《高中數(shù)學 第二講 反證法與放縮法課件 新人教A版選修45》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學 第二講 反證法與放縮法課件 新人教A版選修45（43頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、三 反證法與放縮法1.1.反證法反證法. .先假設(shè)先假設(shè)_，以此為出發(fā)點，結(jié)合已知條件，以此為出發(fā)點，結(jié)合已知條件，應(yīng)用應(yīng)用_等，進行正確的推理，得到和等，進行正確的推理，得到和_(_(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實等或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實等) )矛矛盾的結(jié)論，以說明假設(shè)不正確，從而證明盾的結(jié)論，以說明假設(shè)不正確，從而證明_，我們，我們把它稱為反證法把它稱為反證法. .要證的命題不成立要證的命題不成立公理、定義、定理、性質(zhì)公理、定義、定理、性質(zhì)原命題成立原命題成立命題的條件命題的條件2.2.放縮法放縮法. .證明不等式時，通過把不等式中的某些部分的值證明不等式時，通過把不等

2、式中的某些部分的值_或或_，簡化不等式，從而達到證明的目的，我們把這種方法，簡化不等式，從而達到證明的目的，我們把這種方法稱為放縮法稱為放縮法. . 放大放大縮小縮小1.1.用反證法證明時，導(dǎo)出矛盾有哪幾種可能？用反證法證明時，導(dǎo)出矛盾有哪幾種可能？提示：提示：(1)(1)與原命題的條件矛盾與原命題的條件矛盾. .(2)(2)與假設(shè)矛盾與假設(shè)矛盾. .(3)(3)與定義、公理、定理、性質(zhì)矛盾與定義、公理、定理、性質(zhì)矛盾. .(4)(4)與客觀事實矛盾與客觀事實矛盾. .2.2.用反證法證明命題用反證法證明命題“若若p p則則q”q”時，時，q q假，假，q q即為真嗎？即為真嗎？提示：提示：是

3、的是的. .在證明數(shù)學問題時，要證明的結(jié)論要么正確，要在證明數(shù)學問題時，要證明的結(jié)論要么正確，要么錯誤，二者中居其一，么錯誤，二者中居其一，q q是是q q的反面，若的反面，若q q為假，則為假，則q q必必為真為真. .3.3.設(shè)設(shè)a,ba,b是兩個實數(shù)，給出下列條件：是兩個實數(shù)，給出下列條件：(1)a+b(1)a+b1.(2)a+b=2.(3)a+b1.(2)a+b=2.(3)a+b2.(4)a2.(4)a2 2+b+b2 22.(5)ab2.(5)ab1 1，其，其中能推出中能推出“a,ba,b中至少有一個大于中至少有一個大于1”1”的條件是的條件是_(_(填序號填序號).).【解析【解

4、析】(1)(1)可取可取a=0.5,b=0.6,a=0.5,b=0.6,故不正確故不正確.(2)a+b=2.(2)a+b=2，可取，可取a=1,b=1,a=1,b=1,故不正確故不正確.(3)a+b2,.(3)a+b2,則則a,ba,b中至少有一個大于中至少有一個大于1 1，正，正確確.(4)a.(4)a2 2+b+b2 22,2,可取可取a=-2,b=-1a=-2,b=-1，故不正確，故不正確.(5)ab1,.(5)ab1,可取可取a=-2,b=-1a=-2,b=-1，故不正確，故不正確. .答案：答案：(3)(3)1.1.常見的涉及反證法的文字語言及其相對應(yīng)的否定假設(shè)常見的涉及反證法的文字

5、語言及其相對應(yīng)的否定假設(shè)對某些數(shù)學語言的否定假設(shè)要準確，以免造成原則性的錯誤對某些數(shù)學語言的否定假設(shè)要準確，以免造成原則性的錯誤. .常見常見詞語詞語至少有至少有一個一個至多有至多有一個一個唯一唯一一個一個不不是是不可不可能能全全都是都是否定否定假設(shè)假設(shè)一個也一個也沒有沒有有兩個或有兩個或兩個以上兩個以上沒有或有沒有或有兩個或兩個或兩個以上兩個以上是是有或有或存在存在不不全全不都不都是是2.2.放縮法證明不等式的理論依據(jù)放縮法證明不等式的理論依據(jù)(1)(1)不等式的傳遞性不等式的傳遞性. .(2)(2)等量加不等量為不等量等量加不等量為不等量. .(3)(3)同分子同分子( (分母分母) )異

6、分母異分母( (分子分子) )的兩個分式大小的比較的兩個分式大小的比較. .類型類型 一一 用反證法證明否定性問題用反證法證明否定性問題 【典型例題【典型例題】1.1.否定否定“自然數(shù)自然數(shù)a,b,ca,b,c不都是偶數(shù)不都是偶數(shù)”時，正確的假設(shè)為時，正確的假設(shè)為_._.2.2.已知三個正數(shù)已知三個正數(shù)a,b,ca,b,c成等比數(shù)列，但不成等差數(shù)列成等比數(shù)列，但不成等差數(shù)列. .求證：求證： 不成等差數(shù)列不成等差數(shù)列. .【解題探究【解題探究】1.“1.“不都是不都是”的否定是什么？的否定是什么？2.2.題題2 2中，中，“ “ 不成等差數(shù)列不成等差數(shù)列”的反面是什么？的反面是什么？a, b,

7、 ca, b, c探究提示：探究提示：1.1.不都是的否定是不都是的否定是“都是都是”. .2.“ 2.“ 不成等差數(shù)列不成等差數(shù)列”的反面是的反面是“ “ 成等差數(shù)成等差數(shù)列列”. .【解析【解析】1.“1.“自然數(shù)自然數(shù)a,b,ca,b,c不都是偶數(shù)不都是偶數(shù)”的否定是的否定是“自然數(shù)自然數(shù)a,b,ca,b,c都是偶數(shù)都是偶數(shù)”. .答案：答案：自然數(shù)自然數(shù)a,b,ca,b,c都是偶數(shù)都是偶數(shù)a, b, ca, b, c2.2.假設(shè)假設(shè) 成等差數(shù)列，則成等差數(shù)列，則 即即又三個正數(shù)又三個正數(shù)a,b,ca,b,c成等比數(shù)列，所以成等比數(shù)列，所以b b2 2=ac=ac，即，即 所以所以 即即

8、所以所以 所以所以 即即a=c.a=c.從而從而a=b=ca=b=c，這與已知中，這與已知中a,b,ca,b,c不成等差數(shù)列矛盾，不成等差數(shù)列矛盾，所以原假設(shè)錯誤，故所以原假設(shè)錯誤，故 不成等差數(shù)列不成等差數(shù)列. .a, b, cac2 b，ac2 ac4b ，bac.ac2 ac4 ac ，ac2 ac0，2( ac)0，ac，a, b, c【拓展提升【拓展提升】用反證法證明的一般步驟用反證法證明的一般步驟(1)(1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立. .(2)(2)從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛

9、盾. .(3)(3)由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確. .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】如果如果a ab b0 0，求證：，求證：【證明【證明】假設(shè)假設(shè) 不成立，則不成立，則若若 則則a=ba=b，與已知，與已知a ab b矛盾，矛盾，若若 則則a ab b，與已知，與已知a ab b矛盾，矛盾，故假設(shè)不成立，結(jié)論故假設(shè)不成立，結(jié)論 成立成立. .ab.abab.ab，ab，ab類型類型 二二 用反證法證用反證法證“至多至多”“”“至少至少”型問題型問題 【典型例題【典型例題】1.1.若二次函數(shù)若二次函數(shù)f(xf(x)=4x)=4x2 2-2(p

10、-2)x-2p-2(p-2)x-2p2 2-p+1-p+1在區(qū)間在區(qū)間-1-1，1 1內(nèi)內(nèi)至少有一個值至少有一個值c,c,使使 f(cf(c) )0 0，則實數(shù)，則實數(shù)p p的取值范圍是的取值范圍是_._.2.2.已知已知a,b,c,dRa,b,c,dR，且，且a+b=c+da+b=c+d=1=1，ac+bdac+bd1.1.求證：求證：a,b,c,da,b,c,d中至少有一個是負數(shù)中至少有一個是負數(shù). .【解題探究【解題探究】1.“1.“若函數(shù)若函數(shù)f(xf(x) )在在-1,1-1,1內(nèi)至少有一個值內(nèi)至少有一個值c c，使使f(cf(c) )0”0”的反設(shè)是什么？的反設(shè)是什么？2.“a,b

11、,c,d2.“a,b,c,d中至少有一個是負數(shù)中至少有一個是負數(shù)”的反面是什么？的反面是什么？探究提示：探究提示：1.f(x)1.f(x)在在-1,1-1,1內(nèi)不存在值內(nèi)不存在值c,c,使使f(cf(c) )0.0.2.“a,b,c,d2.“a,b,c,d中至少有一個是負數(shù)中至少有一個是負數(shù)”的反面是的反面是“a,b,c,da,b,c,d都是都是非負數(shù)非負數(shù)”. .【解析【解析】1.1.假設(shè)在假設(shè)在-1-1，1 1內(nèi)沒有值滿足內(nèi)沒有值滿足f(cf(c) )0,0,則則 所以所以所以所以p-3p-3或或p p ，取補集為，取補集為答案：答案： f10,f 10,1pp1,23p3p,2 或或3p

12、( 3, ).2 3( 3, )2322.2.假設(shè)假設(shè)a,b,c,da,b,c,d都是非負數(shù)，都是非負數(shù)，因為因為a+b=c+da+b=c+d=1=1，所以，所以(a+b)(c+d(a+b)(c+d)=1.)=1.而而(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bdac+bd(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bdac+bd, ,所以所以ac+bd1.ac+bd1.這與這與ac+bdac+bd1 1矛盾，所以假設(shè)不成立矛盾，所以假設(shè)不成立, ,故故a,b,c,da,b,c,d中至少有一個是負數(shù)中至少有一個是負數(shù). .【互動探究【互動探究】若將題若將題1 1中中“f(cf(c) )0”0”改為改

13、為“f(cf(c) )0”,0”,求實求實數(shù)數(shù)p p的取值范圍的取值范圍. .【解析【解析】假設(shè)在假設(shè)在 內(nèi)沒有值滿足內(nèi)沒有值滿足f(cf(c) )0 0，即在即在-1,1-1,1內(nèi)的所有值都有內(nèi)的所有值都有f(c)0,f(c)0,由對稱軸由對稱軸當當 即即p-2p6p6時，需時，需f(1)0f(1)0，即，即4-2(p-2)-2p4-2(p-2)-2p2 2-p+10,-p+10,解得解得- - 此時無解此時無解, ,綜上所述，綜上所述，p p的取值范圍是的取值范圍是p=0.p=0.取補集為取補集為p|p0.p|p0.所以所以p p的取值范圍為的取值范圍為p|p0.p|p0.p2114 p2

14、f()0,4p214 ，33p2，【拓展提升【拓展提升】“至多至多”“”“至少至少”型問題的證明方法型問題的證明方法 在證明中含有在證明中含有“至多至多”“”“至少至少”“”“最多最多”等字眼時，若等字眼時，若正面難以找到解題的突破口正面難以找到解題的突破口, ,可轉(zhuǎn)換視角可轉(zhuǎn)換視角, ,用反證法證明用反證法證明. .在用在用反證法證明的過程中反證法證明的過程中, ,由于作出了與結(jié)論相反的假設(shè)由于作出了與結(jié)論相反的假設(shè), ,相當于相當于增加了題設(shè)條件增加了題設(shè)條件, ,因此在證明過程中必須使用這個增加的條件因此在證明過程中必須使用這個增加的條件, ,否則將無法推出矛盾否則將無法推出矛盾. .【

15、變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】1.(20131.(2013臺州高二檢測臺州高二檢測) )用反證法證明用反證法證明“方程方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)至多有兩個解至多有兩個解”的假設(shè)中，正確的是的假設(shè)中，正確的是( )( )A.A.至多有一個解至多有一個解 B.B.有且只有兩個解有且只有兩個解C.C.至少有三個解至少有三個解 D.D.至少有兩個解至少有兩個解【解析【解析】選選C.C.因為要用反證法證明命題，只需要對結(jié)論加以否因為要用反證法證明命題，只需要對結(jié)論加以否定即可，因此正確的是至少有三個解，選定即可，因此正確的是至少有三個解，選C.C.2.2.已知已知f(xf(x)

16、=x)=x2 2+bx+c,+bx+c,求證：求證：|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有中至少有一個不小于一個不小于 . .【解題指南【解題指南】本題是一個本題是一個“至少至少”型的問題型的問題, ,用反證法證明較用反證法證明較簡單簡單.“.“不小于不小于”的否定是的否定是“小于小于”，問題轉(zhuǎn)化為三個絕對值，問題轉(zhuǎn)化為三個絕對值的式子小于的式子小于 同時成立，解絕對值不等式組，判斷是否能推同時成立，解絕對值不等式組，判斷是否能推出一個矛盾結(jié)論出一個矛盾結(jié)論. .1212【證明【證明】方法一：假設(shè)方法一：假設(shè) 則則 與與矛盾矛盾. .所以假設(shè)不成

17、立所以假設(shè)不成立, ,所以所以|f(1)|f(1)|，|f(2)|f(2)|，|f(3)|f(3)|中至少有一個不小于中至少有一個不小于 . .111f(1), f(2), f(3),2221311bcbc22219742bc2bc2221191793bc3bc222 ，1192bc22 12方法二：假設(shè)方法二：假設(shè)|f(1)|f(1)|，|f(2)|f(2)|，|f(3)|f(3)|都小于都小于 , ,則則|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|2,|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|2,而而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|f(1)+f(3)-2f(2)|f(1)|+2|f

18、(2)|+|f(3)|f(1)+f(3)-2f(2)|f(1)+f(3)-2f(2)=(1+b+c)+(9+3b+c)-2(4+2b+c)=2f(1)+f(3)-2f(2)=(1+b+c)+(9+3b+c)-2(4+2b+c)=2，兩式顯然矛盾兩式顯然矛盾, ,所以假設(shè)不成立所以假設(shè)不成立. .所以所以|f(1)|f(1)|，|f(2)|f(2)|，|f(3)|f(3)|中至少有一個不小于中至少有一個不小于 . .1212類型類型 三三 放縮法證明不等式放縮法證明不等式 【典型例題【典型例題】1.1.已知已知 (n(n是大于是大于2 2的自然的自然數(shù)數(shù)) )，則有，則有 ( )( )A.SA.

19、S1 B.21 B.2S S3 3C.1C.1S S2 D.32 D.3S S4 42.2.證明證明111S11 21 2 31 2 3n 11112 n nN .23n【解題探究【解題探究】1.1.題題1 1分式如何放縮？分式如何放縮？2.2.題題2 2能否用等差能否用等差( (或等比或等比) )數(shù)列求和來解答？數(shù)列求和來解答？探究提示：探究提示：1.1.分母縮小，分子不變分母縮小，分子不變. .2.2.它既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，所以不能用數(shù)列求它既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，所以不能用數(shù)列求和來解答和來解答. .【解析【解析】1.1.選選C.C.由由得得又因為又因為 故選故選C.

20、C.k 1111,1 2 3k1 2 222 1111S11 21 2 31 2 3n n23n 1n 111111112122.1222221211S11.1 21 2 3n 2.2.因為因為所以所以則有：則有：將這些式子相加可得將這些式子相加可得11kk 1kk 12 k，12( kk 1)k1,2,3,n,k ，112( 10)2( 21)12，112( 32)2( nn 1),3n， ，11112 n(nN).23n【拓展提升【拓展提升】放縮法證明不等式的技巧放縮法證明不等式的技巧 放縮法就是將不等式的一邊放大或縮小，尋找一個中間放縮法就是將不等式的一邊放大或縮小，尋找一個中間量，如將

21、量，如將A A放大成放大成C C，即，即A AC C，后證，后證C CB.B.常用的放縮技巧有：常用的放縮技巧有：(1)(1)舍掉舍掉( (或加進或加進) )一些項一些項. .(2)(2)在分式中放大在分式中放大( (或縮小或縮小) )分子分子( (或分母或分母).).(3)(3)應(yīng)用基本不等式進行放縮應(yīng)用基本不等式進行放縮. .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】已知已知求證：求證：【證明【證明】因為因為所以所以nnnnn12n2a42 ,Taaa，123n3TTTT.2123n12n12naaa4444(222 )nnnn4(14 )2(12 )4(41)2(12 ),14123nnnn 1nnn 12

22、2T444(41)2(12 )22333nnn 1n 1nn 123 24243 22233從而從而nnn2nnn32322 2 (2 )3 212 (2 21)(21)nn 1311().2 2121123nnn 13111113TTTT(1).233721212【規(guī)范解答【規(guī)范解答】放縮法證明不等式放縮法證明不等式【典例【典例】(12(12分分) ) 【條件分析【條件分析】 【規(guī)范解答【規(guī)范解答】因為因為 . . 5 5分分22222y3yyxxyy(x)y(x)x2422同理，同理，8 8分分由于由于x,y,zx,y,z不全為零，故上述三式中至少有一個取不到等號，不全為零，故上述三式中至

23、少有一個取不到等號，所以三式相加得所以三式相加得 1212分分 22zyyzzy2，222222xxyyyyzzzzxxyzx(x)(y)(z)2223(xyz).222xzzxxz.2【失分警示【失分警示】【防范措施【防范措施】正確利用放縮法證明不等式正確利用放縮法證明不等式放縮法原理很簡單，但技巧性較強且有時還會有放縮法原理很簡單，但技巧性較強且有時還會有“危險危險”，因為放大或縮小過頭，就會出現(xiàn)錯誤的結(jié)論，而達不到預(yù)期因為放大或縮小過頭，就會出現(xiàn)錯誤的結(jié)論，而達不到預(yù)期的目的，因此在使用放縮法時，應(yīng)注意放縮的的目的，因此在使用放縮法時，應(yīng)注意放縮的“度度”. .如本例如本例中中處的放縮處

24、的放縮. .【類題試解【類題試解】設(shè)設(shè) 求證：求證：不等式不等式 對所有的正整數(shù)對所有的正整數(shù)n n都成立都成立. .【證明【證明】因為因為且且所以所以 對所有的正整數(shù)對所有的正整數(shù)n n都成立都成立. . nS1 22 3n(n1),2nn(n1)(n1)S22222nn(n1)S12n12n.2 1223nn1352n1Sn22222221352n1(n1).222222nn(n1)(n1)S221.1.應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過程中要把下列哪些作為條件應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過程中要把下列哪些作為條件使用使用 ( )( )結(jié)論的否定；結(jié)論的否定；已知條件；已知條件；公理、定理、定義等；公

25、理、定理、定義等；原原結(jié)論結(jié)論. .A.A. B. B. C. C. D. D.【解析【解析】選選C.C.由反證法的基本思想可知由反證法的基本思想可知C C正確正確. .2.2.用反證法證明命題用反證法證明命題“三角形的三個內(nèi)角中至少有一個大于三角形的三個內(nèi)角中至少有一個大于等于等于6060”時，反設(shè)正確的是時，反設(shè)正確的是 ( )( )A.A.三個內(nèi)角都小于三個內(nèi)角都小于6060B.B.三個內(nèi)角都大于三個內(nèi)角都大于6060C.C.三個內(nèi)角中至多有一個大于三個內(nèi)角中至多有一個大于6060D.D.三個內(nèi)角中至多有兩個大于三個內(nèi)角中至多有兩個大于6060【解析【解析】選選A.“A.“至少有一個至少

26、有一個”的否定是的否定是“一個都沒有一個都沒有”，則，則反設(shè)為反設(shè)為“三個內(nèi)角都小于三個內(nèi)角都小于6060”.”.3.3.設(shè)設(shè) 則則 ( )( )A.M=1 B.MA.M=1 B.M1 1C.MC.M1 D.M1 D.M與與1 1大小關(guān)系不定大小關(guān)系不定【解析【解析】選選B.B.分母全換成分母全換成2 21010，共有，共有2 21010項，即項，即101010111111M2212221，101010111111M2212221，101010101010111121.222224.4.用反證法證明用反證法證明“一個三角形不能有兩個直角一個三角形不能有兩個直角”有三個步驟：有三個步驟：A+B+

27、C=90A+B+C=90+90+90+C+C180180，這與三角形內(nèi)角和為，這與三角形內(nèi)角和為180180矛盾，故假設(shè)錯誤矛盾，故假設(shè)錯誤. .所以一個三角形不能有兩個直角所以一個三角形不能有兩個直角. .假設(shè)假設(shè)ABCABC中有兩個直角，不妨設(shè)中有兩個直角，不妨設(shè)A=90A=90，B=90B=90. .上述步驟的正確順序為上述步驟的正確順序為_._.【解析【解析】由反證法的一般步驟可知，此題的正確順序是由反證法的一般步驟可知，此題的正確順序是. .答案：答案：5. 5. 與與n(nNn(nN+ +) )的大小關(guān)系是的大小關(guān)系是_._.【解析【解析】答案：答案：111A123n 111111nA1n.23nnnnn An6.6.設(shè)設(shè)a,b,cRa,b,cR，且，且a+b+ca+b+c=0=0，求證：，求證：ab+bc+ca0.ab+bc+ca0.【證明【證明】假設(shè)命題不成立，則假設(shè)命題不成立，則ab+bc+caab+bc+ca0 0，進而，進而2ab+2bc+2ca2ab+2bc+2ca0 0，又，又a a2 2+b+b2 2+c+c2 20,0,所以所以(a+b+c)(a+b+c)2 20 0，與，與a+b+ca+b+c=0=0相矛盾相矛盾, ,所以原命題成立所以原命題成立. .