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1.6 三角函數(shù)模型的簡單應用教學設計 一、教學分析 三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學模型,可以用來研究很多問題,在刻畫周期變化規(guī)律、預測其未來等方面都發(fā)揮著十分重要的作用. 三角函數(shù)模型的簡單應用的設置目的,在于加強用三角函數(shù)模型刻畫周期變化現(xiàn)象的學習.本節(jié)教材通過4個例題,循序漸進地從四個層次來介紹三角函數(shù)模型的應用,在素材的選擇上注意了廣泛性、真實性和新穎性,同時又關注到三角函數(shù)性質(zhì)(特別是周期性)的應用. 通過引導學生解決有一定綜合性和思考水平的問題,培養(yǎng)他們綜合應用數(shù)學和其他學科的知識解決問題的能力.培養(yǎng)學生的建模、分析問題、數(shù)形結(jié)合、抽象概括等能力.由于實際問題常常涉及一些復雜數(shù)據(jù),因此要鼓勵學生利用計算機或計算器處理數(shù)據(jù),包括建立有關數(shù)據(jù)的散點圖,根據(jù)散點圖進行函數(shù)擬合等. 二、教學目標 1、知識與技能： 掌握三角函數(shù)模型應用基本步驟:(1)根據(jù)圖象建立解析式; (2)根據(jù)解析式作出圖象; (3)將實際問題抽象為與三角函數(shù)有關的簡單函數(shù)模型. 2、過程與方法： 選擇合理三角函數(shù)模型解決實際問題，注意在復雜的背景中抽取基本的數(shù)學關系，還要調(diào)動相關學科知識來幫助理解問題。切身感受數(shù)學建模的全過程，體驗數(shù)學在解決實際問題中的價值和作用及數(shù)學和日常生活和其它學科的聯(lián)系。 3、情態(tài)與價值： 培養(yǎng)學生數(shù)學應用意識;提高學生利用信息技術處理一些實際計算的能力。 三、教學重點與難點 教學重點:分析、整理、利用信息,從實際問題中抽取基本的數(shù)學關系來建立三角函數(shù)模型,用三角函數(shù)模型解決一些具有周期變化規(guī)律的實際問題. 教學難點:將某些實際問題抽象為三角函數(shù)的模型,并調(diào)動相關學科的知識來解決問題. 四、教學過程： 三角函數(shù)模型的簡單應用 一、導入新課 思路1.(問題導入)既然大到宇宙天體的運動,小到質(zhì)點的運動以及現(xiàn)實世界中具有周期性變化的現(xiàn)象無處不在,那么究竟怎樣用三角函數(shù)解決這些具有周期性變化的問題？它到底能發(fā)揮哪些作用呢？由此展開新課. 思路2.我們已經(jīng)學習了三角函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì),特別研究了三角函數(shù)的周期性.在現(xiàn)實生活中,如果某種變化著的現(xiàn)象具有周期性,那么是否可以借助三角函數(shù)來描述呢？回憶必修1第三章第二節(jié)“函數(shù)模型及其應用”,面臨一個實際問題,應當如何選擇恰當?shù)暮瘮?shù)模型來刻畫它呢？以下通過幾個具體例子,來研究這種三角函數(shù)模型的簡單應用. 二、推進新課、新知探究、提出問題 ①回憶從前所學,指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的模型都是常用來描述現(xiàn)實世界中的哪些規(guī)律的? ②數(shù)學模型是什么,建立數(shù)學模型的方法是什么? ③上述的數(shù)學模型是怎樣建立的? ④怎樣處理搜集到的數(shù)據(jù)? 活動:師生互動,喚起回憶,充分復習前面學習過的建立數(shù)學模型的方法與過程.對課前已經(jīng)做好復習的學生給予表揚,并鼓勵他們類比以前所學知識方法,繼續(xù)探究新的數(shù)學模型.對還沒有進入狀態(tài)的學生,教師要幫助回憶并快速激起相應的知識方法.在教師的引導下,學生能夠較好地回憶起解決實際問題的基本過程是:收集數(shù)據(jù)→畫散點圖→選擇函數(shù)模型→求解函數(shù)模型→檢驗→用函數(shù)模型解釋實際問題. 這點很重要,學生只要有了這個認知基礎,本節(jié)的簡單應用便可迎刃而解.新課標下的教學要求,不是教師給學生解決問題或帶領學生解決問題,而是教師引領學生逐步登高,在合作探究中自己解決問題,探求新知. 討論結(jié)果:①描述現(xiàn)實世界中不同增長規(guī)律的函數(shù)模型. ②簡單地說,數(shù)學模型就是把實際問題用數(shù)學語言抽象概括,再從數(shù)學角度來反映或近似地反映實際問題時,所得出的關于實際問題的數(shù)學描述.數(shù)學模型的方法,是把實際問題加以抽象概括,建立相應的數(shù)學模型,利用這些模型來研究實際問題的一般數(shù)學方法. ③解決問題的一般程序是: 　1審題:逐字逐句的閱讀題意,審清楚題目條件、要求、理解數(shù)學關系； 2建模:分析題目變化趨勢,選擇適當函數(shù)模型； 3求解:對所建立的數(shù)學模型進行分析研究得到數(shù)學結(jié)論； 4還原:把數(shù)學結(jié)論還原為實際問題的解答. ④畫出散點圖,分析它的變化趨勢,確定合適的函數(shù)模型. 三、應用示例 例1 如圖1, 某地一天從6—14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y=sin(ωx+φ)+b. 圖1 (1)求這一天的最大溫差; (2)寫出這段曲線的函數(shù)解析式. 活動:這道例題是2002年全國卷的一道高考題,探究時教師與學生一起討論.本例是研究溫度隨時間呈周期性變化的問題.教師可引導學生思考,本例給出模型了嗎？給出的模型函數(shù)是什么？要解決的問題是什么？怎樣解決？然后完全放給學生自己討論解決. 題目給出了某個時間段的溫度變化曲線這個模型.其中第(1)小題實際上就是求函數(shù)圖象的解析式,然后再求函數(shù)的最值差.教師應引導學生觀察思考:“求這一天的最大溫差”實際指的是“求6是到14時這段時間的最大溫差”,可根據(jù)前面所學的三角函數(shù)圖象直接寫出而不必再求解析式.讓學生體會不同的函數(shù)模型在解決具體問題時的不同作用.第(2)小題只要用待定系數(shù)法求出解析式中的未知參數(shù),即可確定其解析式.其中求ω是利用半周期(14-6),通過建立方程得解. 解:(1)由圖可知,這段時間的最大溫差是20 ℃. (2)從圖中可以看出,從6—14時的圖象是函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b的半個周期的圖象, ∴A=(30-10)=10,b= (30+10)=20. ∵=14-6, ∴ω=.將x=6,y=10代入上式,解得φ=. 綜上,所求解析式為y=10sin(x+)+20,x∈[6,14]. 點評:本例中所給出的一段圖象實際上只取6—14即可,這恰好是半個周期,提醒學生注意抓關鍵.本例所求出的函數(shù)模型只能近似刻畫這天某個時段的溫度變化情況,因此應當特別注意自變量的變化范圍,這點往往被學生忽略掉. （互動探究）圖5表示的是電流I與時間t的函數(shù)關系 圖5 I=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)在一個周期內(nèi)的圖象. (1)根據(jù)圖象寫出I=Asin(ωx+φ)的解析式; (2)為了使I=Asin(ωx+φ)中的t在任意一段s的時間內(nèi)電流I能同時取得最大值和最小值,那么正整數(shù)ω的最小值為多少? 解:(1)由圖知A=300,第一個零點為(－,0),第二個零點為(,0), ∴ω(－)+φ=0,ω+φ=π.解得ω=100π,φ=,∴I=300sin(100πt+). (2)依題意有T≤,即≤,∴ω≥200π.故ωmin=629.  例2 做出函數(shù)y=|sinx|的圖象并觀察其周期 例3 如圖2,設地球表面某地正午太陽高度角為θ,δ為此時太陽直射緯度,φ為該地的緯度值,那么這三個量之間的關系是θ=90-|φ-δ|.當?shù)叵陌肽軎娜≌?冬半年δ取負值. 如果在北京地區(qū)(緯度數(shù)約為北緯40)的一幢高為h0的樓房北面蓋一新樓,要使新樓一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋,兩樓的距離不應小于多少? 活動: 如圖2本例所用地理知識、物理知識較多,綜合性比較強,需調(diào)動相關學科的知識來幫助理解問題,這是本節(jié)的一個難點.在探討時要讓學生充分熟悉實際背景,理解各個量的含義以及它們之間的數(shù)量關系. 首先由題意要知道太陽高度角的定義:設地球表面某地緯度值為φ,正午太陽高度角為θ,此時太陽直射緯度為δ,那么這三個量之間的關系是θ=90-|φ-δ|.當?shù)叵陌肽軎娜≌?冬半年δ取負值. 根據(jù)地理知識,能夠被太陽直射到的地區(qū)為南、北回歸線之間的地帶,圖形如圖3,由畫圖易知 太陽高度角θ、樓高h0與此時樓房在地面的投影長h之間有如下關系: h0=htanθ. 由地理知識知,在北京地區(qū),太陽直射北回歸線時物體的影子最短,直射南回歸線時物體的影子最長.因此,為了使新樓一層正午的太陽全年不被遮擋,應當考慮太陽直射南回歸線時的情況. 圖3 解:如圖3,A、B、C分別為太陽直射北回歸線、赤道、南回歸線時樓頂在地面上的投影點.要使新樓一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋,應取太陽直射南回歸線的情況考慮,此時的太陽直射緯度－2326′.依題意兩樓的間距應不小于MC. 根據(jù)太陽高度角的定義, 有∠C＝90－|40－(－2326′)|＝2634′, 所以MC＝=≈2.000h0, 即在蓋樓時,為使后樓不被前樓遮擋,要留出相當于樓高兩倍的間距. 點評:本例是研究樓高與樓在地面的投影長的關系問題,是將實際問題直接抽象為與三角函數(shù)有關的簡單函數(shù)模型,然后根據(jù)所得的函數(shù)模型解決問題.要直接根據(jù)圖2來建立函數(shù)模型,學生會有一定困難,而解決這一困難的關鍵是聯(lián)系相關知識,畫出圖3,然后由圖形建立函數(shù)模型,問題得以求解.這道題的結(jié)論有一定的實際應用價值.教學中,教師可以在這道題的基礎上再提出一些問題,如下例的變式訓練,激發(fā)學生進一步探究. 變式訓練 某市的緯度是北緯23,小王想在某住宅小區(qū)買房,該小區(qū)的樓高7層,每層3米,樓與樓之間相距15米.要使所買樓層在一年四季正午太陽不被前面的樓房遮擋,他應選擇哪幾層的房？ 圖4 解:如圖4,由例3知,北樓被南樓遮擋的高度為 h=15tan［90-(23+2326′)］=15tan4334′≈14.26, 由于每層樓高為3米,根據(jù)以上數(shù)據(jù), 所以他應選3層以上. 例4貨船進出港時間問題:海水受日月的引力,在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情況下,船在漲潮時駛進航道,靠近碼頭;卸貨后,在落潮時返回海洋.下面是某港口在某季節(jié)每天的時間與水深關系表: 時刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 水深/米 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 (1)選用一個函數(shù)來近似描述這個港口的水深與時間的函數(shù)關系,給出整點時的水深的近似數(shù)值(精確到0.001). (2)一條貨船的吃水深度(船底與水面的距離)為4米,安全條例規(guī)定至少要有1.5米的安全間隙(船底與洋底的距離),該船何時能進入港口?在港口能呆多久? (3)若某船的吃水深度為4米,安全間隙為1.5米,該船在2:00開始卸貨,吃水深度以每小時0.3米的速度減少,那么該船在什么時間必須停止卸貨,將船駛向較深的水域? 活動:引導學生觀察上述問題表格中的數(shù)據(jù),會發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?比如重復出現(xiàn)的幾個數(shù)據(jù).并進一步引導學生作出散點圖.讓學生自己完成散點圖,提醒學生注意仔細準確觀察散點圖,如圖6.教師引導學生根據(jù)散點的位置排列,思考可以用怎樣的函數(shù)模型來刻畫其中的規(guī)律.根據(jù)散點圖中的最高點、最低點和平衡點,學生很容易確定選擇三角函數(shù)模型.港口的水深與時間的關系可以用形如y=Asin(ωx+φ)+h的函數(shù)來刻畫.其中x是時間,y是水深,我們可以根據(jù)數(shù)據(jù)確定相應的A,ω,φ,h的值即可.這時注意引導學生與“五點法”相聯(lián)系.要求學生獨立操作完成,教師指導點撥,并糾正可能出現(xiàn)的錯誤,直至無誤地求出解析式,進而根據(jù)所得的函數(shù)模型,求出整點時的水深. 圖6 根據(jù)學生所求得的函數(shù)模型,指導學生利用計算器進行計算求解.注意引導學生正確理解題意,一天中有兩個時間段可以進港.這時點撥學生思考:你所求出的進港時間是否符合時間情況？如果不符合,應怎樣修改？讓學生養(yǎng)成檢驗的良好習慣. 在本例(3)中,應保持港口的水深不小于船的安全水深,那么如何刻畫船的安全水深呢？引導學生思考,怎樣把此問題翻譯成函數(shù)模型.求貨船停止卸貨,將船駛向深水域的含義又是什么?教師引導學生將實際問題的意義轉(zhuǎn)化為數(shù)學解釋,同時提醒學生注意貨船的安全水深、港口的水深同時在變,停止卸貨的時間應當在安全水深接近于港口水深的時候. 進一步引導學生思考:根據(jù)問題的實際意義,貨船的安全水深正好等于港口的水深時停止卸貨行嗎？為什么？正確結(jié)論是什么？可讓學生思考、討論后再由教師組織學生進行評價.通過討論或爭論,最后得出一致結(jié)論:在貨船的安全水深正好等于港口的水深時停止卸貨將船駛向較深水域是不行的,因為這樣不能保證貨船有足夠的時間發(fā)動螺旋槳. 解:(1)以時間為橫坐標,水深為縱坐標,在直角坐標系中畫出散點圖(圖6). 根據(jù)圖象,可以考慮用函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+h刻畫水深與時間之間的對應關系.從數(shù)據(jù)和圖象可以得出: A＝2.5,h＝5,T＝12,φ＝0, 由T＝＝12,得ω＝. 所以這個港口的水深與時間的關系可用y＝2.5sinx+5近似描述. 由上述關系式易得港口在整點時水深的近似值: 時刻 0:00 1:00 2:00 3:00 4:00 5:00 6:00 7:00 8:00 9:00 10:00 11:00 水深 5.000 6.250 7.165 7.5 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754 時刻 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00 水深 5.000 6.250 7.165 7.5 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754 (2)貨船需要的安全水深為4+1.5＝5.5(米),所以當y≥5.5時就可以進港. 令2.5sinx+5=5.5,sinx=0.2. 由計算器可得 MODE MODE 2 SHIFT sin-1 0.2 = 0.201 357 92≈0.201 4. 如圖7,在區(qū)間[0,12]內(nèi),函數(shù)y＝2.5sinx+5的圖象與直線y＝5.5有兩個交點A、B, 圖7 因此x≈0.201 4,或π－x≈0.201 4. 解得xA≈0.384 8,xB≈5.615 2. 由函數(shù)的周期性易得:xC≈12+0.384 8＝12.384 8,xD≈12+5.615 2＝17.615 2. 因此,貨船可以在0時30分左右進港,早晨5時30分左右出港;或在中午12時30分左右進港,下午17時30分左右出港.每次可以在港口停留5小時左右. 圖8 (3)設在時刻x貨船的安全水深為y,那么y=5.5-0.3(x-2)(x≥2).在同一坐標系內(nèi)作出這兩個函數(shù)的圖象,可以看到在6—7時之間兩個函數(shù)圖象有一個交點(如圖8). 通過計算也可以得到這個結(jié)果.在6時的水深約為5米,此時貨船的安全水深約為4.3米;6.5時的水深約為4.2米,此時貨船的安全水深約為4.1米;7時的水深約為3.8米,而貨船的安全水深約為4米.因此為了安全,貨船最好在6.5時之前停止卸貨,將船駛向較深的水域. 點評:本例是研究港口海水深度隨時間呈周期性變化的問題,題目只給出了時間與水深的關系表,要想由此表直接得到函數(shù)模型是很困難的.對第(2)問的解答,教師引導學生利用計算器進行計算求解.同時需要強調(diào),建立數(shù)學模型解決實際問題,所得的模型是近似的,并且得到的解也是近似的.這就需要根據(jù)實際背景對問題的解進行具體的分析.如本例中,一天中有兩個時間段可以進港,教師應引導學生根據(jù)問題的實際意義,對答案的合理性作出解釋. 四、課堂小結(jié) 1.本節(jié)課學習了三個層次的三角函數(shù)模型的應用,即根據(jù)圖象建立解析式,根據(jù)解析式作出圖象,將實際問題抽象為與三角函數(shù)有關的簡單函數(shù)模型.你能概括出建立三角函數(shù)模型解決實際問題的基本步驟嗎？ 2.實際問題的背景往往比較復雜,而且需要綜合應用多學科的知識才能解決它.因此,在應用數(shù)學知識解決實際問題時,應當注意從復雜的背景中抽取基本的數(shù)學關系,還要調(diào)動相關學科知識來幫助理解問題. 課后作業(yè)： 1.課本P65練習1,2,3. 2.搜集、歸納、分類現(xiàn)實生活中周期變化的情境模型. 解:如以下兩例: ①人體內(nèi)部的周期性節(jié)律變化和個人的習慣性的生理變化,如人體脈搏、呼吸、排泄、體溫、睡眠節(jié)奏、饑餓程度等； ②蛻皮(tuipi)昆蟲綱和甲殼綱等節(jié)肢動物,以及線形動物等的體表具有堅硬的幾丁質(zhì)層,雖有保護身體的作用,但限制動物的生長、發(fā)育.因此,在胚后發(fā)育過程中,必須進行1次或數(shù)次脫去舊表皮,再長出寬大的新表皮后,才變成成蟲,這種現(xiàn)象稱為蛻皮；蛻下的“舊表皮”稱為“蛻”,只有這樣,蟲體才能得以繼續(xù)充分生長、發(fā)育.蛻皮現(xiàn)象的發(fā)生具有周期性,但蛻皮的準備和蛻皮過程是連續(xù)進行的.此外,脊椎動物爬行類的蛻皮現(xiàn)象尤為明顯,如蜥蜴和蛇具有雙層角質(zhì)層,其外層在定期蛻皮時脫掉,蛇的外層角質(zhì)層連同眼球外面透明的皮膚,約每2個月為一個周期可完整地脫落1次,稱為蛇蛻.