《高考數(shù)學考點回歸總復習《第六講函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值》課件 新人教版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高考數(shù)學考點回歸總復習《第六講函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值》課件 新人教版（52頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第六講第六講 函數(shù)的單調(diào)性與最大函數(shù)的單調(diào)性與最大(小小)值值回歸課本回歸課本1.函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)定義定義一般地一般地,設函數(shù)設函數(shù)f(x)的定義域為的定義域為I.如果對于定義如果對于定義域域I內(nèi)某個區(qū)間內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量上的任意兩個自變量x1,x2.當當x1x2時時,都有都有f(x1)f(x2),那么就說函數(shù)那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間D上是增函數(shù)上是增函數(shù)當當x1f(x2),那么就那么就說函數(shù)說函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間D上是減函數(shù)上是減函數(shù)圖象圖象描述描述自左向右看圖象是自左向右看圖象是上升的上升的自左向右看

2、圖象自左向右看圖象是是下降的下降的(2)單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)上是增函數(shù)或減函數(shù),那么就說那么就說y=f(x)在這一區(qū)間上具有在這一區(qū)間上具有單調(diào)性單調(diào)性,區(qū)間區(qū)間D叫做叫做y=f(x)的的單調(diào)單調(diào)區(qū)間區(qū)間.(3)若函數(shù)若函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導在某個區(qū)間內(nèi)可導,當當f(x)0時時,f(x)為增函為增函數(shù)數(shù);當當f(x)0時時,f(x)為減函數(shù)為減函數(shù).2.函數(shù)的最值函數(shù)的最值前提前提一般地一般地,設函數(shù)設函數(shù)y=f(x)的定義域為的定義域為I,如果存如果存在實數(shù)在實數(shù)M滿足滿足條件條件對于任意對于任意xI,都有都有

3、f(x)M;對于任意對于任意xI,都有都有f(x)M;存在存在x0I,使得使得f(x0)=M.存在存在x0I,使使得得f(x0)=M.結論結論M為最大值為最大值M為最小值為最小值結論結論 M為最大值為最大值M為最小值為最小值定義在閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)必有定義在閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)必有最大最大(小小)值值.設設f(x)是定義在是定義在m,n上的單調(diào)增函數(shù)上的單調(diào)增函數(shù),則它的最大值是則它的最大值是f(n),最小值是最小值是f(m).考點陪練考點陪練1.(2010福建福建)下列函數(shù)下列函數(shù)f(x)中中,滿足滿足“對任意對任意x1,x2(0,+),當當x1f(x2)”的是的是( )A. B.f(x)=(

4、x-1)2C.f(x)=ex D.f(x)=ln(x+1)答案答案:A1( )xf x 2.f x(121.522.12)xxABCD函數(shù)的最大值為答案答案:B 3.(2011)f xR,1xA.,1B. 1,C.,00,1D.,01,1ffx長春質(zhì)檢 已知為 上的減函數(shù) 則滿足的實數(shù) 的取值范圍是()答案答案:D4.(2011)yM,1311.4223.m,.22()xxmMABCD福建模擬已知函數(shù)的最大值為最小值為則的值為答案答案:C5.設設x1,x2為為y=f(x)的定義域內(nèi)的任意兩個變量的定義域內(nèi)的任意兩個變量,有以下幾個有以下幾個命題命題:(x1-x2)f(x1)-f(x2)0;(x

5、1-x2)f(x1)-f(x2)0;其中能推出函數(shù)其中能推出函數(shù)y=f(x)為增函數(shù)的命題為為增函數(shù)的命題為_.12121212()()0;()()0.f xf xxxf xf xxx答案答案:類型一類型一函數(shù)單調(diào)性的判定與證明函數(shù)單調(diào)性的判定與證明解題準備解題準備:判斷函數(shù)的單調(diào)性的常見方法有三種判斷函數(shù)的單調(diào)性的常見方法有三種:定義法定義法 直直接法接法 圖象法圖象法.1.用定義法證明函數(shù)單調(diào)性的步驟用定義法證明函數(shù)單調(diào)性的步驟:(1)取值取值:設設x1,x2為該區(qū)間內(nèi)任意的兩個值為該區(qū)間內(nèi)任意的兩個值,且且x10;(2)作差變形作差變形:作差作差y=f(x2)-f(x1),并通過因式分解

6、并通過因式分解 配方配方 有理化等方法有理化等方法,向有利于判斷差值符號的方向變形向有利于判斷差值符號的方向變形; (3)定號定號:確定差值確定差值y的符號的符號,當符號不確定時當符號不確定時,可考慮分類討可考慮分類討論論;(4)判斷判斷:根據(jù)定義作出結論根據(jù)定義作出結論.2.直接法直接法:運用已知的結論運用已知的結論,直接得到函數(shù)的單調(diào)性直接得到函數(shù)的單調(diào)性.如一次函如一次函數(shù)數(shù) 二次函數(shù)二次函數(shù) 反比例函數(shù)的單調(diào)性均可直接說出反比例函數(shù)的單調(diào)性均可直接說出.了解以下結論了解以下結論,對直接判斷函數(shù)的單調(diào)性有好處對直接判斷函數(shù)的單調(diào)性有好處:(1)函數(shù)函數(shù)y=-f(x)與函數(shù)與函數(shù)y=f(x

7、)的單調(diào)性相反的單調(diào)性相反;(2)當當f(x)恒為正或恒為負時恒為正或恒為負時,函數(shù)函數(shù)與與y=f(x)的的單調(diào)性相反單調(diào)性相反;(3)在公共區(qū)間內(nèi)在公共區(qū)間內(nèi),增函數(shù)增函數(shù)+增函數(shù)增函數(shù)=增函數(shù)增函數(shù),增函數(shù)增函數(shù)-減函數(shù)減函數(shù)=增函數(shù)等增函數(shù)等;(4)復合函數(shù)單調(diào)性判斷復合函數(shù)單調(diào)性判斷,要注意掌握要注意掌握“同增同增 異減異減”的原則的原則.1( )yf x3.圖象法圖象法:是根據(jù)函數(shù)的圖象直觀判斷函數(shù)在某個區(qū)間上的是根據(jù)函數(shù)的圖象直觀判斷函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性的方法單調(diào)性的方法. 211f xa01,1.axx【典例 】判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性 1221221212212212121

8、21212(1)().(1:1xx1,f xf xa0,f xf x,f x1,1;a0,f xf x,f x1,1)(1)(1)()0,(1)(.1)a x xxxxxx xxxxx 解 解法一 設則時函數(shù)在上遞減時函數(shù)在上遞增 222222:f x,fxx1,1 ,x10,x10,a(1)0,fx0,f x.a0,fx0,f1x.,()a xx 解法二 對求導 有當時為增函數(shù)當時為減函數(shù) 反思感悟反思感悟 利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明f(x)的單調(diào)性時的單調(diào)性時,比比較較f(x1)與與f(x2)的大小常用作差法的大小常用作差法,有時可運用作商法有時可運用作商法 放放縮法

9、等縮法等;討論函數(shù)的單調(diào)性值域問題不可忽視函數(shù)的定義討論函數(shù)的單調(diào)性值域問題不可忽視函數(shù)的定義域域.類型二類型二函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性解題準備解題準備:因為奇函數(shù)的圖象關于原點對稱因為奇函數(shù)的圖象關于原點對稱,所以結合圖象可所以結合圖象可得奇函數(shù)在得奇函數(shù)在(a,b)與與(-b,-a)上的單調(diào)性相同上的單調(diào)性相同.因為偶函數(shù)的因為偶函數(shù)的圖象關于圖象關于y軸對稱軸對稱,所以偶函數(shù)在所以偶函數(shù)在(a,b)與與(-b,-a)上的單調(diào)上的單調(diào)性相反性相反. 212f x. 1a,b;2f x,;3f xx0.xaxbx【典例 】已知是奇函數(shù)求的值求的單調(diào)區(qū)間 并加以證明求的最值 分

10、析分析 利用利用f(-x)=-f(x)求求a,b的值的值. 222122112222212122121212 1f xfx0,2 ab x2a0 x.ab0. 2f xxR,0,f x.x ,x0,0111()(,xx ,f xf1).11(1)(x1)xaxaxbxxbxxxxxxxx xxxxx 解恒成立即恒成立 則對任意的實數(shù) 恒成立是奇函數(shù)只需研究上的單調(diào)區(qū)間即可任取且則x21+10,x22+10,x2-x10,而而x1,x20,1時時,x1x2-10,當當x1,x20,1時時,f(x1)-f(x2)0,函數(shù)函數(shù)y=f(x)是減函數(shù)是減函數(shù).又又f(x)是奇函數(shù)是奇函數(shù),f(x)在在-

11、1,0上是增函數(shù)上是增函數(shù),在在(-,-1上是減函數(shù)上是減函數(shù).又又x0,1,u-1,0時時,恒有恒有f(x)f(u),等號只在等號只在x=u=0時取時取到到,故故f(x)在在-1,1上是增函數(shù)上是增函數(shù).(3)由由(2)知函數(shù)知函數(shù)f(x)在在(0,1)上遞增上遞增,在在1,+)上遞減上遞減,則則f(x)在在x=1處可取得最大值處可取得最大值.f(1)= ，函數(shù)的最大值為函數(shù)的最大值為 ,無最小值無最小值. 類型三類型三求函數(shù)的最值求函數(shù)的最值解題準備解題準備:(1)若函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)型的函數(shù)若函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)型的函數(shù),常用配方法常用配方法.(2)利用函數(shù)的單調(diào)性

12、求最值利用函數(shù)的單調(diào)性求最值:先判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的單先判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性調(diào)性,然后利用單調(diào)性求最值然后利用單調(diào)性求最值.(3)基本不等式法基本不等式法:當函數(shù)是分式形式且分子分母不同次時常當函數(shù)是分式形式且分子分母不同次時常用此法用此法.(4)導數(shù)法導數(shù)法:當函數(shù)較復雜當函數(shù)較復雜(如指如指 對數(shù)函數(shù)與多項式結合對數(shù)函數(shù)與多項式結合)時時,一般采用此法一般采用此法.(5)數(shù)形結合法數(shù)形結合法:畫出函數(shù)圖象畫出函數(shù)圖象,找出坐標的范圍或分析條件的找出坐標的范圍或分析條件的幾何意義幾何意義,在圖上找其變化范圍在圖上找其變化范圍. 23f xx1,.1a4,f x;2a,f x;32,

13、a,f x2.1xxax【典例 】已知函數(shù)當時 求的最小值當時 求的最小值若 為正數(shù) 求的最小值 分析分析 在解決該類型函數(shù)的最值時在解決該類型函數(shù)的最值時,首先考慮到應用均值不首先考慮到應用均值不等式求解等式求解,但須逐一驗證應用均值不等式所具備的條件但須逐一驗證應用均值不等式所具備的條件.若若條件不具備條件不具備,應從函數(shù)單調(diào)性的角度考慮應從函數(shù)單調(diào)性的角度考慮. minminmin42,1 1a4,f xx,f x1,2,2,.f xf 26.2a,f xx2,f x11227.2,.f xf 13f xx2(0,).,a1,f x1,),f xf0a11()22;1,xxaaaxaaa

14、a解當時易知在上是減函數(shù) 在上是增函數(shù)當時易知在上為增函數(shù)函數(shù)在上是減函數(shù) 在上是增函數(shù)若即時在區(qū)間上先減后增若 即 min,f x1,.f xf 1a3.時在區(qū)間上是增函數(shù)類型四類型四抽象函數(shù)的單調(diào)性與最值抽象函數(shù)的單調(diào)性與最值解題準備解題準備:抽象函數(shù)是近幾年高考的熱點抽象函數(shù)是近幾年高考的熱點,研究這類函數(shù)性質(zhì)研究這類函數(shù)性質(zhì)的根本方法是的根本方法是“賦值賦值”,解題中要靈活應用題目條件賦值解題中要靈活應用題目條件賦值轉(zhuǎn)化或配湊轉(zhuǎn)化或配湊.【典例典例4】 函數(shù)函數(shù)f(x)對任意的對任意的a、bR,都有都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且當并且當x0時時,f(x)1.(1)求證求

15、證:f(x)是是R上的增函數(shù)上的增函數(shù);(2)若若f(4)=5,解不等式解不等式f(3m2-m-2)3. 分析分析 (1)是抽象函數(shù)單調(diào)性的證明是抽象函數(shù)單調(diào)性的證明,所以要用單調(diào)性的定所以要用單調(diào)性的定義義.(2)將函數(shù)不等式中抽象的函數(shù)符號將函數(shù)不等式中抽象的函數(shù)符號“f”運用單調(diào)性運用單調(diào)性“去掉去掉”,為此需將右邊常數(shù)為此需將右邊常數(shù)3看成某個變量的函數(shù)值看成某個變量的函數(shù)值. 解解 (1)設設x1,x2R,且且x10,則則f(x2-x1)1.f(a+b)=f(a)+f(b)-1,f(x2)=f(x2-x1)+x1=f(x2-x1)+f(x1)-1又又f(x2-x1)-10,因此因此f

16、(x2)f(x1),故故f(x)在在R上是增函數(shù)上是增函數(shù).(2)令令a=b=2,則則f(4)=2f(2)-1.又又f(4)=5,f(2)=3.原不等式即為原不等式即為f(3m2-m-2)f(2).由由(1)知知f(x)在在R上是增函數(shù)上是增函數(shù),3m2-m-22.4.341,.3 1m解之得原不等式解集為反思感悟反思感悟 (1)若函數(shù)若函數(shù)f(x)是增函數(shù)是增函數(shù),則則f(x1)f(x2)x1x2,函函數(shù)不等式數(shù)不等式(或方程或方程)的求解的求解,總是想方設法去掉抽象函數(shù)的符總是想方設法去掉抽象函數(shù)的符號號,化為一般不等式化為一般不等式(或方程或方程)求解求解,但無論如何都必須在定但無論如何

17、都必須在定義域內(nèi)或給定的范圍內(nèi)進行義域內(nèi)或給定的范圍內(nèi)進行.(2)在解答過程中易出現(xiàn)不能正確構造在解答過程中易出現(xiàn)不能正確構造f(x2-x1)的形式或不能的形式或不能將不等式右邊將不等式右邊3轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為f(2)從而不能應用函數(shù)的單調(diào)性求解從而不能應用函數(shù)的單調(diào)性求解,導致此種錯誤的原因是沒有熟練掌握單調(diào)性的含義及沒弄導致此種錯誤的原因是沒有熟練掌握單調(diào)性的含義及沒弄清如何利用題目中的已知條件或者不能正確地將抽象不等清如何利用題目中的已知條件或者不能正確地將抽象不等式進行轉(zhuǎn)化式進行轉(zhuǎn)化. 錯源一錯源一不注意分段函數(shù)的特點不注意分段函數(shù)的特點 1f x.,a(31)4 ,1,11.(0,1).

18、0,31 11.,.,17 37()axa xlogax xABCD 【典例 】已知是上的減函數(shù) 那么 的取值范圍是03a,B10,101,3.aa 錯解 依題意應有解得選 剖析剖析 本題的錯誤在于沒有注意分段函數(shù)的特點本題的錯誤在于沒有注意分段函數(shù)的特點,只保證了只保證了函數(shù)在每一段上是單調(diào)遞減的函數(shù)在每一段上是單調(diào)遞減的,沒有使函數(shù)沒有使函數(shù)f(x)在在(-,1上上的最小值大于的最小值大于(1,+)上的最大值上的最大值,從而得出錯誤結果從而得出錯誤結果.aR,3a10,0a1,x13a1 141alog 1,aC1,7 3. 正解 據(jù)題意要使原函數(shù)在定義域 上為減函數(shù) 要滿足且及時解得 的

19、取值范圍為故選答案答案 C錯源二錯源二 判斷復合函數(shù)的單調(diào)性時判斷復合函數(shù)的單調(diào)性時,未弄清內(nèi)未弄清內(nèi) 外函數(shù)的單調(diào)外函數(shù)的單調(diào)性而致錯性而致錯 22f xx1R.x【典例 】利用定義判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性 121222212221222212211221212111)( 11)(11)x ,xR,xx ,f xf x(xxxxx ,xx0,f xf x0,110,f xf x.f xR.,xxxxxxx 錯解 設且則因為則且所以即以函數(shù)在 上是單調(diào)遞增函數(shù) 2221221g x.,Rg x,xx,111.xxx剖析 上述解法產(chǎn)生錯誤的原因在于沒有弄清函數(shù)的單調(diào)性事實上 在 上函數(shù)不具有單調(diào)

20、性 因此當時 不能推出2221222122212221212122212221212121212212212121221x ,xR,xx ,f xf x(xxx1)( 11)(11)(1)(1)11()()11()(11x)11xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 正解 設且則 2221222122212212221111211212xx ,xx0,xxx0,xxx0,xx0,f xf x0,f xf x.f110111xR1.xxxxxx 因為則而所以所以即所以函數(shù)在 上是單調(diào)遞增函數(shù)技法一技法一復合法復合法2121.3yxx【典例 】求的單調(diào)區(qū)間 2222x2x30,x1x

21、3,tx2x3(t0),yy0,0,tx2x3(, 1),1,1,1,3 ,(3,), 1 ,1,11,11 ,1,3 , 32,.3ttyxx 解由得或令則因為在上為減函數(shù)而在上為減函數(shù) 在上為增函數(shù) 所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為 方法與技巧方法與技巧 復合函數(shù)求單調(diào)區(qū)間是一個難點復合函數(shù)求單調(diào)區(qū)間是一個難點,我們應明確我們應明確單調(diào)區(qū)間必須是定義域的子集單調(diào)區(qū)間必須是定義域的子集,當求單調(diào)區(qū)間時當求單調(diào)區(qū)間時,必須先求必須先求出原復合函數(shù)的定義域出原復合函數(shù)的定義域,再根據(jù)基本函數(shù)的單調(diào)性與再根據(jù)基本函數(shù)的單調(diào)性與“同同為增為增,異為減異為減”的原則判斷復合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的原則判

22、斷復合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.技法二技法二定義法定義法2162yx,.x【典例 】試求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 并指出單調(diào)性2212121212121212122121211x0,x0,x0,61616.1xx ,f xf xxxxxx,xx0,x2.6xxxxxxx xx x解 函數(shù)定義域為設且則令代入得 1212121212112122121212212121,0 , 0,2 , 2,.1xx0,xx0,xxf xf x0,f xf x.f x,0.20 xx2,xx4,0 x x4,xxxx0,f xf x0.f x0,160,16164,02.x xx xx x結合定義域易得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為若則故即所以

23、在上單調(diào)遞減若則所以又所以所以在上單調(diào)遞減 121212112212121216,4,132xx ,xx4,x x4xxxx0,f xf x60.0.f x2,.x xx x若 則所以又所以所以在上單調(diào)遞增 方法與技巧方法與技巧利用函數(shù)單調(diào)性的定義求單調(diào)區(qū)間的關鍵有兩利用函數(shù)單調(diào)性的定義求單調(diào)區(qū)間的關鍵有兩點點:一是對一是對f(x1)-f(x2)要正確變形要正確變形,主要途徑有主要途徑有:因式分解因式分解 配配方方 通分通分 有理化等有理化等;二是利用二是利用x1=x2=x確定函數(shù)增減區(qū)間確定函數(shù)增減區(qū)間的分界點的分界點,劃定區(qū)間劃定區(qū)間.技法三技法三圖象法圖象法【典例典例3】求函數(shù)求函數(shù)f(

24、x)=|1-x2|+x的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間,并指出單調(diào)性并指出單調(diào)性. 2215, 11,24( )15,11.2f4xxxf xxxx 解 把化為 或 ,f x1,),111,1 .22(, 1 作出圖象如圖所示 由圖象易知 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和單調(diào)遞減區(qū)間是和 方法與技巧方法與技巧作函數(shù)圖象時作函數(shù)圖象時,首先是要確定函數(shù)的定義域首先是要確定函數(shù)的定義域,特特別是分段函數(shù)的每一段的自變量的取值范圍別是分段函數(shù)的每一段的自變量的取值范圍,一定要對號一定要對號入座入座.當函數(shù)的表達式較為復雜時當函數(shù)的表達式較為復雜時,要注意討論函數(shù)的性質(zhì)要注意討論函數(shù)的性質(zhì),然后根據(jù)性質(zhì)正確作出函數(shù)的圖象然后根據(jù)性質(zhì)正確作出函數(shù)的圖象.