，任何理性的投資者總是希望收益能夠取得最大化，但是他也面臨著不確定性和不確定性所引致的風險。而且，大的收益總是伴隨著高的風險。在有很多種資產(chǎn)可供選擇，又有很多投資方案的情況下，投資越分散，總的風險就越小。為了同時兼顧收益和風險，追求大的收益和小的風險構(gòu)成一個兩目標決策問題，依據(jù)決策者對收益和風險的理解和偏好將其轉(zhuǎn)化為一個單目標最優(yōu)化問題求解。隨著投資者對收益和風險的日益關(guān)注,如何選擇較好的投資組合方案是提高投資效益的根本保證。傳統(tǒng)的投資組合遵循“不要將所有的雞蛋放在一個藍子里”的原則,將投資分散化。 關(guān)鍵詞：投資；收益；風險；數(shù)學建模 0問題提出 市場上有n種資產(chǎn)si (i = 1,2, ,n)可以選擇，現(xiàn)用數(shù)額為M的 相當大的資金作一個時期的投資。這 n 種資產(chǎn)在這一時期內(nèi)購買 的 si 平均收益率為ri ，風險損失率為 qi ，投資越分散，總的風 險越少，總體風險可用投資的si中最大的一個風險來度量。購買 si時要付交易費（費率pi），當購買額不超過給定值ui 時，交易 費按購買ui計算。另外，假定同期銀行存款利率是r0，既無交易 費又無風險。（r0 = 5%） Table:已知n=4時相關(guān)數(shù)據(jù) Si ri(%) qi(%) pi(%) ui S1 28 2.5 1 103 S2 21 1.5 2 198 S3 23 5.5 4.5 52 S4 25 2.6 6.5 40 1問題分析 這是一個優(yōu)化問題，要決策的是向每種資產(chǎn)的投資額，即所謂投資組合，要達到的目標有二，凈收益最大和整體風險最小。一般來說這兩個目標是矛盾的，收益大，風險必然也大；反之亦然，所以不可能給出這兩個目標同時達到最優(yōu)的所謂的完美決策，我們追求的只能是滿足投資者本身要求的投資組合，即在一定風險下收益最大的決策，或在一定收益下風險最小的決策，或收益和風險按一定比例組合最優(yōu)的決策。冒險性投資者會從中選擇高風險下收益最大的決策，保守型投資者則可從低風險下的決策中選取。 建立優(yōu)化問題的模型最主要的是用數(shù)學符號和式子表述決策變量、構(gòu)造目標函數(shù)和確定約束條件。對于本題決策變量是明確的，即對Si (i=0,1，…，n)的投資份額（S0表示存入銀行），目標函數(shù)之一是總風險最大，目標函數(shù)之二是總風險最小，而總風險用投資資產(chǎn)Si中的最大的一個風險衡量。約束條件應為總資金M的限制。 2 模型假設(shè) 1. 投資數(shù)額M相當大，為了便于計算，假設(shè)M=1； 2. 投資越分散，總的風險越?。? 3. 總體風險用投資項目si中最大的一個風險來度量； 4. n種資產(chǎn)si之間是相互獨立的； 5. 在投資的這一時期內(nèi)，ri、pi、qi、r0為定值，不受意外因素影響； 6. 凈收益和總體風險只受ri、pi、qi影響，不受其他因素干擾。 3 符號說明 si—第i種投資項目，如股票、債券等，s0表示不投資 ri，pi,qi—分別為si的平均收益率，風險損失率，交易費率 ui—si的交易定額 r0—同期銀行利率 xi—投資項目si的資金 a— 投資風險度 Q—總體收益 ?Q—總體收益的增量 4模型建立 在實際投資中，投資者承擔風險的程度不一樣，若給定風險一個界限a，使最大的一個風險qixiM≤a,可找到相應的投資方案。將多目標轉(zhuǎn)化成單目標線性規(guī)劃。 模型一：固定風險水平，優(yōu)化收益模型 max i=0n(ri-pi)xi qixiM ≤a s.t. i=0n(1+pi)xi=M xi≥0，i=0,1,…,n 若投資者希望總盈利至少達到k以上，在風險最小的情況下尋找相應的投資組合。 模型二：固定盈利水平，極小化風險模型 min{max{qixi}} i=0n(ri-pi)xi≥k s.t. i=0n(1+pi)xi=M xi≥0，i=0,1,…,n 投資者在權(quán)衡資產(chǎn)風險和預期收益兩方面后，希望選擇一個令自己滿意的投資組合。 模型三：均衡模型 mins{max{qixi}}-(1-s)i=0n(ri-pi)xi i=0n1+pixi=M s.t. xi≥0,i=0，1，…，n 其中s為投資偏好系數(shù)。 5模型求解 模型一： 0.025x1≤x5 0.015x2≤x5 s.t. 0.055x3≤≤x5 0.026x4≤x5 x0+1.01x1+1.02x2+1.045x3+1.065x4=1 xi≥0，i=0,1,…,n 模型二: 假定 qi.xi≤x5 （1） 要求：在收益一定k的情況下，所冒的風險最小 qi.xi≤x5 x0+1.01x1+1.02x2+1.045x3+1.065x4+0=1 0.05x0+0.27x1+0.19x2+0.185x3+0.185x4+0≥k 0.025x1≤x5 0.015x2≤x5 0.055x3≤x5 0.026x4≤x5 模型三： xiqi<=x5 x0+1.01x1+1.02x2+1.045x3+1.065x4=1 0.025x1≤x5 0.015x2≤x5 0.055x3≤x5 0.026x4≤x5 6 模型結(jié)果分析與檢驗 模型一： 1.風險大，收益也大。 2．當投資越分散時，投資者承擔的風險越小，這與題意一致。冒險的投資者會出現(xiàn)集中投資的情況，保守的投資者則盡量分散投資。 3.曲線上的任一點都表示該風險水平的最大可能收益和該收益要求的最小風險?？梢葬槍Σ煌L險的承受能力，選擇該風險水平下的最有投資組合。 4.在a=0.006附近有一個轉(zhuǎn)折點，在這一點左邊，風險增加很少時，利潤增長很快；在這一點右邊，風險增加很大時，利潤增長很緩慢。對于風險和收益沒有特殊偏好的投資者來說，應該選擇曲線的拐點作為最優(yōu)投資組合，大約是a=0.6%，Q=20%，所對應投資方案為：風險度：0.006，收益：0.2019，x0:0,x1:0.24,x2:0.4,x3:0.1091,x4:0.2212 模型二： 1.風險越大，收益越大。 2.當投資越分散時，投資者承擔的風險越小，這與題意一致。冒險的投資者會出現(xiàn)集中投資的情況，保守的投資者則盡量分散投資。 3.根據(jù)曲線的走勢，我們可以看到曲線剛開始的時候風險增長緩慢，收益增長很快，當達到曲線的拐點時，風險增長很快。對于抗風險能力較弱的投資者來說，應該講拐點作為最有投資組合。x5:0.2,風險度：0.006. 模型三： 1. 我們通過s來將風險與收益加權(quán)，來選擇最優(yōu)組合。 2. 模型三的曲線收益隨著s的增大而減小，我們可以通過觀察圖形的斜率來觀察s與Q之間的關(guān)系，我們發(fā)現(xiàn)曲線在s為0.8左右的時候出現(xiàn)拐點，我們可以通過這一點來選擇投資組合，獲得較高收益。 7模型的評價與推廣 本文我們建立了投資收益與風險的雙目標優(yōu)化模型，通過建立模型一、模型二、模型三分別來使收益最大，保證收益的同時使風險最小，模型一和模型二都是先固定一個量然后研究另一個量，而模型三是引入一個偏好系數(shù)使風險與收益之間找到平衡點，并使用Matlab求解，所得結(jié)果具有一定的指導意義。 但是，本文沒有討論收益和風險的評估方法，在實際應用中還存在資產(chǎn)相關(guān)的情形，此時用最大風險代表組合投資的風險未必合理，因此對不同風險度量下的最優(yōu)投資組合進行比較研究是進一步的改進方向。 附錄 模型一： Matlab clc,clear a=0; while a<0.05 c=[-0.05;-0.27;-0.19;-0.185;-0.185]; A=diag([0,0.025,0.015,0.055,0.026]); b=a*ones(5,1); Aeq=[1,1.01,1.02,1.045,1.065]; beq=1; lb=zeros(5,1); [x,Q]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb); a x=x Q=-Q plot(a,Q,*r); hold on a=a+0.001; end xlabel(a),ylabel(Q) 模型二： Matlab k=0.15 while k<0.27 c=[0,0,0,0,0,1]; a=[0,0.025,0,0,0,-1;0,0,0.015,0,0,-1;0,0,0,0.055,0,-1;0,0,0,0,0.026,-1; -0.05,-0.27,-0.19,-0.185,-0.185,0;]; b=[0;0;0;0;-k]; aeq=[1,1.01,1.02,1.045,1.065,0]; beq=[1]; lb=zeros(6,1); [x,Q]=linprog(c,a,b,aeq,beq,lb); k x=x Q plot(k,Q,.r); k=k+0.005; hold on grid on end xlabel(k),ylabel(Q) 模型三： Matlab s=0; while s<1 c=[-0.05*(1-s),-0.27*(1-s),-0.19*(1-s),-0.185*(1-s),-0.185*(1-s),s]; a=[0,0.025,0,0,0,-1;0,0,0.015,0,0,-1;0,0,0,0.055,0,-1;0,0,0,0,0.026,-1]; b=[0;0;0;0]; aeq=[1,1.01,1.02,1.045,1.065,0]; beq=[1]; lb=zeros(6,1); ub=[ ]; [x,Q]=linprog(c,a,b,aeq,beq,lb,ub); s x=x Q=-Q plot(s,Q,*r);5 hold on s=s+0.001; grid on end xlabel(s),ylabel(Q) 12