《安徽省合肥市龍崗中學(xué)八年級數(shù)學(xué)下冊 第十八章《18.1 勾股定理》課件 （新版）滬科版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《安徽省合肥市龍崗中學(xué)八年級數(shù)學(xué)下冊 第十八章《18.1 勾股定理》課件 （新版）滬科版（48頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、勾勾股股弦弦18.1 18.1 勾股定理勾股定理 受臺風(fēng)麥莎影響，一棵樹在離地面受臺風(fēng)麥莎影響，一棵樹在離地面4米米處斷裂，樹的頂部落在離樹跟底部處斷裂，樹的頂部落在離樹跟底部3米處，米處，這棵樹這棵樹折斷前折斷前有多高？有多高？4米米3米米 畢達(dá)哥拉斯畢達(dá)哥拉斯(公元前公元前572-前前492年年),古希臘著名古希臘著名的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家。天文學(xué)家。 相傳相傳25002500年前，一次，畢年前，一次，畢達(dá)哥拉斯去朋友家作客在宴達(dá)哥拉斯去朋友家作客在宴席上他看著朋友家的方磚地面席上他看著朋友家的方磚地面發(fā)起呆來主人覺得非常奇怪，發(fā)起呆來主人覺得非常奇怪，就想過去問他誰

2、知畢達(dá)哥拉就想過去問他誰知畢達(dá)哥拉斯突然恍然大悟的樣子，站起斯突然恍然大悟的樣子，站起來，大笑著跑回家去了來，大笑著跑回家去了. .后來知后來知道是因?yàn)樗麖闹邪l(fā)現(xiàn)了直角三道是因?yàn)樗麖闹邪l(fā)現(xiàn)了直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系，趕著回角形三邊的數(shù)量關(guān)系，趕著回家證明去了。家證明去了。 那么，他朋友家的地板到底那么，他朋友家的地板到底是怎樣呢？我們也觀察一下看看是怎樣呢？我們也觀察一下看看能發(fā)現(xiàn)什么？能發(fā)現(xiàn)什么？A、B、C的面積有什么關(guān)系？的面積有什么關(guān)系？ 如果用三角形的邊長表示如果用三角形的邊長表示正方形面積，你會發(fā)現(xiàn)等腰直正方形面積，你會發(fā)現(xiàn)等腰直角三角形三邊有什么關(guān)系？角三角形三邊有什么關(guān)系？SA+

3、SB=SC 等腰直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方等腰直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 將等腰直角三角形變換為一個一般直角三角形，上將等腰直角三角形變換為一個一般直角三角形，上述結(jié)論是否依然成立？述結(jié)論是否依然成立？ ab bc ca2 + b2 = c2AC CB BABCABCA的的面積面積B的的面積面積C的的面積面積圖圖1圖圖2A、B、C面積面積關(guān)系關(guān)系直角三直角三角形三角形三邊關(guān)系邊關(guān)系圖圖1圖圖2491392534sA+sB=sC兩直角邊的平方和兩直角邊的平方和等于斜邊的平方等于斜邊的平方分別算出圖中各正方形的面積，看看能得出什么結(jié)論？分別算出圖中各正方形的面積，看看能

4、得出什么結(jié)論？ 設(shè)：直角三角形的設(shè)：直角三角形的三邊長分別是三邊長分別是a、b b、c c，猜想猜想: :兩直角邊兩直角邊a、b b與與斜邊斜邊c c 之間的關(guān)系？之間的關(guān)系？ab ba2 2+b+b2 2=c=c2 2每個小方格的面積均為每個小方格的面積均為1c c(1)(2)(3)(4)bCa 利用準(zhǔn)備好的四個全等的直利用準(zhǔn)備好的四個全等的直角三角形，角三角形，a、b b表示兩條直角邊，表示兩條直角邊， c c表示斜邊。表示斜邊。動手實(shí)踐動手實(shí)踐：這四個全等的直這四個全等的直角三角形可以拼成一個正方角三角形可以拼成一個正方形嗎？有些什么不同的方法？形嗎？有些什么不同的方法？ 思考：拼出的正

5、方形面思考：拼出的正方形面積用含積用含a、b、c的式子可以的式子可以怎么表示？怎么表示？能得到我們要證明的結(jié)論嗎？能得到我們要證明的結(jié)論嗎？cabcabcabcab方法一方法一a2 + b2 = c2(1)(2)(3)(4)bCa 大正方形的面積可以大正方形的面積可以如何表示？如何表示？ccccba方方 法法 二二a(1)(2)(3)(4)abca2 + b2 = c2b 大正方形的面積可以大正方形的面積可以如何表示？如何表示？ 這個圖案公元這個圖案公元 3 3 世紀(jì)我世紀(jì)我國漢代的趙爽在注解國漢代的趙爽在注解周髀周髀算經(jīng)算經(jīng)時就已經(jīng)給出，人們時就已經(jīng)給出，人們稱它為稱它為“趙爽弦圖趙爽弦圖”

6、趙爽趙爽根據(jù)此圖指出：四個全等的根據(jù)此圖指出：四個全等的直角三角形（紅色）可以如直角三角形（紅色）可以如圖圍成一個大正方形，中間圖圍成一個大正方形，中間的部分是一個小正方形的部分是一個小正方形 （黃色）（黃色）趙爽弦圖趙爽弦圖aabbcc有趣的總統(tǒng)證法有趣的總統(tǒng)證法: 美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的證法在美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的證法在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話數(shù)學(xué)史上被傳為佳話 )ba)(ba(21S 梯梯形形2212121cababS梯形a2 + b2 = c2 在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為勾，下半部分稱為股。我國古代學(xué)者把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，

7、斜邊稱為“弦”.勾勾股股勾股勾股定理定理 如果如果直角三角形直角三角形兩直角邊分別為兩直角邊分別為a、b,斜邊為斜邊為c，那么，那么 即即:直角三角形兩直角邊的平方和等于直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。斜邊的平方。 在西方又稱在西方又稱畢達(dá)哥拉畢達(dá)哥拉斯定理斯定理！a2 + b2 = c2CBA勾股定理給出了直角三角形三邊之間的勾股定理給出了直角三角形三邊之間的關(guān)系，即兩直角邊的平方和等于斜邊的平方關(guān)系，即兩直角邊的平方和等于斜邊的平方cba公式變形公式變形c2=a2 + b2a2=c2b2b2 =c2-a2acb22cab22b=c2-a2 受臺風(fēng)麥莎影響，一棵樹在離地面受臺風(fēng)麥莎

8、影響，一棵樹在離地面4米米處斷裂，樹的頂部落在離樹跟底部處斷裂，樹的頂部落在離樹跟底部3米處，米處，這棵樹這棵樹折斷前折斷前有多高？有多高？4米米3米米 已知直角三角形任意兩邊求第三邊已知直角三角形任意兩邊求第三邊勾股定理有什么作用呢？勾股定理有什么作用呢？一定要在一定要在直角三角形直角三角形中哦！中哦！ 1.1.在在ABCABC中中, C=90, C=90，a =6,c=10,=6,c=10, 則則b=_b=_82、 ABC中，C=90若a=3cm, b=4cm,則c= _cm若a=12cm, c=13cm,則b= _ cm若c=17cm, a =8cm,則b= _ cm5515C CB B

9、A A18.1 勾股定理勾股定理1 1、 勾股定理是幾何中最重要的定理之一，勾股定理是幾何中最重要的定理之一，它揭示了它揭示了直角三角形直角三角形三邊之間三邊之間的數(shù)量關(guān)系的數(shù)量關(guān)系. .2 2、勾股定理勾股定理： 直角三角形兩直角邊直角三角形兩直角邊a、b b的平方和，的平方和， 等于斜邊等于斜邊c c的平方的平方: : 。 3 3、勾股定理的勾股定理的主要作用主要作用是是 ：在直角三角形：在直角三角形中中, ,已知任意兩邊求第三邊的長。已知任意兩邊求第三邊的長。a2 + b2 = c2 4 4、我們利用、我們利用“面積法面積法”證明勾股定理，這體證明勾股定理，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中現(xiàn)了數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)

10、合數(shù)形結(jié)合的思想。的思想。判斷題：判斷題： 直角三角形三邊分別為直角三角形三邊分別為 a, b, c ，則一，則一定滿足下面的式子：定滿足下面的式子： a2+b2 =c2 ( ) . . 直角三角形的兩邊長分別是直角三角形的兩邊長分別是3和和4，則，則第三邊長是第三邊長是5. ( ) cab1、如圖已知、如圖已知a3，b4 求求c=?2、如圖已知：、如圖已知： c 10，a6， 求求b=?3、如圖已知：、如圖已知： c 13，a5， 求陰影部分面積？求陰影部分面積？l運(yùn)用勾股定理時應(yīng)注意： 在直角三角形中，認(rèn)準(zhǔn)直角邊和斜邊；在直角三角形中，認(rèn)準(zhǔn)直角邊和斜邊； 兩直角邊的平方和等于兩直角邊的平方

11、和等于斜邊斜邊的平方。的平方。ac4 4、在、在 ABCABC中中, C=90, C=90, ,若若AC=6,CB=8,AC=6,CB=8,則則 ABCABC面積為面積為_,_,斜邊為上的高為斜邊為上的高為_._.244.8151205 5、已知：、已知：ABCABC，ABABACAC1717，BCBC1616，則高，則高ADAD，S SABCABC. .BCAD 小明的媽媽買了一部小明的媽媽買了一部29英寸（英寸（74厘米）的厘米）的電視機(jī)。小明量了電視機(jī)的屏幕后，發(fā)現(xiàn)屏電視機(jī)。小明量了電視機(jī)的屏幕后，發(fā)現(xiàn)屏幕只有幕只有58厘米長和厘米長和46厘米寬，他覺得一定是厘米寬，他覺得一定是售貨員搞

12、錯了。你能解釋這是為什么嗎？售貨員搞錯了。你能解釋這是為什么嗎？ 我們通常所說的我們通常所說的29英寸或英寸或74厘米的電視厘米的電視機(jī)，是指其熒屏對角機(jī)，是指其熒屏對角線的長度線的長度售貨員沒搞錯售貨員沒搞錯想一想想一想熒屏對角線大約為熒屏對角線大約為74厘米厘米582 + 462 = 5480即即 742 = 54763 1 1、如圖，學(xué)校有一塊長方形花園，有極、如圖，學(xué)校有一塊長方形花園，有極少數(shù)人為了避開拐角走少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑捷徑”，在花園內(nèi)走，在花園內(nèi)走出了一條出了一條“路路”，僅僅少走了，僅僅少走了_步路步路, , 卻踩卻踩傷了花草。傷了花草。 （假設(shè)（假設(shè)1 1米為米為

13、2 2步）步）45ABC“路路”4 2、如圖，要登上、如圖，要登上8米高的建筑物米高的建筑物BC，為了，為了安全需要，需使梯子底端離建筑物距離安全需要，需使梯子底端離建筑物距離AB為為6米，問至少需要多長的梯子？米，問至少需要多長的梯子？8mBCA6m解：根據(jù)勾股定理得：解：根據(jù)勾股定理得：AC2= 62 + 82 =36+64 =100即：即：AC=10（不合題意，舍去）（不合題意，舍去）答：梯子至少長答：梯子至少長10米。米。 古代笑話一則古代笑話一則 有一人拿著一根桿子進(jìn)屋門，橫著拿，不能進(jìn)，豎著拿，也不能進(jìn)，干脆將其折斷，才解決了問題。請問同學(xué)們這樣是真正解決了問題了嗎？讓你做的話，你

14、感覺怎么辦合適？18.1勾股定理勾股定理CBAcbac2=a2 + b2a2=c2b2b2 =c2-a2acb22cab22b=c2-a2勾股定理：勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方和等于斜邊的平方 若直角三角形的兩條邊長為若直角三角形的兩條邊長為6cm、8cm8cm，則第三邊長一定為，則第三邊長一定為10cm.( )10cm.( ) 判斷正誤判斷正誤 :6868 一個直角三角形的兩邊長分別為一個直角三角形的兩邊長分別為5cm和和12cm,則第三邊的長為則第三邊的長為 。復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)：1.1.一個直角三角形的兩邊長分別為一個直角三角形的兩邊長分別為3 3和

15、和4,4,則第則第三邊長為三邊長為2 2直角三角形一直角邊長為直角三角形一直角邊長為6cm6cm，斜邊長為，斜邊長為10cm10cm，則這個直角三角形的面積為，則這個直角三角形的面積為，斜邊上的高為斜邊上的高為等腰等腰ABCABC的腰長為的腰長為10cm10cm，底邊長為，底邊長為16cm16cm，則底邊上的高為，面積為，則底邊上的高為，面積為_5 5等腰直角等腰直角ABCABC中，中，C=90C=90，AC=2cmAC=2cm，那么它的斜邊上的高為，那么它的斜邊上的高為57或6cm6cm224cm4.8cm248cmcmcm2 一個3m長的梯子AB,斜靠在一豎直的墻AO上,這時AO的距離為2

16、.5m,如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m嗎?ACOBD 一個3m長的梯子AB,斜靠在一豎直的墻AO上,這時AO的距離為2.5m,如果梯子的頂梯子的頂端端A沿墻下滑沿墻下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m嗎?ACOBD 一個3m長的梯子AB,斜靠在一豎直的墻AO上,這時AO的距離為2.5m,如果梯子的頂梯子的頂端端A沿墻下滑沿墻下滑0.5m,那么梯子底端梯子底端B也外移也外移0.5m嗎嗎?ACOBD 從題目和圖形中，你能得到哪些信息？分析: DBODOB 求BD,可以先求OB、OD.解：設(shè)旗桿高解：設(shè)旗桿高AC=x米，則繩子長米，則繩子長AB=(x+1)米，在

17、米，在Rt ABC中，由勾股定理得：中，由勾股定理得： 阿滿想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端阿滿想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還多的繩子垂到地面還多1米，當(dāng)他把繩子的下端拉開米，當(dāng)他把繩子的下端拉開5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，你能幫他算出來米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，你能幫他算出來旗桿的高度嗎？旗桿的高度嗎？ ABC5米(x+1)米x米 如圖，某公園有這樣兩棵樹，一棵樹高如圖，某公園有這樣兩棵樹，一棵樹高8m8m，另一棵樹高另一棵樹高2m2m，兩樹相距，兩樹相距8m8m，一只小鳥從一棵樹，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了

18、 多少米？多少米？ 8m2m8mABCy=0探究3C CB BA A18.1勾股定理勾股定理試一試：試一試： 在我國古代數(shù)學(xué)著作在我國古代數(shù)學(xué)著作九九章算術(shù)章算術(shù)中記載了一道有趣的中記載了一道有趣的問題，這個問題的意思是：有問題，這個問題的意思是：有一個水池，水面是一個邊長為一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池的中央尺的正方形，在水池的中央有一根新生的蘆葦，它高出水有一根新生的蘆葦，它高出水面面1尺，如果把這根蘆葦垂直拉尺，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面，請問這個水池的深邊的水面，請問這個水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L度各是多少？度和這根

19、蘆葦?shù)拈L度各是多少？DABC解：設(shè)水池的水深解：設(shè)水池的水深A(yù)C為為x尺，則這根蘆葦尺，則這根蘆葦長長AD =AB =（x+1）尺，）尺，在直角三角形在直角三角形ABC中，中，BC=5尺尺由勾股定理得：由勾股定理得：BC2+AC2=AB2即即 52 + x2 = (x+1)225 + x2 = x2 +2x + 12x = 24 x =12， x+1=13答：水池的水深答：水池的水深12尺，這根蘆葦長尺，這根蘆葦長13尺。尺。ADCBDBA說明說明：在直角三角形中，利用勾股定理計算在直角三角形中，利用勾股定理計算線段的長，是勾股定理的一個重要的應(yīng)用在線段的長，是勾股定理的一個重要的應(yīng)用在有直角

20、三角形時，可直接應(yīng)用；在沒有直角三有直角三角形時，可直接應(yīng)用；在沒有直角三角形時，常作角形時，常作垂線垂線構(gòu)造構(gòu)造直角三角形直角三角形，為能應(yīng)用，為能應(yīng)用勾股定理創(chuàng)造重要條件勾股定理創(chuàng)造重要條件如圖，在如圖，在ABCABC中，中，AB=15AB=15，BC=14BC=14，AC=13.AC=13.求求S SABCABCCADB 如圖，已知：在中，如圖，已知：在中，D于，交于，交于，求的周長于，求的周長ECA1112 如圖，小潁同學(xué)折疊一個直角三角形如圖，小潁同學(xué)折疊一個直角三角形的紙片，使的紙片，使A與與B重合，折痕為重合，折痕為DE，若已知，若已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出你能求

21、出CE的長嗎？的長嗎？CABDE解：連結(jié)解：連結(jié)BE DE是是AB的中垂線的中垂線 AE=BE 在在RtABC 中中 根據(jù)勾股定理：根據(jù)勾股定理：設(shè)設(shè)AE = x，則，則EC=(10 x)BE2=BC2+EC2x2=62 (10 x)2解得解得 x = 6.8EC=106.8=3.2cm折疊問題折疊問題: :C CB BA A18.1勾股定理勾股定理 如圖如圖,把長方形紙片把長方形紙片ABCD折疊折疊,使使頂點(diǎn)頂點(diǎn)A與頂點(diǎn)與頂點(diǎn)C重合在一起重合在一起, ,EF為折痕為折痕, ,若若AB=9, ,BC=3, ,求求FC的長的長?ABCDFE解：由已知解：由已知AF=FC設(shè)設(shè)AF=x，則，則FB

22、= 9x 在在R t FBC中，根中，根據(jù)勾股定理據(jù)勾股定理: FC2=FB2BC2即即 x2=(9x)232解得解得 x=5即即 FC=5折疊問題折疊問題: :D x 矩形矩形ABCD如圖折疊，使點(diǎn)如圖折疊，使點(diǎn)D落在落在BC邊上的點(diǎn)邊上的點(diǎn)F處，處，已知已知AB=8，BC=10，求折痕，求折痕EF的長。的長。ABCDFEx1010864(8x)折疊折疊問題問題: :設(shè)設(shè)EF = x 如圖，盒內(nèi)長，寬，高分別是如圖，盒內(nèi)長，寬，高分別是3030米，米，2424米和米和1818米，盒內(nèi)可放的棍子最長是多米，盒內(nèi)可放的棍子最長是多少少米米？183024 在在一棵樹的一棵樹的10米高的米高的D處有

23、兩只猴子處有兩只猴子,其中其中一只猴子爬下樹走到離樹一只猴子爬下樹走到離樹20米的池塘米的池塘A處處,另一另一只爬到樹頂后直接躍向池塘只爬到樹頂后直接躍向池塘A處處,如果兩只猴子如果兩只猴子所經(jīng)過的直線距離相等所經(jīng)過的直線距離相等,試問這棵樹有多高試問這棵樹有多高?DABC10米米20米米x 2、在在直角三角形中，只直角三角形中，只知道知道一邊的長度，另外兩邊只知道它一邊的長度，另外兩邊只知道它們的關(guān)系時，運(yùn)用勾股定理們的關(guān)系時，運(yùn)用勾股定理列方列方程程方法求解。方法求解。應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題的一般思路：應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題的一般思路： 1、在解決實(shí)際問題時，首先要、在解決實(shí)際問題時，首先要畫出適畫出適當(dāng)?shù)氖疽鈭D當(dāng)?shù)氖疽鈭D，將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，并并構(gòu)建直角三角形模型構(gòu)建直角三角形模型，再運(yùn)用勾股定理，再運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問題。解決實(shí)際問題。感悟與收獲感悟與收獲作業(yè)：習(xí)題作業(yè)：習(xí)題18 1第第6 8 10 11 12